Name: Geometrisk talföljd - Talföljder (Ma 3) - Eddler
Brand: Eddler
Rating: 4.41 (32 reviews)

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Vad är en talföljd?

En talföljd är en följd av tal, ändligt eller oändligt många. Ofta upprepar talen sig enligt ett mönster som är olika för olika talföljder. Varje tal, som man också kallar för ett element, har en bestämd plats i talföljden. För att kunna urskilja på vilken plats talet står ger man varje tal ett index, en liten siffra som är nedsänkt efter $a$ a :et. Det första talet i talföljden betecknas alltså $a_1$ a₁ och det andra $a_2$ a₂ , tredje $a_3$ a₃ osv. Man har valt att använda bokstaven $n$ n som index som en allmän beteckning för ett elementets placering i talföljden. Man talar om det $n$ n :te elementen eller talet och menar då det ta som står på plats $n$ n, vilket kan motsvara vilken plats som helst i talföljden.

Det finns flera olika typer av talföljder varav den geometriska talföljden är en. I denna kursen är det just denna talföljd vi lär oss. Två andra ganska kända talföljder är den Aritmetiska, där differensen mellan två på varandra följande tal är konstant. Den andra mest välkända är kanske Fibonacciföljden, där värdet på ett element motsvarar summan av de två föregående elementen.

Den geometriska talföljden

För den geometriska talföljden gäller att kvoten $k$ k, mellan ett element och det föregående elementen är konstant för hela talföljden. Detta kan du använda både för att kontrollera om en talföljd är geometrisk eller om du ska bestämma kvoten eller något ytterligare element i talföljden.

Den geometriska talföljden har antagligen blivit så känd eftersom att den har många användningsområden. Det kanske mest kända användningsområdet är det som inom ekonomin kallas för ”ränta på ränta”.

För att beräkna vad man kallar för ränta på ränta använder man matematiskt en geometrisk talföljd. I de genomgångar vi har på geometriska talföljder har vi flera exempel på hur man använder den geometriska talföljden för att räkna ut just sådana ekonomiska förlopp.

Formler för geometriska talföljder

I en geometrisk talföljden får vi hela tiden nästa tal genom att multiplicera det nuvarande talet med det som kallas för kvoten k. Så om vi tex har talföljden $3,\,6,\,18,\,54, …$ så är den så kallade kvoten $3$ 3, för att nästa tal ges genom att multiplicera föregående tal med talet $3$ 3.

Formel för att bestämma kvoten $k$

$k=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ k=a_n+1a_n där $a_n$ a_n är talet precis framför talet $a_{n+1}$ a_n+1 i talföljden

Formeln för det n:te talet i talföljden

$a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$

$a_n$ är det n:te talet.
$a_1$ är det första talet i talföljden
$k$ är kvoten

Om du inte har det först talet kan du bestämma det med hjälp av kvoten och ett annat tal. bara du vet deras placeringar.

$a_n = a_m \cdot k^{n-m}$

$a_n$ är det n:te talet.
$a_m$ är det är det m:te talet.
$k$ är kvoten

Exempel i videon

Exempel på aritmetisk taljföljd, geometrisk talföljd och Fibonaccis talföljd.
Ange en formel för det n:te talet i talföljden $1, \,3, \,9, \,27, \,81, \,243, \,…$

Nästa lektion: Geometriska talföljdens summa

Kommentarer

Christoffer Gustavsson

2016-12-21

Hej .
Behöver hjälp med en uppgift i Matte 3b.

Vilket är det åttonde elementet i en geometrisk talföljd om a3 = 36 och a5 = 324?

Simon Rybrand (Moderator)

2016-12-22

Hej
Här behöver du först ta reda på kvoten, du kan kalla den för $k$ . Vet vet att
$ a_4=36·k
$a_5=36·k^2=324$
Dvs vi har ekvationen
$36·k^2=324⇔$
$k^2=9⇔$
$k=9$ (positiva lösningen räcker här)
Kommer du vidare utifrån detta?

Christoffer Gustavsson

2016-12-01

Hej!

Hur ska ja lösa denna uppgift:
”bestäm de fem första elementen i en geografisk talföljd som beskrivs av formeln: An=3/4*An-1, A1=2”
Vad gör jag för fel när jag ska beskriva det tredje elementet? A3=3/4*3^2, A3=6,75.
Svaret ska vara 9/8….

Simon Rybrand (Moderator)

2016-12-02

$a_1=2$
$a_2=\frac34 · 2= \frac{6}{4}= \frac{3}{2}$
$a_3=\frac34 · \frac{3}{2}= \frac{9}{8}$

Sven Moubis

2016-10-06

Hej
Hur räknar rman ut summan efter den 12:e insättningen om,
Lisa sparar 1000 kr per månad med årsräntan 2,0%. Hur mycket pengar finns på kontot efter den 12:e insättningen?

