Att derivera uttryck som innehåller roten ur eller bråk
2015-03-18 Av Simon Rybrand 21 kommentarer
Häromdagen startades det en diskussion här på sajten där det funderades kring området derivata och hur man deriverar uttryck som innehåller bråk. Jag vet att många faktiskt funderar på detta och vill lära sig att hantera sådan derivata så här kommer ett helt blogginlägg om saken där vi tar tag i ett antal olika exempel och löser dessa.
Men innan vi sätter igång måste vi förstå vilka regler och vilka typer av funktioner som vi faktiskt använder. Det räcker inte riktigt att bara prata om funktioner som innehåller bråk. Det spelar nämligen en viss roll vart vi hittar bråket i funktionens formel. Så här nedan delar vi upp förklaringarna i polynomfunktioner med bråk och potensfunktioner med bråk.
Derivera Polynomfunktioner som innehåller bråk
En typ av funktion som ofta ställer till det när du skall ta fram derivatan är den av typen
$ f(x) = \frac34x^3 + \frac{5x^3}{2} $
Det här är ett så kallat polynom då vi endast har positiva heltalsexponenter (det vi upphöjer till) men däremot så har vi bråk framför variablerna x. Det som multipliceras med x i ett sådant här uttryck kallas för koefficient. Här har vi alltså funktioner där koefficienterna är bråk och frågan är nu hur vi behandlar dessa?
Här gör vi så att vi använder deriveringsregeln för polynom som står på formen
$ f(x) = ax^{k} $ och har derivatan $ f'(x) = kâ‹…aâ‹…x^{k-1}Â $.
Ett exempel utan bråk när denna används är att $ f(x) = 2x^3 $ har derivatan $f'(x) = 6x^2$.
Nu gör vi så att vi återgår till funktionen $ f(x) = \frac34x^3 + \frac{5x^3}{2} $ och denna funktions derivata. Vi gör så att vi deriverar denna varje term för sig och försöker att belysa vad som är viktigt att tänka på.
Den första termen $\frac34x^3$
Den första termen har derivatan $3⋅\frac34x^{3-1} = \frac{9}{4}x^{2} = \frac{9x^2}{4} $.
Var noggrann här med att lägga märke till att
- här har vi koefficienten $\frac34$ framför x och att det är denna vi multiplicerar med exponenten.
- vi multiplicerar exponenten $3$ med koefficienten $\frac34$ vilket kan skrivas $3â‹…\frac34 = \frac31â‹…\frac34$ $=\frac{3â‹…3}{1â‹…4} = \frac94$
Den andra termen $\frac{5x^3}{2}$
Den andra termen $\frac{5x^3}{2}$ fungerar på nästan samma vis men här behöver vi först tänka till vilken som är koefficienten. Vi kan göra det tydligare genom att skriva om termen.
$ \frac{5x^3}{2} = \frac52⋅\frac{x^3}{1}=\frac52 x^3 $ så att vi ser att koefficienten är $ \frac52 $.
Då ser vi att vi kan derivera den här termen på samma vis som den första deriverades. Alltså har vi derivatan $ 3⋅\frac52 x^2 = $ $ \frac31⋅\frac52x^2 = $ $ \frac{15}{2}x^2 =$ $\frac{15x^2}{2}$
Avslutning av exemplet
Här har vi nu alla delar vi behöver för att derivera $ f(x) = \frac34x^3 + \frac{5x^3}{2} $. Vi får alltså derivatan
$ f'(x)=\frac{9x^2}{4}+\frac{15x^2}{2} $
Ett exempel till
Derivera $ y=\frac{x^5}{10} – \frac{x}{5} + \frac12 $.
Lösning:
$ y’=\frac{5x^4}{10} – \frac{1}{5} + 0 =Â \frac{x^4}{2} – \frac{1}{5} $
Tänk här på att
- derivatan av konstanten $\frac12$ är 0.
- $ \frac{5x^5}{10} $ förkortas med både 5 i täljare och i nämnare så att vi får $\frac{x^4}{2}$.
