Interferens mellan vågor från två punktkällor

Exempel 1

Två små högtalare är kopplade till samma tongenerator enligt figuren vilken får högtalarna att sända ut en ton med en viss frekvens. En mätning visar att punkten P ligger på andra nodlinjen. Vilken frekvens har tonen?

Lösning

Att högtalarna är kopplade till samma tongenerator säger oss att högtalarna sänder ut ljud som är i fas, dvs. högtalarnas membran oscillerar i samma takt. Om vi vet att punkten $P$P ligger på 2:a nodlinjen så innebär det att där möts en vågdal och en vågtopp och vi har destruktiv interferens. Vi vet även att skillnaden i sträcka som ljudvågorna har färdats för att nå punkten $P$P är $\frac{3}{2}$32  våglängder.

Om vi kallar sträckan mellan $H_1$H₁ och $P$P för $s_1$s₁ och sträckan från $H_2$H₂ och $P$P för $s_2$s₂ så kan vi ställa upp två uttryck för vägskillnaden $\bigtriangleup s$△s:

 $\bigtriangleup s=s_2-s_1$△s=‍s₂−s₁ och $\bigtriangleup s=\frac{3\text{λ}}{2}$△s=3λ2‍ . Vi sätter uttrycken lika med varandra och löser ut våglängden:

 $s_2-s_1=\frac{3\text{λ}}{2}\Rightarrow\text{λ}=\frac{2\left(s_2-s_1\right)}{3}=\frac{2\left(33-25\right)}{3}\approx5,33\text{ }$s₂−s₁=3λ2 ⇒λ=2(s₂−s₁)3 =2(33−25)3 ≈5,33 cm  

För att beräkna frekvensen använder vi sambandet $v=\text{λ}f\Rightarrow f=\frac{\text{v}}{λ}=\frac{340}{0,053…}=6375\text{ }Hz\approx6,4\text{ }kHz$v=λƒ ⇒ƒ =vλ =3400,053… =6375 Hz≈6,4 kHz 

där vi omvandlat våglängden till meter samt använt att ljudhastigheten i luft är $340$340 m/s.

Svar

Frekvensen är (med två värdesiffror) $6,4$6,4 kHz.

Exempel 2

Två små högtalare arbetar i takt. Högtalarna har ett inbördes avstånd på 70 cm. På ett avstånd på 1,3 m från högtalarna så används en mikrofon för att mäta ljudintensiteten vid olika punkter längs med linjen L.

Vid punkten P uppmäts ett ljudmaximum. Man flyttar sedan mikrofonen nedåt och uppmäter efter en viss sträcka ett ljudminimum. Man fortsätter att röra mikrofonen nedåt och uppmäter ett nytt maximum, sedan ett nytt minimum och till sist ett nytt maximum i punkten Q. Man mäter avståndet mellan P och Q till 1,0 m. Bestäm ljudets frekvens.

Lösning

Av texten kan vi dra slutsatsen att mikrofonen går från centralmax, passerar $1$1:a minima, $1$1:a maxima, $2$2:a minima och stannar på $2$2:a maxima.
Vi vet sedan tidigare då att vägskillnaden mellan högtalarna måste vara två hela våglängder, dvs. $\bigtriangleup s=2\text{λ}$△s=2λ. Det innebär att vi kan skriva

 $2\text{λ}=H_1Q-H_2Q\Rightarrow\text{λ}=\frac{H_1Q-H_2Q}{2}$2λ=H₁Q−‍H₂Q⇒λ=H₁Q−H₂Q2  

För att kunna beräkna våglängden behöver vi alltså veta avstånden $H_1Q$H₁Q och $H_2Q$H₂Q. Här kan vi använda lite geometri och i synnerhet Pythagoras sats.

För att hitta $H_1Q$H₁Q kan vi använda följande rätvinkliga triangel:

Avståndet vi söker är ju hypotenusan. Vi har den ena kateten, det är ju helt enkelt avståndet mellan högtalarna och linjen $L$L, dvs. $l=1,3$l=1,3 m.
Den sista katetern inser vi att vi kan få som summan av halva avståndet mellan högtalarna och sträckan $PQ$PQ dvs. $PQ+\frac{d}{2}$PQ+d2 . Pythagoras sats ger då:

 $H_1Q=\sqrt{l^2+\left(PQ+\frac{d}{2}\right)^2}=\sqrt{1,3^2+\left(1,0+0,35\right)^2}=1,87…$H₁Q=√l²+(PQ+d2 )²=√1,3²+(1,0+0,35)²=1,87… m

Samma idé för avståndet $H_2Q$H₂Q ger följande triangel:

Vi ser att den vertikala katetern måste vara $PQ$PQ minus halva avståndet mellan högtalarna dvs. $PQ-\frac{d}{2}$PQ−d2 . Vi får följande ekvation:

 $H_2Q=\sqrt{l^2+\left(PQ-\frac{d}{2}\right)^2}=\sqrt{1,3^2+\left(1,0-0,35\right)^2}=1,45…$H₂Q=√l²+(PQ−d2 )²=√1,3²+(1,0−0,35)²=1,45… m

Vi kan nu beräkna våglängden:

 $\text{λ}=\frac{H_1Q-H_2Q}{2}=\frac{1,87…-1,45…}{2}\approx0,21$λ=H₁Q−H₂Q2 =1,87…−1,45…2 ≈0,21 m. 

Till sist använder vi sambandet $v=\text{λ}f$v=λƒ  för att beräkna frekvensen:

 $f=\frac{v}{\text{λ}}=\frac{340}{0,21…}\approx1616…$ƒ =vλ =3400,21… ≈1616… Hz

Svar

Frekvensen är ca $1,6$1,6 kHz.