Kombinationer och Permutationer - Ordnat och oordnat urval

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller

Kombinationer och permutationer – Kombinatorik

2013-12-10 Av Simon Rybrand 12 kommentarer

i 3 stycken blogginlägg har jag här på Matematikvideo.se introducerat det område inom den diskreta matematiken som kallas för kombinatorik. Du hittar det första inlägget här (introduktion och lådprincipen) och det andra här (additions- och multiplikationsprincipen).

I det här sista inlägget tänkte jag att vi skulle kika på det som kallas för kombinationer och permutationer.

Kombination och permutation – Vilka frågor besvaras?

De flesta principer och metoder inom kombinatorik handlar framförallt om att besvara frågan ”På hur många sätt?”. Man vill ofta ta reda hur många sätt som något kan göras, väljas ut eller grupperas om. Kombinationer och permutationer handlar framförallt om att man vill avgöra på hur många sätt som något kan väljas ut och här är det viktigt att hålla koll på om urvalet görs på ett ordnat eller oordnat vis. Hur skall man då förstå det här med ordning eller oordning i det här sammanhanget?

För att förklara det här så är det nog enklast att ta ett exempel. Låt säga att vi vill välja ut 3 besättningsmän till en båt ur en grupp på 20 personer.

Ett alternativ är då att välja ut personer till bestämda platser, tex till kapten, styrman och maskinist. Då säger man att urvalet skall ha en bestämd ordning och då kan vi använda det som kallas för permutationer för att veta hur många sätt som detta kan göras på.

Om urvalet inte görs på ett sätt där det får bestämda platser så kallas det istället för en kombination. Här kan man från exemplet säga att man istället bara väljer ut 3 besättningsmän och att dessa inte har några bestämda platser.

Hur beräknas permutationer och kombinationer?

För att kunna göra beräkningar på kombinationer och permutationer så behöver man känna till det som kallas för fakultet och som betecknas ! (utropstecken). Om man exempelvis skall beräkna 4! så multipliceras alla heltal från 4 till 1 med varandra för att få resultatet. Några exempel kan då vara:

  • $ 4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24 $
  • $ 5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 $
  • $ 0! = 1 $ (definieras på detta vis).

För att sedan beräkna en permutation (urvalet är ordnat) så gäller följande

  • $ P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!} $ – Detta innebär att du beräknar antal permutationer av k element bland n element.

Så om vi skulle välja 3 besättningsmän ur en grupp på 20 personer till bestämda platser så kan detta göras på

  • $ P(20,3) = \frac{20!}{(20-3)!} = \frac{20!}{17!} = 20⋅19⋅18 = 6840 $ olika sätt.

När du skall beräkna en kombination (urvalet är oordnat) så görs detta istället enligt

  • $ C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ – Detta innebär att du beräknar antal kombinationer av k element bland n element.

Så om vi skulle välja 3 besättningsmän ur en grupp på 20 personer där ordningen inte spelar någon roll så kan detta göras på

$ C(20,3) = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20⋅19⋅18}{6} =  1140 $ olika sätt.

Träna på att se när olika principer går att använda

När man håller på med kombinatorik så är det sällan som algebran eller aritmetiken är särskilt krånglig eller kräver särskilt många steg. Istället så är den största utmaningen oftast att förstå själva frågan och vilken av alla principer som går att använda. Ett viktigt moment när du jobbar med denna typ av matematik är därför att sätta sig in i alla principer, försöka se skillnader mellan dessa och att träna mycket på dessa.

Med de här avslutande orden om kombinatorik så avslutar vi denna lilla bloggserie i 3 delar. Hoppas att du som letar grundläggande information i detta ämne har lärt dig något nytt och att du fått en bra övergripande bild av området.

Gör som 1100+ matematiklärare, fysiklärare och skolpersonal och följ de senaste nyheterna i vårt nyhetsbrev.

Diskussion

  1. Bes skrev

    Jag har kommit fram till att det finns 120 kombinationer totalt om personerna måste gå till olika hus. Men sedan vet jag inte hur jag ska göra för att få exempelvis ett rätt, eller två rätt osv. Tror du att det kan finnas någon formel som innehåll r och p för att få reda på sannolikheten för till exempel ett rätt eller två rätt av fem personer osv? Tack för ditt snabba svar.

  2. Bes skrev

    Hej!
    Sitter just nu med en uppgift som handlar om sannolikhet/kombinatorik och den lyder såhär:
    ”I programmet Vem bor här? ska man para ihop fem personer med rätt hem, och i programmet Upp till bevis! ska man bara ihop sex personer med rätt yrke. Vad är sannolikheten att få r rätt om du ska para ihop p personer?”
    Här försökt lösa uppgiften, men jag kommer verkligen inte framåt så jag undrar om du har något knep för att komma fram?