- $ \frac{x}{5} = \frac15⋅x^1 $ och att vi då får derivatan $ 1⋅\frac15⋅x^0 = \frac15 $
Derivera Potensfunktioner med bråk som koefficienter och exponenter
Vi skall nu gå vidare och titta på hur vi jobbar med potensfunktioner och när dessa innehåller bråktal. I en potensfunktion kan exponenterna vara reella tal också och behöver inte vara heltal. Vi kommer ändå att kunna använda samma deriveringsregler. Det är dock viktigt att ha koll på några olika potensregler för att du skall förstå fortsättningen så vi börjar att repetera några sådana.
- $ \sqrt[n]{x} = x^{1/n} $. Exempelvis kan vi då skriva $ \sqrt{x} = x^{1/2} $ eller $ \sqrt[4]{x} = x^{1/4} $.
- $ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $. Exempelvis kan vi då skriva $ x^{-5} = \frac{1}{x^5} $ eller åt andra hållet $ \frac{1}{x^2} = x^{-2} $.
Med dessa regler i bakhuvudet kan vi nu gå vidare och ta två stycken exempel där vi deriverar potensfunktioner som innehåller bråk.
1. Derivera $ y = 3\sqrt{x} $
Lösning:
Här skriver vi först om funktionen till $ y = 3\sqrt{x} = 3x^{1/2} $ med hjälp av potensregeln ovan.
Då får vi derivatan
$ y’ = \frac12â‹…3x^{-1/2} = \frac32â‹…\frac{1}{x^{1/2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
Tänk på att vi även skriver om derivatan med hjälp av potensreglerna här ovan.
2. Derivera $ y = \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} $
Lösning:
Vi skriver först om funktionen till $ y = \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{1/3} + x^{-1/2}$.
Då får vi derivatan
$y’=\frac13 x^{1/3-1} – \frac12x^{-1/2-1} = \frac13 x^{-2/3} – \frac12x^{-3/2} =$
$= \frac{1}{3x^{2/3}}+\frac{1}{2x^{3/2}}$
Här kan vi också skriva om $ 2x^{3/2} = 2x^1 x^{1/2} = 2x\sqrt{x} $ i sista steget.
Har du ett exempel du inte kan lösa?
Om du har ett exempel som du kanske inte kan lösa som liknar dessa? Kommentera då gärna detta så fortsätter vi diskussionen kring att derivera roten ur och bråk.
Hej! Hur deriverar man f(x)=√7x
Hej Salma,
Skriv om uttrycket i potensform innan du deriverar så blir det enklare.
$f(x)=\sqrt{7x}=\sqrt 7 \cdot \sqrt x = 7^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} $
Sedan deriverar vi.
$f'(x)= 7^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1}$
vi förenklar
$f'(x)=\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=$ $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot {\frac{1}{x^\frac{1}{2}}}=$ $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2\cdot x^{\frac{1}{2}}}=$ $\frac{\sqrt{7}}{2\cdot \sqrt{x}}$
Gick det att hänga med på?
Lite mer generellt gäller att
$f(x)=a\sqrt{x}$ har derivatan $f'(x)=\frac{a}{2\sqrt x}$
Byter du ut $a$ mot $\sqrt 7$ så är det just svaret vi just beräknade.
Hej! Hur deriverar man ( 1/(√x + x) )^4 ?
Hej hur deriverar jag 5/2x^2?
Hej Caroline,
ska jag tolka din fråga som $\frac {5}{2x^2}$?
I så fall skulle jag skrivit om det på följande sätt för att underlätta deriveringen
$f(x)=\frac {5}{2x^2}= \frac {5}{2}\cdot x^{-2}$ och sedan deriverat det.
$f'(x)=\frac {(-2)\cdot 5}{2}\cdot x^{-2-1}=$$\frac {-10}{2}\cdot x^{-3}=$$ -\frac {10}{2x^{3}}= – \frac {5}{x^{3}} $
Hur deriverar man $\frac{3}{x^2}$?
Hej Anna,
i Ma3b oh c skriver vi om det på följande sätt för att underlätta deriveringen.