Simon Rybrand (Moderator)

2016-10-07

Hej!
Kika på hur man beräknar geometriska talföljders summor.

carolina svensson

2016-09-18

Hur går man till väga med denna uppgift?
I en geometrisk talföljd är tredje elementet 120 och åttonde elementer -15/4.
a) bestäm talföljdens kvot.
b) bestäm talföljdens första element.

Facit är:
a) k=-1/2 b) a1= 480

Simon Rybrand (Moderator)

2016-09-19

Hej! Se svaret på kommentaren här ovanför, exakt samma uppgift!

therese

2016-02-22

Hej!
I en geometrisk talföljd är tredje element 120 och åttonde elementet -15/4.
Bestäm talföljdens kvot och talföljdens första element
Hur räknar jag ut det?

Simon Rybrand (Moderator)

2016-02-23

Hej, du kan skriva upp det som
$a_1,a_2,120,a_4,a_5,a_6,a_7,-\frac{15}{4}$
För att komma från det tredje elementet till det åttonde så multiplicerar du $120$ med kvoten $k$ fem gånger. Dvs du kan ställa upp ekvationen
$120·k^5=-\frac{15}{4}$
I denna potensekvation löser du ut $k$
Hoppas att detta hjälper dig vidare!

fredrik karlsson

2016-02-10

Hej!
”Beräkna summan av de åtta första elementen i en geometrisk talföljd där
a₄=108 och a₈=8748, k>0

Hade gärna behövt lite hjälp med denna!

fredrik karlsson

2016-02-10

Löste den!

Sara Hagberg

2015-05-11

Hej! Jag får en grym hjälp av era videos, tack så mycket för dem. Jag har fastnat på ett tal i boken som jag inte kan förstå mig på, som gå så här: Vilket element i den geometriska följden 9/4, 3/4, 1/4,… har värdet 1/108? Jag har kommit fram till kvoten 1/3, sedan tar det helt stopp.

Simon Rybrand (Moderator)

2015-05-11

Hej
Om du har kvoten $\frac13$ så kan du använda dig av formeln för det n:te talet:
$a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$
där vi har
$a_n=\frac{1}{108}$
$a_1=\frac94$
$k=\frac13$
Du får då ekvationen
$\frac{1}{108} = \frac94 ⋅ (\frac13)^x$
Denna ekvation kan du lösa och få fram x = n-1
Säg till om du behöver mer hjälp med detta.

Sara Hagberg

2015-05-11

Åh vad bra, nu tror jag att jag förstår. Blir alltså hela n-1=x när jag räknar sådana tal? Jag behöver alltså inte räkna med -1 i efterhand? Jag tror att det är det som har krånglat till det i huvudet på mig.

Simon Rybrand (Moderator)

2015-05-13

Ja när du får fram n-1 så vet du att nästa tal n är det som du söker.

Ailin Gottfridsson

2015-02-24

En geometrisk talföljd gäller rekursionsformeln an=(-3)* an-1, a1=-2. En sluten formel för den följd som bildas av elementen a2,a4,a6,…
Bokens svar är an=6*9n-1
Är det inte an=(-2)*(-3)n-1?

Simon Rybrand (Moderator)

2015-02-25

Talföljden ser ut enligt
-2, 6, -18, 54, -162, 486, …
och om vi endast tar
$a_2,a_4,a_6,…=6,54,486,..$
Här ges talet genom att vi multiplicerar föregående tal med 9.
Dvs
$a_n = 6⋅9^{n-1}$
I denna talföljd ges de första talen av:
$a_1=6⋅9^{1-1}=6⋅9^0=6⋅1=6$
$a_2=6⋅9^1=54$
$a_3=6⋅9^2=486$
$…$

Ailin Gottfridsson

2015-02-25

Tack så mycket!

Ailin Gottfridsson

2015-02-23

Hej! Behöver lite hjälp.
Boken 3b 1008, hur räknar ut det?

Simon Rybrand (Moderator)

2015-02-24

Hej, Kan du skriva ner den uppgiften, vi har inte tillgång till alla böcker.

Ailin Gottfridsson

2015-02-24

Antal vetekorn på varje ruta i legenden om schackspelet utgör en geometrisk talföljd.
a) Ange följdens första element.
b) Vilken är kvoten k?
c) Bestäm en sluten formel för följdens n-te element.
d) Bestäm antal vetekorn på den sista rutan.

