00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Regler vid kongruensräkning


Det finns framförallt fyra stycken räkneregler som vi kan använda när vi jobbar med kongruenser.

Om a1b1(modc)a_1 ≡ b_1\, (\text{mod}\, c) och a2b2(modc)a_2 ≡ b_2 \,(\text{mod}\, c) gäller att

1.     a1+a2b1+b2(modc)a_1 + a_2 ≡ b_1 + b_2 \,(\text{mod}\, c)
2.     a1a2b1b2(modc)a_1\cdot a_2 ≡ b_1 \cdot b_2\, (\text{mod}\, c)

Om ab(modc)a≡ b\, (\text{mod}\, c)  gäller att

3.     mamb(modc)m\cdot a ≡ m\cdot b\, (\text{mod}\, c) för alla heltal mm.
4.     anbn(modc)a^n ≡ b^n\, (\text{mod}\, c) för alla heltal n0n\ge 0.

Användning av reglerna för kongruenser

Genom att använda räknereglerna för kongruens kan man underlätta beräkningen av stora tal.

Exempel 1

Förenkla 17+26 (mod 4)17+26\text{ }(\text{mod}\text{ }4)17+26 (mod 4) 

Lösning

Enligt första kongruensregeln gäller att

 17+26  1+2  3 (mod4)17+26\text{ }≡\text{ }1+2\text{ }≡\text{ }3\text{ }(\text{mod}4)17+26 ≡ 1+2 ≡ 3 (mod4) 

eftersom att 17  1 (mod4)17\text{ }≡\text{ }1\text{ }(\text{mod}4)17 ≡ 1 (mod4) 

och   26  2 (mod4)26\text{ }≡\text{ }2\text{ }(\text{mod}4)26 ≡ 2 (mod4) 

Exempel 2

Förenkla 1726 (mod 4)17\cdot26\text{ }(\text{mod}\text{ }4)17·26 (mod 4) 

Lösning

Enligt andra kongruensregeln gäller att

 1726  12  2 (mod4)17\cdot26\text{ }≡\text{ }1\cdot2\text{ }≡\text{ }2\text{ }(\text{mod}4)17·26 ≡ 1·2 ≡ 2 (mod4) 

eftersom att 17  1 (mod4)17\text{ }≡\text{ }1\text{ }(\text{mod}4)17 ≡ 1 (mod4) 

och   26  2 (mod4)26\text{ }≡\text{ }2\text{ }(\text{mod}4)26 ≡ 2 (mod4) 

Exempel 3

Förenkla 263 (mod 4)26^3\text{ }(\text{mod}\text{ }4)263 (mod 4) 

Lösning

Enligt fjärde kongruensregeln gäller att

 263 23  8  0 (mod4)26^3≡\text{ }2^3\text{ }≡\text{ }8\text{ }≡\text{ }0\text{ }(\text{mod}4)263≡ 23 ≡ 8 ≡ 0 (mod4) 

eftersom 26  2 (mod4)26\text{ }≡\text{ }2\text{ }(\text{mod}4)26 ≡ 2 (mod4) och anbn(modc)a^n ≡ b^n\, (\text{mod}\, c) för alla heltal n0n\ge 0.

Resten noll, vilket vi fick i exempel 3, innebär för övrigt att 26326^3263 är delbart med 444. Alla beräkningar i modulo ccc som ger resten 000 innebär att talet är delbart med ccc. Divisionen ger ju en heltalskvot  med resten noll!

Exempel i videon

  • Bevis för att a+cb+d(modn)a + c ≡ b + d \,(mod \,n)ab(modn)a ≡ b\, (mod\, n) och cd(modn)c ≡ d\, (mod\, n).
  • a4(mod8)a ≡ 4\, (mod\, 8 ) och b5(mod8)b ≡ 5\, (mod\, 8).
    Bestäm
    a) a+ba + b
    b) abab
    c) a3a^3
  • Idag är det Torsdag. Bestäm vilken veckodag det är om 900 dagar.