Nationellt prov Matematik 3c vt 2013 del B och C

Bestäm alla primitiva funktioner till  $f\left(x\right)=x^2$ƒ (x)=x² 

Förenkla så långt som möjligt

a)  $\frac{3x+24}{2x+16}$3x+242x+16  

b)  $x\left(x^8+2\right)+2x^9-2x$x(x⁸+2)+2x⁹−2x 

Vilket av alternativen är korrekt?

Funktionen $f$ƒ  är kontinuerlig. Rita i koordinatsystemet nedan en skiss som visar hur grafen till $f$ƒ  kan se ut om det gäller att:

• Grafen går genom de markerade punkterna $\left(1,\text{ }3\right)$(1, 3),  $\left(3,\text{ }3\right)$(3, 3) och $\left(5,\text{ }3\right)$(5, 3) 
•   $f’\left(1\right)>0$ƒ ’(1)>0 
•   $f’\left(3\right)<0$ƒ ’(3)<0 
•   $f’\left(5\right)>0$ƒ ’(5)>0 

I figuren visas en cirkel som tangerar x-axeln i punkten $\left(4,\text{ }0\right)$(4, 0).
Punkten $\left(6,\text{ }4\right)$(6, 4)  ligger på cirkeln. Ange cirkelns ekvation.

Bestäm $f’\left(x\right)$ƒ ’(x) 

a)  $f\left(x\right)=3x^4-7x+5$ƒ (x)=3x⁴−7x+5 

b)  $f\left(x\right)=x^k+k$ƒ (x)=x^k+k 

c)  $f\left(x\right)=$ƒ (x)=$\frac{x+5x^2}{x}$x+5x²x  

Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ . Bestäm ett närmevärde till  $\int_0^5f\left(x\right)dx-\int_0^3f\left(x\right)dx$∫₀⁵ƒ (x)dx−∫₀³ƒ (x)dx.

Funktionen $f$ƒ  har en primitiv funktion $F$F. Grafen till $F$F visas i figuren nedan.

a) Vilken av graferna $A-F$A−F visar en annan primitiv funktion till $f$ƒ  ?

En annan funktion $g$g har en primitiv funktion $G$G. En av graferna $A-F$A−F visar den
primitiva funktionen $G$G.

b) Vilken av graferna $A-F$A−F visar $G$G om $\int\limits_0^1$ $g\left(x\right)dx=3$g(x)dx=3 

Funktionen $f$ƒ  beskriver hur en växande vattenmelons vikt $y$y beror av tiden $t$t, det vill säga $f\left(t\right)=y$ƒ (t)=y. Vikten $y$y anges i hg (hektogram) och tiden $t$t i veckor.

Vad får du veta genom att bestämma $f’\left(3\right)$ƒ ’(3)?

$\int\limits_1^2$  $3x^2\text{ }dx$3x^2‍ dx  algebraiskt.

a) Ge ett exempel på en polynomfunktion $f$ƒ  av fjärde graden för vilken det gäller att $f\left(1\right)=4$ƒ (1)=4.

b) Det finns flera rationella uttryck som uppfyller följande villkor:

• Uttrycket får värdet $0$0 då $x=-1$x=−1 
• Uttrycket är inte definierat för $x=3$x=3 
• Uttrycket är inte definierat för $x=-4$x=−4 

Ge ett exempel på ett rationellt uttryck som uppfyller alla tre villkor. 

En trädgårdsmästare ska göra en blomrabatt runt hörnet på ett hus. Längs sidorna som inte angränsar mot huset kommer hon att sätta gräskant, se figur $1$1. Hon vill utforma rabatten så att sidorna $BC$BC och $CD$CD är lika långa, se figur $2$2 

I trädgårdsmästarens förråd finns en rulle med $6$6 m gräskant och hon tänker använda hela rullen. Arean för blomrabatten blir då 

$A\left(x\right)=6x-3x^2$A(x)=6x−3x² 

där $x$x är blomrabattens bredd i meter, se figur $2$2.

a)  Trädgårdsmästaren vill att blomrabatten ska ha så stor area som möjligt. Beräkna med hjälp av derivata bredden $x$x så att arean blir maximal.

b)  Vilka värden kan arean $A$A anta i detta sammanhang?

c)  Visa att arean för blomrabatten i figur $2$2 kan beskrivas av $A\left(x\right)=6x-3x^2$A(x)=6x−3x² om trädgårdsmästaren använder $6$6 m gräskant.

I en sjö planterar man in fiskar av en art som inte funnits där tidigare. Fiskpopulationen kan beskrivas med sambandet

 $N\left(t\right)=$N(t)=$\frac{15000}{3+2e^{-0,5\cdot t}}$150003+2e^−0,5·t  där $N$N är antalet fiskar och $t$t är tiden i år efter inplanteringen. 

a) Hur många fiskar planterades in i sjön från början?

b) På grund av olika miljöfaktorer kan antalet fiskar inte bli hur stort som helst. Bestäm den övre gränsen för antalet fiskar med hjälp av sambandet

Beräkna  $\frac{\left(x+8\right)^{^6}-\left(x+8\right)^5}{\left(x+8\right)^5}$(x+8)⁶−(x+8)⁵(x+8)⁵   då  $x=2,7$x=2,7 

Svara exakt.

Kurvan $y=e^{2x}$y=e^2x är ritad i figuren nedan. Punkten $P$P har $y$y-koordinaten $4$4 

Bestäm kurvans lutning i punkten $P$P.

Svara exakt och på så enkel form som möjligt.

Bevisa att den triangel som innesluts av de positiva koordinataxlarna och en tangent till kurvan $y=$y=$\frac{1}{x}$1x  har arean $2$2 areaenheter oavsett var tangenten tangerar kurvan.

Utgå från att tangeringspunkten har koordinaterna $\left(a,\text{ }\frac{1}{a}\right)$(a, 1a )