$\frac{3}{x^2}=3 \cdot x^{-2}$
och med deriveringsregeln för potensfunktioner får vi att
$f(x)=\frac{3}{x^2}$ ⇒ $f'(x)=-2\cdot 3\cdot x^-3= -\frac{6}{x^3}$
I Ma4 kan du använda kvotregeln för att komma fram till samma sak.
Hej!
Jag har fastnat på en deriveringsfråga,
Hur deriverar man e^roten av x ?
Jag skrev om funktionen till (e^x)^0,5 och använde mig av kedjeregeln men får i slutändan e^x/(2*roten ur e^x). Svaret är dock nämnaren ska vara roten ur x * 2.
Tack för svar!
Mvh Linnea
Hej Linnea.
Vi måste använde kedjeregeln. Vi skriver först om rotuttrycket i potensform.
$y=e^\sqrt {x}=e^{x^{0,5}}$
Nu deriverar vi med kedjeregeln.
Exponenten $g(x)=x^{0,5}$ har derivatan $g´(x)=0,5x^{0,5-1}=0,5x^{-0,5}$
får vi att
$y´=e^{x^{0,5}}\cdot{0,5\cdot(x^{-0,5}})$
$y´=e^{x^{0,5}}\cdot{\frac12\cdot(x^{-0,5}})$
$y´=\frac{e^{x^{0,5}}}{2\cdot{x^{0,5}}}$
$y´=\frac{e^{\sqrt {x}}}{2\cdot{\sqrt {x}}}$
Detta är derivatan. Men vi kan välja att skriva om den på basen $2x$ genom att förlänga med $\frac{\sqrt x}{\sqrt x}$ och få att
$y´=\frac{e^{\sqrt {x}}}{2\cdot{\sqrt {x}}}\cdot \frac{\sqrt x}{\sqrt x}=$$\frac {e^{\sqrt x}\cdot \sqrt x}{2\cdot x}$
Hoppas detta hjälpte dig!
Hej hur deriverar man roten ur (2x+1)?
Hej Maria.
Lättast är att först skriva om uttrycket i potensform.
Enligt potens regeln $\sqrt{a}=a^{0,5}$ får vi att
$y=\sqrt{2x+1}=$$(2x+1)^{0,5}$
Vi har nu en yttre $f(x)=\sqrt{g(x)}$ och en inre $g(x)=2x+1$ funktion.
Vi måste använda oss av kedjeregeln på ett sådant uttryck, vilken är att
$y=f(g(x))$ ger att $y’=f'(g(x))\cdot g'(x)$
Nu deriverar vi tillsammans med deriveringsregeln för potensfunktioner.
$f(x)=k\cdot x^{n}$ ger att $f'(x)=n\cdot k\cdot x^{n-1}$
Vi får att derivatan är
$y’=0,5\cdot(2x+1)^{-0,5} \cdot 2$
eftersom att den yttre derivatan är
$f'(x)=0,5\cdot(g(x))^{-0,5}$ och den inre $g'(x)=2$
Detta i sin tur kan vi skriva om som
$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(2x+1)^{0,5}}\cdot 2=$$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\cdot 2=$$\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$
Hoppas detta var till hjälp för dig.
Hej! När jag ska hitta f'(6) för funktionen, y= 5^x × 2 × 2x
SÃ¥ fÃ¥r jag inte samma värde för f'(6) när jag använder mig av differenskvoterna och när jag själv deriverar med deriveringsreglerna. Dessutom fÃ¥r jag inte samma värde när jag använder mig av grafräknaren och när jag själv deriverar med deriveringareglerna. Dock fÃ¥r jag nästanvsamma värde pÃ¥ bÃ¥de grafräknaren när jag räknar ut ”nDeriv” som när jag räknar ut med hjälp av centrala differenskvoten.
Uträkning med Centrala differenskvoten för f'(6):
F(6.01)-(5.99) dividerat med 0.02=
(5^6.01 × 2 × 2 × 6.01 – 5^5.99 × 2 × 2 × 5.99)/ 0.02= (381719 – 368397)/ 0.02= 66100
Uträkning med miniräknare nDeriv(
nDeriv(5^x × 2 × 2x, x, 6)= 66039
Uträkning med deriveringareglerna:
f(x)= 5^x × 2 × 2x
f'(x)= 5^x × ln(5) × 2 × 2 × x
f'(x)= 5^x × 6.4377 × x
f'(6)= 603539
Vad beror det på att när jag använder mig av deriveringsreglerna så skiljer sig derivatan mycket i jämförelse med användning av miniräknare samt centrala differenskvoten? Deriverar jag på fel sätt med hjälp av deriveringsreglerna?
