Författare:Simon Rybrand
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
Regler vid kongruensräkning
Det finns framförallt fyra stycken räkneregler som vi kan använda när vi jobbar med kongruenser.
Om a1≡b1(modc) och a2≡b2(modc) gäller att
1. a1+a2≡b1+b2(modc)
2. a1⋅a2≡b1⋅b2(modc)
Om a≡b(modc) gäller att
3. m⋅a≡m⋅b(modc) för alla heltal m.
4. an≡bn(modc) för alla heltal n≥0.
Användning av reglerna för kongruenser
Genom att använda räknereglerna för kongruens kan man underlätta beräkningen av stora tal.
Exempel 1
Förenkla 17+26 (mod 4)17+26 (mod 4)
Lösning
Enligt första kongruensregeln gäller att
17+26 ≡ 1+2 ≡ 3 (mod4)17+26 ≡ 1+2 ≡ 3 (mod4)
eftersom att 17 ≡ 1 (mod4)17 ≡ 1 (mod4)
och 26 ≡ 2 (mod4)26 ≡ 2 (mod4)
Exempel 2
Förenkla 17⋅26 (mod 4)17·26 (mod 4)
Lösning
Enligt andra kongruensregeln gäller att
17⋅26 ≡ 1⋅2 ≡ 2 (mod4)17·26 ≡ 1·2 ≡ 2 (mod4)
eftersom att 17 ≡ 1 (mod4)17 ≡ 1 (mod4)
och 26 ≡ 2 (mod4)26 ≡ 2 (mod4)
Exempel 3
Förenkla 263 (mod 4)263 (mod 4)
Lösning
Enligt fjärde kongruensregeln gäller att
263≡ 23 ≡ 8 ≡ 0 (mod4)263≡ 23 ≡ 8 ≡ 0 (mod4)
eftersom 26 ≡ 2 (mod4)26 ≡ 2 (mod4) och an≡bn(modc) för alla heltal n≥0.
Resten noll, vilket vi fick i exempel 3, innebär för övrigt att 263263 är delbart med 44. Alla beräkningar i modulo cc som ger resten 00 innebär att talet är delbart med cc. Divisionen ger ju en heltalskvot med resten noll!
Exempel i videon
- Bevis för att a+c≡b+d(modn) då a≡b(modn) och c≡d(modn).
- a≡4(mod8) och b≡5(mod8).
Bestäm
a) a+b
b) ab
c) a3 - Idag är det Torsdag. Bestäm vilken veckodag det är om 900 dagar.
Kommentarer
e-uppgifter (4)
1.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K t≡5 (mod 10) och q≡7 (mod 10). Bestäm t+q.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Bestäm det minsta positiva heltalet q så att 115≡q (mod 5).
Svar:Ditt svar:Rätt svar: q=1(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Ange alla lösningar i intervallet 4≤x≤104≤x≤10 då xx är ett positivt heltal och 19x≡2119x≡21 (mod 44).
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=7(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(2/0/0)E C A B P 1 PL 1 M R K Om klockan är 14.00 nu, vad är klockan om 5400 timmar?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 15(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (3)
5. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Vilken rest fås då 2627 divideras med 8?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 0(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(0/2/0)E C A B P 1 PL 1 M R K Med hjälp av en av reglerna för kongruensräkning kan den sista siffran i talet 22215 bestämmas. Vilken är denna siffra?
Tips: Räkna modulo 10.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 8(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(0/2/0)E C A B P 2 PL M R K x≡5 (mod 6) och y≡2 (mod 6). Bestäm xy (mod 6).
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
a-uppgifter (1)
8. Premium
(0/0/2)E C A B P 2 PL M R K Vilket eller vilka av följande alternativ är korrekta?
A) 25n+1 är delbart med 2 för alla udda heltal n≥1.
B) 25n+1 är delbart med 3 för alla udda heltal n≥1.
C) 25n+1 är delbart med 4 för alla udda heltal n≥1.Svar:Ditt svar:Rätt svar: B(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Ali Ali
Kongruens är så underbart! Tack för all hjälp bästa eddler!
med vänliga hälsningar, mattemästaren (2/3)
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Härligt att höra!
You go!
Tadeusz Adamaszek
Detta är jättesvårt. Jag gillar inte det alls. Jag älskar eddler.
Mvh Mattemästaren 1/3
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Kämpa på!
Linus Strid
Hej,
I exempel 1 & 2 undrar jag varför ni skriver ”då 17/6 = 6 rest 1” när man ska förenkla ett uttryck med (mod4)? Samma med 26/6. Dessutom undrar jag hur 17/6 = 6 rest 1? Jag får nämligen det till 2 rest 5.
Simon Rybrand (Moderator)
Vi korrigerar texten där.
Benjamin Kwingwa Lidman
Hej!
Jag undrar om a^3 = 4^3 är rätt och om det inte ska vara ska vara a^3 = b^3(5^3) eftersom att räkneregeln säger a^t ”är kongruent med” b^t så därmed är a^3 kongruent med 5^3
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Vilken uppgift syftar du på här?
Maria Falah
Hej!
jag förstår inte varför?
30≡2 (mod 7) är kongruenta.
eller är det: att 30/7= 4 rest 2
och 2/7= 0 rest 2?
har jag förstått rätt?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Ett sätt att förstå det är att om du ”hoppar” med steglängden 7 från 30 och försöker komma så nära 0 som möjligt så hamnar du på 2.
Dvs 30−4⋅7=2 (4 hopp med steglängden 7).
Vi kan definiera kongruens som att två heltal a och b är kongruenta modulo n om de har samma rest vid division med heltalet n > 1. Det här säger samma sak som du nämner i ditt exempel, du har alltså förstått rätt 🙂
Mariam Hummadi
Hej hur beräknar man resten av, 3^100 mod 7 ?, och 15^100 mod 5?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
15100mod5≡0100mod5 så där är resten 0. Tänk på att du kan räkna kongruensräkning för potenser.
Ofta så använder man potensregeln (ab)c=abc när man söker efter sätt att skriva om uttryck med hjälp av reglerna för kongruensräkning.
Ett sätt att skriva om det första uttrycket kan vara enligt följande:
3100mod7=(32)50mod7=
950mod7≡250mod7=
(25)10mod7=3210mod7≡
410mod7=(42)5mod7
165mod7≡(2)5mod7=
32mod7≡4mod7
Det blev något långt här ovan, möjligtvis finns det sätt att göra det mer effektivt för att se att resten är 4.
Mariam Hummadi
20 mod(8), hur fick vi 4 mod(8)?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Vi får det för att 20 ≡ 4 (mod 8)
Du kan tänka att
20-2⋅8 = 4.
Endast Premium-användare kan kommentera.