Vi skall här gå igenom binomialsatsen och Pascals triangel.
Det här är ett sätt att kunna utveckla så kallade binom, framförallt då vi upphöjer dem med tal större än 2.
Vi kommer här att först att undersöka lite vad som händer när vi utvecklar binom och se hur Pascals triangel kan konstrueras.
Sedan handlar det framförallt om att se ett mönster sakta men säkert träda fram som vi sedan sammanfattar med binomialsatsen.
Vi gör först så att vi går in på begreppet binom.
Ett binom är ett algebraiskt uttryck med två termer.
Det kan tex vara (a + b), (x² + 2) eller (2x² + y²). Dvs uttryckethar just två stycken termer.
Vi skall nu göra så att vi prövar att utveckla a+b steg för steg med högre och högre exponent.
Vi börjar med (a+b)⁰ = 1.
Sedan utvecklar vi (a+b)¹ = 1a+1b.
Vi gör så att vi nu skriver ut koefficienten 1 som man i vanliga fall inte brukar göra. Du kommer strax att se varför.
Sedan utvecklar vi (a+b)² = 1a² + 2ab + 1b².
Denna utveckling kanske du känner igen från kvadreringsreglerna.
Nästa steg är nu att utveckla (a+b)³ och här brukar det börja att bli lite svårare.
Här kan man, om man vill göra det själv, alltid multiplicera (a+b)(a+b)² för att minska antalet steg och använda sig av det vi gjort innan.
När vi gör det så får vi (a+b)³ = 1a³ + 3a²b +3ab² +1b³.
Nästa steg är nu att utveckla (a+b)⁴ men innan vi gör det så skall vi se om vi kan se ett mönster.
Det första utvecklingen innehöll 1 term, den andra 2 termer, den tredje 3 termer och den senaste 4 termer.
Det borde därför vara så att nästa steg innehåller 5 termer så där har vi en bra start för att se detta mönster.
Det borde även vara så att uttrycket börjar med a⁴ och slutar med b⁴.
Vi kan också se att när exponenten för a minskar ett steg så ökar exponenten för b med ett steg för varje term i uttrycket.
Så här har vi ett mönster för antalet termer och hur exponenterna till a och b beter sig i uttrycket.
Frågan är nu hur vi kan se vilka koefficienter det kommer att vara framför varje term?
Vi gör så att vi markerar alla koefficienter som vi har fått fram med röda ringar.
Nu kanske du börjar att förstå varför jag även skrev ut ettorna och varför uttrycket är skrivna som i en triangel.
Om vi tar dessa koefficienter och ställer upp för sig får vi det som kallas för Pascals triangel.
Här kan vi börja att markera nästa rad med att sätta ut koefficienterna för a⁴ och b⁴, dvs ettorna.
I Pascals triangel så får du nästa koefficient genom att addera de två tal som finns ovanför.
Dvs här kan vi addera 1 + 3 så att vi får 4, 3 + 3 så att får 6 och slutligen 3 + 1 så att vi får 4.
Vi kan alltså få koefficienterna genom att använda Pascals triangel och hela utvecklingen skulle då bli 1a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + 1b⁴
Vi skall även titta på hur koefficienterna kan fås fram med kombinatorik och kombinationer.
Vi ställer först upp uttrycket (a + b)⁴ = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b).
Vi kan först fundera på hur många sätt vi kan få a⁴?
Det kan vi ju få på ett sätt, nämligen genom a⋅a⋅a⋅a.
b⁴ kan vi även det få på ett sätt, nämligen genom b⋅b⋅b⋅b.
Nu kan vi fundera på hur många sätt vi kan få a³b?
Det bör ju gå på 4 olika sätt, nämligen på dessa vis.
Koefficienten blir alltså 4a³b.
Det här är samma sak som att ställa sig frågan På hur många sätt kan 1 b väljas från fyra parenteser?
Detta är alltså en kombination som beräknas genom 4 över 1, dvs vi väljer ett b från fyra parenteser.
Beräknas denna kombination så får vi just 4.
Så här har du nu sett ett sätt att med hjälp av kombinatorikens kombinationer ta reda på vilken koefficienten blir.
Detta går också att generalisera i det som kallas för binomialsatsen som säger följande.
Om du skall beräkna (a+b)ⁿ så är det lika med [-binomialsatsen-].
Vi skall avsluta den här genomgången med ett exempel. Här skall vi utveckla (a + b)⁵.
Här blir det enklast att ta reda på koefficienterna genom pascals triangel.
Så vi tar fram det som redan har tagit fram av denna.
För att få nästa steg så adderar vi talen ovanför nästa tal och får då 1 5 10 10 5 1.
Vi skulle då kunna skriva ut delar av uttrycket enligt a⁵ + 5____+ 10____ + 10____ + 5____ + b⁵.
Enligt binomialsatsen minskar exponenten för a samtidigt som exponenten ökar för b steg för steg i termerna.
Så vi sätter först ut a:na i uttrycket, de minskar alltså stegvis från a⁵ sedan a⁴, a³, a², a¹ och a⁰=1.
Sedan kan vi sätta ut b:na.
De ökar från b⁰=1 till b⁵
Så där har vi nu utvecklat det här uttrycket med hjälp av de mönster som du nu har sätt.