Nationellt prov Matematik 2b VT15 DEL B och C

1.
Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. ( ) $·\left(x-5\right)=x^2-25$·(x−5)=x²−25 (NpMa2b vt2015)
Svar:

(1/0/0)
2.
Lös ekvationen. Svara exakt.

$5^x=3$5^x=3 (NpMa2b vt2015)
Svar:

(1/0/0)
3.
Lös ekvationen. Svara exakt.
$x^{\frac{1}{3}}=2$x¹³=2 (NpMa2b vt2015)
Svar:

(1/0/0)
4.
Koordinatsystemet visar en rät linje $L$L och en punkt $P$P som ligger på linjen. Ange ekvationen för den räta linjen $L$L. (NpMa2b vt2015)
Svar:

(1/0/0)
5.
Koordinatsystemet visar en rät linje $L$L och en punkt $P$P som ligger på linjen. Ange ekvationen för en annan rät linje så att den tillsammans med linjen $L$L bildar ett ekvationssystem som har sin lösning i punkten $P$P. (NpMa2b vt2015)
Svar:

(1/0/0)
6.
På tallinjen finns sex punkter $A-F$A−F markerade.

Varje tal nedan motsvaras av en markerad punkt på tallinjen.

$99^0$99⁰ $\sqrt{5}$√5 $2^{-1}$2⁻¹ $10^{\frac{1}{2}}$10¹² $\text{lg }90$lg 90

Para ihop vart och ett av talen med en punkt på tallinjen genom att skriva bokstäverna $A-F$A−F i den ordning talen står från vänster till höger. (NpMa2b vt2015)
Svar:

(2/0/0)
7.
Två av ekvationerna $A-E$A−E har reella lösningar. Vilka två?

A.  $x^2+3=1$x²+3=1

B.  $x^2+6x-3=2$x²+6x−3=2

C.  $x^2=-9$x²=−9

D.  $x^2-4x+9=2$x²−4x+9=2

E.  $\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$(x−2)(x+2)=0 (NpMa2b vt2015)
Svar:

(0/1/0)
8.
Beräkna $10^{-x}$10^−x om $\text{lg }x=0$lg x=0 (NpMa2b vt2015)
Svar:

(0/1/0)
9.
Under år $1998$1998 skickades $44$44 miljoner sms i Sverige. Under år $2012$2012 skickades $16\text{ }514$16 514 miljoner sms. Anta att den årliga procentuella ökningen av antal sms per år har varit lika stor under hela tidsperioden. Beteckna den årliga förändringsfaktorn med $a$a. Teckna en ekvation med vars hjälp $a$a kan beräknas. (NpMa2b vt2015)
Svar:

(0/1/0)
10.
Koordinatsystemet visar graferna till en rät linje $f$ƒ och en andragradsfunktion $g$g. För vilka värden på $x$x gäller att $g\left(x\right)<3$g(x)<3? Besvara frågan med hjälp av graferna. (NpMa2b vt2015)
Svar:

(0/2/0)
11.
Koordinatsystemet visar graferna till en rät linje $f$ƒ och en andragradsfunktion $g$g.
För vilka värden på $x$x gäller att $f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$ƒ (x)−g(x)=0

Besvara frågan med hjälp av graferna. (NpMa2b vt2015)
Svar:

(0/0/1)
12.
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

$\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)^2-\left(x+3\right)}{2}$(√x+√3)²−(x+3)2 (NpMa2b vt2015)
Svar:

(0/0/1)
13.
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

$\frac{x^{\frac{5}{6}}\left(x^{\frac{1}{3}}+1\right)\left(x^{\frac{1}{3}}-1\right)}{x^{\frac{1}{6}}\text{ }·\text{ }x^{\frac{1}{3}}}$x⁵⁶(x¹³+1)(x¹³−1)x¹⁶ · x¹³ (NpMa2b vt2015)
Svar:

(0/0/1)
14.
Lös andragradsekvationen $x^2-6x+5=0$x²−6x+5=0 med algebraisk metod.(NpMa2b vt2015)

(2/0/0)
15.
Lös ekvationssystemet $\begin{cases} y-2x=5\\ 2y-x=4 \end{cases}$ med algebraisk metod. (NpMa2b vt2015)

(2/0/0)
16.
Figuren visar två rektanglar som har sidlängderna $x$x cm respektive $\left(8-x\right)$(8−x) cm. Bestäm den största totala area som de två rektanglarna kan ha tillsammans. (NpMa2b vt2015)

(1/2/0)
17.
Förenkla uttrycket $\frac{a^2-2b}{4}$a²−2b4 så långt som möjligt om $a=2x+1$a=2x+1 och $b=2x-1,5$b=2x−1,5 (NpMa2b vt2015)

(0/2/0)
18.
Lös ekvationen $\frac{3}{10^x}$310^x $=10^x$=10^x med algebraisk metod. Svara exakt. (NpMa2b vt2015)

(0/2/0)
19.
I en rätvinklig triangel $ABC$ABC finns en blå kvadrat $AEFD$AEFD inritad. Sträckan $BE$BE är $4$4 cm och sträckan $CD$CD är $2$2 cm. Se figur. Visa att den blå kvadratens area är $8$8 cm$^2$². (NpMa2b vt2015)

(0/2/0)
20.
En cirkel med radien $a$a tangerar de positiva koordinataxlarna. Den tangerar även en mindre cirkel som har mittpunkten i origo. Se figur. Visa att den mindre cirkelns radie är $a\left(\sqrt{2}-1\right)$a(√2−1) längdenheter. (NpMa2b vt2015)

(0/0/3)
21.
a) För andragradsfunktionen $f$ƒ  gäller att $f\left(x\right)=-0,5x^2+bx-2$ƒ (x)=−0,5x²+bx−2

Bestäm för vilka värden på $b$b som $f$ƒ  endast har ett nollställe.

I figuren nedan ser du graferna till funktionen $f$ƒ   för några olika värden på $b$b. Grafernas maximipunkter är markerade. Då $b$b varierar följer maximipunkterna grafen till en ny andragradsfunktion $g$g, se figur. (NpMa2b vt2015)

(0/2/0)
22.
b) För andragradsfunktionen $f$ƒ  gäller att $f\left(x\right)=-0,5x^2+bx-2$ƒ (x)=−0,5x²+bx−2

I figuren nedan ser du graferna till funktionen $f$ƒ  för några olika värden på $b$b. Grafernas maximipunkter är markerade. Då $b$b varierar följer maximipunkterna grafen till en ny andragradsfunktion $g$g, se figur.

Bestäm andragradsfunktionen  $g$g .(NpMa2b vt2015)

(0/0/3)