Skulle vara tacksam för ett svar så snart ni har möjlighet, jag har prov imorgon 🙂
Hej
När du deriverar med en räknare så använder de numeriska metoder (om de inte är symbolahanterande) vilket gör att svaren blir lite olika.
Det är alltså en uppskattning som räknaren gör. När du löser det med en algebraisk metod har du alltid möjlighet att få det mest korrekt svaret.
Hej!
Hur deriverar man detta:
F(x) = 1/x^2
Derivatan av funktionen $F(x) = 1/x^2$ får vi fram lättast genom att först skriva om funktionen i potensform. Vi använder potensregeln att $x^n=\frac{1}{ x^{-n}}$
$F(x) =\frac{1}{ x^{2}}=x^{-2}$
Vi får då enligt deriveringsreglerna att
$F'(x)= (-2)\cdot x^{-3}$
Detta kan vi skriva om med samma potensregel till
$F'(x)= -\frac{2}{ x^{3}}$
Hoppas detta gick att förstå!
PS. Var den en primitiv funktion $F(x)$ eller en ”vanlig” $f(x)$? Derivatan är den samma, men vill bara observera dig pÃ¥ att $F(x)$ och $f(x)$ betyder tvÃ¥ olika saker. DS
Hej! Hur deriverar man funktionen x multiplicerat med roten ur x?
Hej Oliver.
$f(x)=x·\sqrt{x}=x^1·x^{0,5}=x^{1,5}$
Denna deriveras med deriveringsreglerna till
$f'(x)=1,5·x^{0,5}$
Hoppas detta var till någon hjälp.
Hej hur deriverar man x^1/2 med hjälp av derivatans funktion?
Hej Johanna.
Vi använder våra deriveringsregler och får att
$f(x)=x^{\frac12}$
ger oss
$f'(x)=\frac12·x^{-\frac12}=\frac{1}{2x^\frac12}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Hej,
Hur deriverar man funktionen
F(x) = x√(3-x^2) ?
Hälsningar Axel
Hej Axel.
Vi skriver om funktionsuttrycket $F(x)=x\cdot\sqrt{(3-x^2)}$ i tydligare potensform för att lättare kunna derivera. Eftersom att $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$ får vi att
$F(x)=x\cdot\sqrt{(3-x^2)}=x\cdot(3-x^2)^{\frac{1}{2}} $
Vidare kan vi förenkla uttrycket med potensreglerna $(a\cdot b)^{n}=a^n \cdot b^n$ och $(a^{m})^n=a^{m\cdot n}$ och får att
$x\cdot(3-x^2)^{\frac{1}{2}}=x\cdot(3^{\frac{1}{2}}-x^{2\cdot\frac{1}{2}})=x\cdot({3}^\frac{1}{2}-x^{2\cdot\frac{1}{2}} )=x\cdot({3}^\frac{1}{2}-x)$
Vi multiplicerar in x i parentesen och får att
$x\cdot({3}^\frac{1}{2}-x)={3}^\frac{1}{2}x-x^2$
Detta uttryck deriverar vi nu enligt deriveringsregler för polynom.
$F(x)={3}^\frac{1}{2}x-x^2$ ger derivatan
$F´(x)={3}^\frac{1}{2}x^{1-1}-x^{2-1}={3}^\frac{1}{2}x^{0}-x^{1}={3}^\frac{1}{2}-x$ eller om man hellre vill svar utan potens $F´(x)\sqrt{3}-x$.
Jag vet inte vilken kurs du jobbar med men vill bara uppmärksamma dig på att $f(x)$ betecknar funktionen med den primitiva funktionen $F(x)$ där $F´(x)=f(x)$. Bara så att du är tydlig på att skilja på $f(x)$ och $F(x)$!
Lycka till.