    1. Simon Rybrand skrev

      Hej!
      På vilket sätt har du försökt att lösa uppgiften?
      Att sätt in r personer på deras rätta plats kan bara göras på ett sätt. De övriga kan dock sättas in på olika sätt.
      Sedan får du fundera på hur många sätt (kombinationer) som finns totalt.

  3. Fredrik skrev

    Hej
    kul sida, jag håller på med en avancerad app, där jag kräver länkar, där jag behövde ta reda på hur många olika variationer/sätt jag kunde skapa en viss länk på utifrån vissa förutsättningar (dvs antalet tecken). Eftersom mina matematiska kunskaper på just kombinatoriken var lite ringrostiga så var det kul att jag fann detta, det hjälpte. Nu vet jag vad konsekvensen blir och vilken säkerhet jag kan få ut av att veta antalet kombineringar. Ville bara dela med mig av detta så att även andra kan se att matematik kommer till mer pass ibland än att räkna in antalet barn på dagis, räkna ihop kostnad för mjölk och bröd ”INNAN” man går till snabbkassan. Just kombinatoriken är en välbehövande komponent i rätt många tillämpade fall.

    1. Simon Rybrand skrev

      Kul att det här hjälpte dig i ett konkret fall och att du delade med dig av detta!

  4. kristoffer skrev

    Sitter med en uppgift i kombinatorik jag inte alls förstår hur jag ska lösa och önskar en hjälpande knuff i rätt riktning.
    ”Hur många sjusiffriga tal kan man bilda med fyra ettor och tre tvåor om första siffran måste vara 1 och sista siffran måste vara 2?”
    Söker inte själva svaret utan hjälp med att förstå hur jag ska lösa uppgiften.

    1. Simon Rybrand skrev

      Hej
      Då har du alltså 5 ”tomma” platser där du skall placera ut 3 ettor och 2 tvåor, vi kan visualisera talet på följande vis:
      1 □ □ □ □ □ 2
      Vi kan först ta reda på hur många sätt som vi kan placera ut 3 ettor på fem platser där ordningen inte spelar någon roll,dvs vi beräknar kombinationen
      $ C(5,3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} =10 $
      Det finns alltså 10 olika sätt att placera ut ettorna.
      Om vi hade tänkt att vi istället skulle placera ut tvåorna först så hade det även då funnits 10 olika vis då
      $ C(5,2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} =10 $
      Detta är även vårt svar då de övriga talen är samma tal. Dvs om vi placerar ut ettorna på ett sätt så kommer det inte gå att ändra kombinationen eftersom att det inte spelar någon roll för talet om vi byter ordningen på tvåorna.

  5. Linda skrev

    Tack för förklaringen nu förstår jag vad det handlar om! Jag har dock en fråga för hur man kan räkna ut antalet olika sätt för större fakulteter. Kan du förklara hur du går tillväga när du räknar ut 20!/17!= 20*19*18? Finns det någon räkneregel? Tack på förhand!

    1. Simon Rybrand skrev

      Hej
      Hade nog tänkt på följande vis:
      $ \frac{20!}{17!}= \frac{20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅…⋅2⋅1}{17⋅16⋅15⋅…⋅2⋅1} $
      Här kan du förkorta med alla faktorer från 17 och nedåt i både täljare och nämnare så att det som återstår är $ 20⋅19⋅18 $.
      Hoppas att resonemanget hjälper dig vidare

  6. Gustaf skrev

    Tack Simon för lättförståelig förklaring av urvals matematiken.

  7. Warda skrev

    Hej.

    Har själv sjukt svårt med matten. Läste matte 1b kursen HT-13 och skulle idag 27/12 göra np men mailade min lärare och skrev att jag känner att jag behöver läsa om kursen.

    Tänker nu läsa kursen VT-14 och har redan ångest över hur det kommer gå. Just matte har jag alltid haft svårt för.
    Ska bli spännande att följa denna serie/blogg!

    1. Simon Rybrand skrev

      Hej,
      Kul att du hittat hit och vill följa bloggen. Bra ändå att du verkar ta tag i din kurs och vilja klara av den, det är första steget mot att lyckas med sina matematikstudier. Då får man mer motivation till att orka träna och öva mycket på matematik. Lycka till nu inför våren!

Kommentera

Din e-postadress kommer inte publiceras. Obligatoriska fält är märkta *

*

Prova Premium gratis i 14 dagar

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: