Fibonaccis talföljd
2012-01-24 Av Simon Rybrand 1 kommentar
I framförallt kursplanerna till Matematik 1 ingår det att känna till vissa av de delar av matematiken som på ett speciellt sätt är tydliga i naturen. Ett av de allra tydligaste sambanden i naturen är det som kallas för fibonaccis talföljd.
Vad är fibonaccis talföljd
Om vi först börjar att förklara vad en talföljd är för något så blir det också enklare att förstå fibonaccis talföljd.
En talföljd kan beskrivas som en följd av tal där varje efterföljande tal påverkas av tidigare tal enligt ett samband. Ett exempel på en talföljd är tex 3, 9, 27, 81, 243, … Detta är en så kallad geometrisk talföljd som ligger i matematik 3 där varje efterföljande tal fås genom att multiplicera föregående tal med en så kallad kvot som i det här fallet är 3.
Med fibonaccis talföljd är det istället så att vi får nästföljande tal genom att addera de två föregående talen med varandra. Om vi därför skulle skriva ut ett antal av dessa tal får vi
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …
Formeln för fibonaccis talföljd
De två första talen i fibonaccis talföljd är 0 och sedan 1. Efterföljande tal får vi genom
$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$an=an−1+an−2
Exempelvis är
$a_3=0+1=1$a3=0+1=1
$a_4=1+1=2$a4=1+1=2
$a_5=1+2=3$a5=1+2=3
$a_6=2+3=5$a6=2+3=5
$a_7=5+3=8$a7=5+3=8
…
Vad är egentligen intressant med dessa tal?
Så vad är det egentligen som är intressant med just dessa tal uppkallade efter italienaren Leonardi Pisano Fibonacci (1200 – talet)?
Det intressanta är att dessa tal och kvoten mellan dem (dvs 8/5 eller 55/34) återkommer om och om igen i naturen. Förhållandet mellan talen kommer att närma sig det gyllene snittet ju högre efterföljande tal som du delar med varandra.
Det gyllene snittet är ungefär 1,618. Om vi delar några efterföljande tal i fibonaccis talföljd får vi
$\frac{8}{5}=1,6$85 =1,6
$\frac{55}{34}\approx1,6176$5534 ≈1,6176
$\frac{2584}{1597}\approx1,618$25841597 ≈1,618
Dvs förhållandet mellan talen verkar bli allt mer lika det gyllene snittet!
Exempel där fibonaccis talföljd dyker upp i naturen
Om du kikar ovanifrån på en kotte så kan du se att att kottens så kallade fjäll vrider sig i spiraler åt det ena och det andra hållet. Om man räknar dessa spiraler kommer du att se att det finns 13 stycket åt ena hållet och 8 stycket åt det andra. Just dessa två tal ingår i fibonaccis talföljd (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …) och ställer vi upp kvoten av dessa två tal så får vi $\frac{13}{8}=1,625$138 =1,625.
Solrosor är också ett exempel där vi hittar fibonaccis talföljd och det gyllene snittet. Även för solrosor så kan du räkna spiralerna som sitter i par. Du hittar då par av fibonaccis talföljd, exempelvis 55 och 34.
Det finns mängder av fler exempel från naturen på detta. Några av dessa är kronärtskocka, snäckor, blomkål (romanesca). Det är lite av ett under hur naturen har formats på ett sätt som vi människor både tycker är vackert och kan tolka matematiskt.
tack för förklaring jao