Jämvikt och momentlagen

Exempel 1

Bilden visar två barn på en gungbräda. Det mindre barnet väger  $22$22  kg och det större barnet väger $40$40  kg. Barn 1 sitter $1,8$1,8 m från vridningsaxeln. Hur långt från vridningsaxeln ska det större barnet sitta för att momentjämvikt ska råda?

Lösning

Vi ritar in krafter och momentarmar i figuren och skriver ned vad vi vet:

 $F_1=m_1\cdot g$F₁=m₁·g 
 $m_1=22$m₁=22  kg
 $r_1=1,8$r₁=1,8  m 

 $F_2=m_2\cdot g$F₂=m₂·g 
 $m_2=40$m₂=40  kg
 $r_2=?$r₂=? 

För att det ska vara momentjämvikt måste momentet moturs vara lika stort som momentet medurs.

 $\left|M_1\right|=\left|M_2\right|$|M₁|=|M₂| 

Kraftmomentet definieras som   $M=F\cdot r$M=F·r  vilket ger: 

 $F_1\cdot r_1=F_2\cdot r_2$F₁·r₁=F₂·r₂ 
 $m_1g\cdot r_1=m_2g\cdot r_2$m₁g·r₁=m₂g·r₂ 

Det vi söker är barn 2:s avstånd från vridningsaxeln. Vi löser ut $r_2$r₂  ur sambandet:

 $r_2=$r₂= $\frac{m_1g\cdot r_1}{m_2g}=\frac{m_1\cdot r_1}{m_2}=\frac{22\cdot1,8}{40}=$m₁g·r₁m₂g =m₁·r₁m₂ =22·1,840 = $0,99$0,99  m 

Svar: Det större barnet ska sitta $99$99  cm från vridningsaxeln för att momentjämvikt ska råda.

Exempel 2

En homogen bom vid en rälskorsning hålls stilla horisontellt av en bock i ena änden och en kraft på $40$40 N i andra. Bommen är vridbar vid bocken. Vad väger bommen?

Lösning

En kraft verkar även uppåt från bocken på bommen och hjälper till att hålla bommen i kraftjämvikt. Men om vi väljer vridningspunkt vid bocken kommer kraftmomentet för denna kraft att bli noll (momentarmen är ju då noll). Detta underlättar beräkningarna. De krafter som nu verkar vridande på bommen kring vridningsaxeln är då kraften  $F=40$F=40  N och tyngdkraften  $F_g=mg$F_g=mg  som ju verkar i bommens mittpunkt.

Vi ritar in tyngdkraften och dess momentarm:

Eftersom bommen är i jämvikt måste momentet medurs vara lika stort som momentet moturs enligt momentlagen:

 $\left|M_1\right|=\left|M_2\right|$|M₁|=|M₂| 

Momentet medurs utgörs av produkten av tyngdkraften  $F_g$F_g  och halva bommens längd  $\frac{l}{2}$l2  , och momentet moturs utgörs av produkten av kraften $F$F  och hela bommens längd $l$l .

 $F_g\cdot$F_g· $\frac{l}{2}=$l2 = $F\cdot l$F‍·l
 $mg\cdot$mg· $\frac{l}{2}=$l2 = $F\cdot l$F·l 

Vi löser ut massan $m$m och förkortar bort längden  $l$l :

 $m=$m= $\frac{2F\cdot l}{g\cdot l}=\frac{2F}{g}=\frac{2\cdot40}{9,82}=$2F·lg·l =2Fg =2·409,82 = $8,14…$8,14…  kg

Svar: Bommens massa är  $8,1$8,1  kg. 

Exempel 3

En skylt hänger på en balk utanför en butik enligt bilden. Balken är homogen, $1,8$1,8  m lång, väger $12$12  kg och är fäst i väggen med en rörlig led. Skylten hänger längst ut på balken och väger $8,0$8,0  kg. För att stabilisera balken är ett rep fäst i balken, och bildar vinkeln  $\theta=35^{\circ}$θ=35^∘  mot balken. Hur stor är kraften i repet?

Lösning

Vi börjar med att rita ut alla vridande krafter som verkar på balken:  $F_r$F_r  är kraften i repet,  $F_{gb}$F_gb  är tyngdkraften på balken och  $F_{gs}$F_gs  är tyngdkraften på skylten som även verkar på balken. Vi väljer att sätta vridningspunkten  $O$O  vid väggen.

Vi komposantuppdelar $F_r$F_r:

 $F_{\parallel}=F_r\cdot\cos\theta$F_∥=F_r·cosθ 

 $F_{\perp}=F_r\cdot\sin\theta$F_⊥=F_r·sinθ 

Eftersom balken är i jämvikt är kraftmomentet medurs $M_1$M₁ lika stort som kraftmomentet moturs $M_2$M₂ . Låter vi dessutom vridningspunkten vara fästet i väggen blir vi av med eventuella kraftmoment från krafter som verkar i den punkten. Den parallella komposanten av  $F_r$F_r  bidrar inte heller till kraftmomentet. 

 $\left|M_1\right|=\left|M_2\right|$|M₁|=|M₂|

$F_{gs}\cdot l+F_{gb}\cdot$F_gs·l+F_gb· $\frac{l}{2}=$l2 =  $F_r\cdot\sin\theta\cdot l$F_r·sinθ·l  

Vi ser att balkens längd  $l$l  finns i alla termer och vi kan förkorta bort den:

 $F_{gs}+$F_gs+ $\frac{1}{2}$12  $F_{gb}=F_r\cdot\sin\theta$F_gb=F_r·sinθ 

 $F_r=$F_r= $\frac{F_{gs}}{\sin\theta}+\frac{F_{gb}}{2\cdot\sin\theta}$F_gssinθ +F_gb2·sinθ   

 $F_r=$F_r= $\frac{m_sg}{\sin\theta}+\frac{m_bg}{2\cdot\sin\theta}=$m_sgsinθ +m_bg2·sin‍θ = $\frac{8\cdot9,82}{\sin35^{\circ}}+\frac{12\cdot9,82}{2\cdot\sin35^{\circ}}=$8·9,82sin35^∘ +12·9,822·sin35^∘ = $239,6…$239,6…  N

Svar: Kraften i repet är   $240$240  N