Fibonaccis talföljd
2012-01-24 Av Simon Rybrand 1 kommentar
I framförallt kursplanerna till Matematik 1 ingår det att känna till vissa av de delar av matematiken som på ett speciellt sätt är tydliga i naturen. Ett av de allra tydligaste sambanden i naturen är det som kallas för fibonaccis talföljd.
Vad är fibonaccis talföljd
Om vi först börjar att förklara vad en talföljd är för något så blir det också enklare att förstå fibonaccis talföljd.
En talföljd kan beskrivas som en följd av tal där varje efterföljande tal pÃ¥verkas av tidigare tal enligt ett samband. Ett exempel pÃ¥ en talföljd är tex 3, 9, 27, 81, 243, … Detta är en sÃ¥ kallad geometrisk talföljd som ligger i matematik 3 där varje efterföljande tal fÃ¥s genom att multiplicera föregÃ¥ende tal med en sÃ¥ kallad kvot som i det här fallet är 3.
Med fibonaccis talföljd är det istället så att vi får nästföljande tal genom att addera de två föregående talen med varandra. Om vi därför skulle skriva ut ett antal av dessa tal får vi
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …
Formeln för fibonaccis talföljd
De två första talen i fibonaccis talföljd är 0 och sedan 1. Efterföljande tal får vi genom
$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$an=an−1+an−2
Exempelvis är
$a_3=0+1=1$a3=0+1=1
$a_4=1+1=2$a4=1+1=2
$a_5=1+2=3$a5=1+2=3
$a_6=2+3=5$a6=2+3=5
$a_7=5+3=8$a7=5+3=8
…
Vad är egentligen intressant med dessa tal?
SÃ¥ vad är det egentligen som är intressant med just dessa tal uppkallade efter italienaren Leonardi Pisano Fibonacci (1200 – talet)?
Det intressanta är att dessa tal och kvoten mellan dem (dvs 8/5 eller 55/34) återkommer om och om igen i naturen. Förhållandet mellan talen kommer att närma sig det gyllene snittet ju högre efterföljande tal som du delar med varandra.
Det gyllene snittet är ungefär 1,618. Om vi delar några efterföljande tal i fibonaccis talföljd får vi
$\frac{8}{5}=1,6$85Â =1,6
$\frac{55}{34}\approx1,6176$5534 ≈1,6176
$\frac{2584}{1597}\approx1,618$25841597 ≈1,618
Dvs förhållandet mellan talen verkar bli allt mer lika det gyllene snittet!
Exempel där fibonaccis talföljd dyker upp i naturen
Om du kikar ovanifrÃ¥n pÃ¥ en kotte sÃ¥ kan du se att att kottens sÃ¥ kallade fjäll vrider sig i spiraler Ã¥t det ena och det andra hÃ¥llet. Om man räknar dessa spiraler kommer du att se att det finns 13 stycket Ã¥t ena hÃ¥llet och 8 stycket Ã¥t det andra. Just dessa tvÃ¥ tal ingÃ¥r i fibonaccis talföljd (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …) och ställer vi upp kvoten av dessa tvÃ¥ tal sÃ¥ fÃ¥r vi  $\frac{13}{8}=1,625$138 =1,625.
Solrosor är också ett exempel där vi hittar fibonaccis talföljd och det gyllene snittet. Även för solrosor så kan du räkna spiralerna som sitter i par. Du hittar då par av fibonaccis talföljd, exempelvis 55 och 34.
Det finns mängder av fler exempel från naturen på detta. Några av dessa är kronärtskocka, snäckor, blomkål (romanesca). Det är lite av ett under hur naturen har formats på ett sätt som vi människor både tycker är vackert och kan tolka matematiskt.
tack för förklaring jao