Simon Rybrand (Moderator)

2015-02-25

Om jag minns rätt så skall det vara ett vetekorn på den första rutan och sedan dubblas antalet för varje ny ruta?
Då är det första elementet 1 och det andra 2, det tredje 4, alltså
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, …
Kvoten blir då 2 och det n:te talet
$a_n = 1⋅2^{n-1}$ .
Det finns 64 rutor (8×8) så på den 64:e rutan får ganska många vetekorn trängas 😉
$a_{64} = 1⋅2^{63} = 9223372036854775808$

Ailin Gottfridsson

2015-02-25

Tack för din hjälp!

Kristoffer Danbrant

2015-02-03

Lyckas lösa en uppgift inom geometrisk talföljd genom att rita graf via grafräknaren men förstår inte hur jag logiskt ska räkna mig till svaret.

”I en geometrisk talföljd är a1=1 och k=1.05. För vilka n blir an>2?”
Svaret blir >a15 så alla n:te tal efter a16.

Simon Rybrand (Moderator)

2015-02-04

Hej
Du kan ställa upp ekvationen nedan som du löser med logaritmer.
$1⋅1,05^x = 2 ⇔$
$1,05^x=2 ⇔$
$lg1,05^x=lg2⇔$
$xlg1,05=lg2⇔$
$x=\frac{lg2}{lg1,05}≈ 14,2$

Viktigt här är att du får talet n-1 och inte n (kika på formeln för det n:te talet i texten ovan). Dvs vi har det 15:e talet.

Simon Rångeby

2014-11-08

Hej! Behöver lite hjälp.
”Vilket är det sjätte elementet i en geometrisk talföljd om a5=24 och a8=3?”

Simon Rybrand (Moderator)

2014-11-10

Hej,
Du får ställa upp en ekvation och använda dig av att du hela tiden får nästa tal i taljföljden genom att multiplicera med kvoten $k$ .
Så
$a_6=24⋅k$
$a_7=24⋅k^2$
$a_8=24⋅k^3$

Eftersom $a_8=3$ så kan du nu lösa ekvationen $24⋅k^3=3$

Mårten Hultkrantz

2015-02-24

Skulle uppskatta om nån kunde fortsätta den här uträkningen.

Simon Rybrand (Moderator)

2015-02-25

Ekvationen löser du enligt
$24⋅k^3=3 ⇔$
$k^3=\frac{3}{24} ⇔$
$k^3=\frac{1}{8} ⇔$
$k=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$

Viking

2014-01-12

Angående den första frågan:
”Vilken typ av talföljd är följande talföljd: 3, 12, 23, 34”

Enligt förklaringen är det en aritmetisk talföljd då nästa tal ges genom att addera föregående tal med 11.

Men borde inte 3 + 11 = 14 eller har jag missförstått uträckningen?

Simon Rybrand (Moderator)

2014-01-13

Nej, du har inte missförstått uträkningen alls, det har slunkit in ett fel i uppgiftskonstruktionen, vi har korrigerat detta.

nti_ma3

2014-01-23

Borde inte rätt svar vara 1458 på fråga 3?

Simon Rybrand (Moderator)

2014-01-23

Jepp, det skall det vara. Uppgiften är korrigerad.

Matematik 3

Välj kurs

KURSER /

Matematik 3

/ Geometriska talföljder

Geometrisk talföljd

Författare:Simon Rybrand

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Formel för att bestämma kvoten kkk

Formeln för det n:te talet i talföljden

Christoffer Gustavsson

Simon Rybrand (Moderator)

Christoffer Gustavsson

Simon Rybrand (Moderator)

Sven Moubis

Simon Rybrand (Moderator)

carolina svensson

Simon Rybrand (Moderator)

therese

Simon Rybrand (Moderator)

fredrik karlsson

fredrik karlsson

Sara Hagberg

Simon Rybrand (Moderator)

Sara Hagberg

Simon Rybrand (Moderator)

Ailin Gottfridsson

Simon Rybrand (Moderator)

Ailin Gottfridsson

Ailin Gottfridsson

Simon Rybrand (Moderator)

Ailin Gottfridsson

Simon Rybrand (Moderator)

Ailin Gottfridsson

Kristoffer Danbrant

Simon Rybrand (Moderator)

Simon Rångeby

Simon Rybrand (Moderator)

Mårten Hultkrantz

Simon Rybrand (Moderator)

Viking

Simon Rybrand (Moderator)

nti_ma3

Simon Rybrand (Moderator)

Endast Premium-användare kan kommentera.

1.

2.

3.

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium

5. Premium

6. Premium

7. Premium

8. Premium

9. Premium

10. Premium

11. Premium

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

LADDAR DOKUMENT...

LADDAR GEOGEBRA...

Formel för att bestämma kvoten $k$