Kombinatorik – Multiplikationsprincipen och Additionsprincipen
2013-11-12 Av Simon Rybrand 0 kommentarer
I det första inlägget om kombinatorik skrev jag om vad kombinatorik är och vilka typer av frågor som denna del inom matematiken svarar på. Nu tänkte jag att vi tar det här ett steg till och fortsätter att se fler principer. Nu skall vi kika på multiplikationsprincipen och additionsprincipen.
Multiplikationsprincipen – Antalet val du kan göra i följd
Om du skall göra ett val efter ett eller flera andra val så är det multiplikationsprincipen som används. Den säger nämligen följande:
”Om ett första val kan göras på x olika sätt och nästa val på y olika vis så kan de bägge valen göras på x⋅y sätt om de görs efter varandra. Gäller även för flera än 2 val i följd.”
Vi kan ta ett exempel på detta.
- På hur många sätt kan du dra 3 kungar på raken om du plockar 3 kort på raken i en kortlek med 52 kort?
- Det första valet kan göras på 4 olika sätt, det andra på 3 olika sätt (tur som vi har så har vi ju redan dragit en kung) och det sista på 2 olika sätt.
För att beräkna det totala antalet val så får vi enligt multiplikationsprincipen beräkna 4⋅3⋅2 = 24. Det finns alltså 24 olika sätt att dra 3 kungar på raken ur en kortlek med 52 kort.
Multiplikationsprincipen kan också kombineras med additionsprincipen, men innan vi gör det behöver vi gå igenom vad just denna säger.
Additionsprincipen – Val från en grupp ELLER en annan grupp
Nyckelordet när det gäller additionsprincipen är ordet ”eller”. Det är nämligen när vi gör val från en grupp eller en annan grupp som additionsprincipen kommer till användning. Den säger följande:
”Om man väljer ett föremål från en grupp med x föremål ELLER ett föremål från en grupp med y föremål så kan detta göras på x + y sätt.”
Här handlar det alltså om val av ett visst antal föremål från en samling föremål eller en eller flera samlingar av föremål. Vi tar ett enkelt exempel på detta.
- Du kastar 2 tärningar. På hur många sätt kan du få summan 2 eller 3 när du kastar två kast?
- Man kan få summan 2 på ett sätt. Man kan få summan 3 två sätt. Enligt additionsprincipen kan man få summan 2 eller 3 på 1 + 2 = 3 olika sätt.
Multiplikationsprincipen och additionsprincipen kombinerade
Det är också ganska vanligt att dessa två principer kombineras med varandra. Låt oss ta ett exempel även på detta.
- Du skall välja kläder att ha på dig under dagen. I en garderob finns det 3 par byxor och 4 T-shirts och i en annan garderob finns det 8 par byxor och 10 T-shirt. På hur många sätt kan du välja en byxa och en T-shirt om du väljer från den ena garderoben eller den andra garderoben?
- Här kan vi enligt multiplikationsprincipen välja klädesplagg på 3⋅4 = 12 sätt från den första garderoben och 8⋅10 = 80 olika sätt från den andra. Additionsprincipen ger att det finns finns 12 + 80 = 92 olika val om vi väljer från den första eller den andra garderoben.