Figuren visar grafen till en funktion och dess tangent i punkten $P$P . 

Vilket värde har funktionens derivata för $x$x -värdet i punkten $P$P?

Derivera  $f(x)=3x^4+2x-5$ƒ (x)=3x⁴+2x−5 

Derivera  $f(x)=e^{-2x}+2$ƒ (x)=e^−2x+2 

Bestäm derivatan  $f'\left(-1\right)$ƒ '(−1)  då  $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{3x^6}{2}-\frac{x^4}{2}$3x⁶2 −x⁴2   

Köping var en liten stad där antalet invånare hade sjunkit de senaste åren. Kommunstyrelsen hade önskan att nu öka antalet invånare igen, med hjälp av olika satsningar i staden. Man uppskattade med att antalet invånare skulle kunna öka enligt modellen $N\left(t\right)=16\text{ }000\cdot e^{0,0198t}$N(t)=16 000·e^0,0198t , där  $N\left(t\right)$N(t) motsvarar antalet personer och $t$t antal år efter $2018$2018.

a) Beräkna och tolka $N\left(10\right)$N(10). 

b) Beräkna och tolka $N\text{ }'\left(10\right)$N '(10). 

Bestäm derivatan till  $f´(4)$ƒ ´(4)  då  $f(x)=x^2+x$ƒ (x)=x²+x med hjälp av derivatans definition.

Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ . Är funktionen kontinuerlig för alla $x$x? Motivera ditt svar så matematiskt du kan.

Antalet besökare som passerar entrén på en nöjespark varierade enligt modellen $A\left(x\right)=-0,1x^3+x^2+2x$A(x)=−0,1x³+x²+2x i intervallet  $0\le x\le13$0≤x≤13  där $A\left(x\right)$A(x) motsvarar antalet hundra personer i parken $x$x timmar efter kl. $10.00$10.00 på förmiddagen.

Med vilken hastighet ökar antalet besökare kl  $12.00$12.00. 

Beräkna följande gränsvärden

a) $ \lim\limits_{x \to 0}$   $\frac{8x-4x^2}{2x}$8x−4x²2x  

b) $ \lim\limits_{x \to 2}$  $\frac{x^2-4x+4}{x-2}$x²−4x+4x−2  

c) $ \lim\limits_{x \to \infty}$ $\frac{81x^2}{x\left(9+9x\right)}$81x²x(9+9x)  

Derivera  $f(x)=$ƒ (x)= $\sqrt{5x}+\sqrt{5}$√5x+√5.

Ange det exakta svaret.

Anders fick tipset på en fond, vars värde kunde beskrivas med en exponentiellt växande funktion.

Ange en funktion för värdeökningen och bestäm när fondens värde ökade med $1\text{ }000$1 000 kronor i månaden om den kostade $10\text{ }000$10 000 kr när den köptes och såldes för $75\text{ }000$75 000 kronor $5$5 år senare.

Lös ekvationen utan räknare

 $\ln\left(3-2x\right)=0$ln(3−2x)=0 

Din vän häller upp en kopp te för att värma sig lite. Temperaturen i luften där din vän befinner sig är $18$18 °C. Hon mäter temperaturen på teet i koppen direkt när hon häller upp chokladen och sedan igen efter $5$5 minuter.

Hon tänker teckna en matematisk modell från sina mätvärden. Hon bestämmer sig för en exponentialfunktion.

Hon sätter $T\left(t\right)$T(t) till teets temperatur i °C och $t$t till tiden i minuter efter att det hälldes upp i koppen. Temperaturen var $80$80 °C vid första mätningen och $61$61 °C vid andra mätningen.

Bestäm och tolka $T'\left(3\right)$T'(3) samt ange huruvida du anser den matematiska modellen vara rimlig eller ej.

Ange en funktion  $f$ƒ  som inte är definierad för  $x=0$x=0  och som uppfyller att $ \lim\limits_{x  \to 0} f(x)=5$