00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 4
/  Komplexa tal och Polynom

Komplexa tal på Polär form

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Polär form

Ett komplext tal  z=a+biz=a+biz=a+bi  kan representeras av en vektor, som ritas i det komplexa talplanet. Ett annat sätt att definiera vektorn är att ange dess längd och dess vinkel i förhållande till den positiva reella axeln. Detta kallas polär form. En av fördelarna med denna form är att det blir enklare att dividera, multiplicera och framförallt beräkna potenser med komplexa tal. Ett annat användningsområde är att vi kan använda polär form för att lösa ekvationer av typen  zn=wz^n=wzn=w.

Omskrivning till polär form

För att skriva ett komplext tal på polär form behövs alltså vektorns längd, dvs absolutbeloppet, samt vinkeln mellan den positiva reella talaxeln och det komplexa talets vektor. Denna vinkeln kallas för argumentet.

Komplext tal på polär form

För ett komplext tal  z=a+biz=a+biz=a+bi  i första kvadranten gäller:

Absolutbeloppet ges av  z=a+bi=|z|=|a+bi|=|z|=|a+bi|= a2+b2\sqrt{a^2+b^2}a2+b2 och betecknas  rrr.
Argumentet (vinkeln) beräknas genom  v=tan1(ba)v=\tan^{-1}(\frac{b}{a})v=tan1(ba ).

Det komplexa talet  zzz  skrivs på polär som

 z=r(cosv+isinv)z=r(\cos v+i\sin v)z=r(cosv+isinv) 

Exempel 1

Skriv det komplexa talet  q=2+4iq=2+4iq=2+4i  på polär form.

Lösning

Vi börjar med att åskådliggöra talet i det komplexa talplanet.

exempel-1-polar-form

Absolutbeloppet:  q=22+42=|q|=\sqrt{2^2+4^2}=|q|=22+42= 4+16=\sqrt{4+16}=4+16= 20\sqrt{20}20

Argumentet:  v=tan1(42)=1,101,1v=\tan^{-1}(\frac{4}{2})=1,10…\approx1,1v=tan1(42 )=1,10…1,1 rad 

Alltså är  qqq  på polär form:  q=20(cos1,1+isin1,1)q=\sqrt{20}(\cos1,1+i\sin1,1)q=20(cos1,1+isin1,1)

Om vi använder grader är argumentet  v63v\approx63^{\circ}v63.

Argumentet beräknas på lite olika sätt, beroende på vilken kvadrant som det komplexa talet befinner sig i. När det gäller den första kvadranten kan argumentet bestämmas som i exemplet ovan. Men i de övriga tre kvadranterna behöver vi lägga till ytterligare ett steg. Först markeras vinkeln mellan vektorn och den reella axeln i den aktuella kvadranten. Denna vinkel kan bestämmas med hjälp av tangens. Därefter kan argumentet, som alltid utgår från den positiva reella axeln, beräknas. Nedan hittar du exempel kring detta för kvadranterna 2-4. 

Exempel 2

Skriv det komplexa talet q=3+4i q = -3+4i på polär form.

Lösning

Vi börjar med att åskådliggöra talet i det komplexa talplanet.

exempel-2-polar-form

Absolutbeloppet:   q=32+42=|q|=\sqrt{3^2+4^2}=|q|=32+42= 9+16=\sqrt{9+16}=9+16= 25=\sqrt{25}=25= 555

Vektorn finns i den andra kvadranten, och argumentet beräknas då:
  v=πw=v=\pi-w=v=πw= πtan1(43)=\pi-\tan^{-1}(\frac{4}{3})=πtan1(43 )= 2,212,21…\approx2,21… 2,22,22,2 rad 

Alltså är  qqq  på polär form:  q=5(cos2,2+isin2,2)q=5(\cos2,2+i\sin2,2)q=5(cos2,2+isin2,2) 

Om vi använder grader är argumentet  v127v\approx127^{\circ}v127 

Exempel 3

Skriv det komplexa talet  q=45iq=-4-5iq=45i  på polär form.

Lösning

Vi börjar med att åskådliggöra talet i det komplexa talplanet.

exempel-3-polar-form

Absolutbeloppet:  q=42+52=|q|=\sqrt{4^2+5^2}=|q|=42+52= 16+25=\sqrt{16+25}=16+25= 41\sqrt{41}41 

Vektorn finns i den tredje kvadranten, och argumentet beräknas då:
 v=π+w=v=\pi+w=v=π+w= π+tan1(54)=\pi+\tan^{-1}(\frac{5}{4})=π+tan1(54 )= 4,034,03…\approx4,03… 4,04,04,0 rad

Alltså är  qqq  på polär form:  q=41(cos4,0+isin4,0)q=\sqrt{41}(\cos4,0+i\sin4,0)q=41(cos4,0+isin4,0) 

Om vi använder grader är argumentet  v231v\approx231^{\circ}v231

Exempel 4

Skriv det komplexa talet  q=35iq=3-5iq=35i  på polär form.

Lösning

Vi börjar med att åskådliggöra talet i det komplexa talplanet.

exempel-4-polar-form

Absolutbeloppet:  q=32+52=|q|=\sqrt{3^2+5^2}=|q|=32+52= 9+25=\sqrt{9+25}=9+25= 34\sqrt{34}34

Vektorn finns i den fjärde kvadranten, och argumentet beräknas då:
 v=2πw=v=2\pi-w=v=2πw=   2πtan1(53)=2\pi-\tan^{-1}(\frac{5}{3})=2πtan1(53 )=   5,25°5,25…°\approx5,25…° 5,35,35,3 rad 

Alltså är  qqq  på polär form:  q=34(cos5,3+isin5,3)q=\sqrt{34}(\cos5,3+i\sin5,3)q=34(cos5,3+isin5,3) 

Om vi använder grader är argumentet  v301v\approx301^{\circ}v301

Exempel i videon

  • Talet z=a+bi z=a+bi på polär form.
  • Skriv om talet z=3+4i z=3+4i på polär form.
  • Skriv z=4+5iz = -4 + 5i på polär form.
  • Skriv z=33iz = -3 – 3i på polär form.
  • Skriv z=44iz = 4 – 4i på polär form.