00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 5
/  Talteori
Talteori

Delbarhet, delare och faktor

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Delbarhet och delare – definitioner

Begreppet delbarhet motsvarar att kvoten man får när man dividerar två heltal, också är ett heltal. 

Vi kommer framöver använda delbarheten för att lättare kunna genomföra och ange egenskaper av beräkningar av stora tal och mängder.

Heltalet aaa är delbart med ett heltal b≠0b\ne0b≠0 om kvoten ab\frac{a}{b}ab  är ett heltal.

Man kan då säga att ” bbb  delar  aaa ” eller att ” bbb  är en delare till aa”, vilket skrivs som b ∣ a b \, | \, a .

Olika tal har olika möjliga delare, men alla heltal är åtminstone delbara med sig själv och talet 11. 

Om ett tal bb inte är en delare till aa skriver man istället b∤ a b\nmid a .

Exempel 1

Visa att 2∤(2a+1) 2 \nmid (2a +1) för alla aa.

Lösning

Då 2a2a2a alltid är ett jämt tal kommer 2a+1 2a +1 alltid vara ett udda tal. Inga udda tal är delbara med två. v.s.b.

Äkta delare

Delare som inte är talet själv eller ett, kallas för en äkta delare. 

En äkta delare ddd, definieras som delbart med något heltal, utöver talen ±1\pm1±1 och ±d\pm d±d , alltså talet självt och talet självt med ombytt tecken.

Exempelvis är talen  222 och  333 äkta delare till talet 666. Talen 111 och 666 är också delare, men inte äkta.

Delbarhet som följd på delbarhet

Eftersom att att vi kan faktorisera tal kan vi utnyttja dess delbahetsegenskaper för att undersöka ett annat tal delbarhet.

Exempel 2

Visa att om 2∣a2|a och 2∣b2|b, gäller det då även att 2∣(a+b)2|(a+b)?

Lösning

2∣a2|a och 2∣b2|b ger att a=2ka=2k och b=2nb=2n där  kkk och  nnn  är heltal

Vi får då att

a+b=2k+2n=2(k+n)a+b=2k+2n=2(k+n)

Eftersom att kkk och  nnn  är heltal, är även summan av dem ett heltal, vilket leder till att 2∣(a+b)2|(a+b).

Primtal och Sammansatta tal

Alla heltal  a>1a>1a>1 delas in i primtal och sammansatta tal. Ett positiv heltal som inte är ett primtal är ett sammansatt tal. Alla sammansatta tal kan skrivas som en entydig produkt av primtal. I lektionen om aritmetikens fundametalsats går vi igenom detta mer ingående.

Alla heltal är alltid delbara med sig själv och talet 111. Är de sammansatta tal är de även delbara med talets primtalsfaktorer samt alla produkter som är möjliga att skapa genom att kombinera talets primtalsfaktorer.

Exempelvis delar talet 333 talet 212121 då 213=\frac{21}{3}=213 = 777. Detta eftersom att täljaren, nämnaren och kvoten alla är ett heltal.

Vi säger att 3 ∣ 21 3 \, | \, 21 , som vi uttalar som tre delar tjugoett eller tre är en delare till tjugo ett.

Om vi exempelvis har talet 242424 så är detta tal delbart med 242424 och 111, samt med talen 2, 3, 4, 6, 82,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }6,\text{ }82, 3, 4, 6, 8 och 121212 . Detta beror på att talet 2424 är ett så kallat sammansatt tal, vilket har primtalsfaktorerna  24=2⋅2⋅2⋅324=2\cdot2\cdot2\cdot324=2·2·2·3 och är därmed delbart med med sig själv och talet 111, samt talets primtalsfaktorer och alla produkter som är möjliga att skapa genom att kombinera dem.

Eftersom att vi kan skriva talet tjugofyra som ett antal olika heltalsprodukter, så här

 24=2⋅2⋅2⋅3=4⋅6=8⋅3=2⋅12=1⋅2424=2\cdot2\cdot2\cdot3=4\cdot6=8\cdot3=2\cdot12=1\cdot2424=2·2·2·3=4·6=8·3=2·12=1·24 

ser vi att talet har åtta möjliga delare.

Exempel 3

Ange alla heltalsvärden på aaa och bbb som uppfyller att  272^727 |  (2⋅ab)\left(2\cdot a^b\right)(2·ab) 

Lösning

Om 272^727 ska vara en delare till (2⋅ab)\left(2\cdot a^b\right)(2·ab) innebär det att talet 2⋅ab2\cdot a^b2·ab kan skriva om som en produkt 27⋅k2^7\cdot k27·k , där kkk är ett heltal.

Då 27=2⋅262^7=2\cdot2^627=2·26 får vi en likhet med vårt tal 2⋅ab2\cdot a^b2‍·ab om  ab=26a^b=2^6ab=26. Det innebär att aaa och bbb kan anta alla värden som uppfyller att ab=26=64a^b=2^6=64ab=26=64.

Vi primtalsfaktoriserar  646464 för att se vilka möjliga heltal som ger att potensena värde är  646464.

 64=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅264=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot264=2·2·2·2·2·2 

Nu kombinerar vi dessa till olika potenser.

 64=26=43=82=64164=2^6=4^3=8^2=64^164=26=43=82=641 

och får att  a=a=a=2, 4, 8, 64{2,\,4,\,8,\,64} och b=b=b= 1, 2, 3, 6{1,\,2,\,3,\,6}

Delbarhetsregler

När man ska primtalsfaktorisera och jobba med delare underlättar det om man kan Delbarhetsreglerna utan till.

Delbarhetsregler

Talet är delbart med…

   22      då talet är jämnt.
   33      då talets siffersumma är delbar 33.
   44      då det tal som bildas av de två sista siffrorna är delbart med 44.
   55      då talets slutsiffra är 00 eller 55.
   66      då villkoren för delbarhet med 22 och 33 är uppfyllda
   88      då det tal som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med 88.
   99      då talets siffersumma är delbart med 99.
   1010    då talets slutsiffra är 00.
   1212    då villkoren för delbarhet med 33 och 44 är uppfyllda.

Känns det jobbigt att lära alla utantill så börja med delbarhetsreglerna är 2, 3, 52,\text{ }3,\text{ }52, 3, 5 och 101010. Kan du dessa är det lättare att även lära resten, då flera av dem är kombinationer eller utvecklingar av de fyra.

Exempel i videon

  • Är talet 1212 delbart med talet 33?
  • Delar talet 22 talet 2828 och hur kan vi faktorisera 2828?
  • Ange alla delare till talet 88.
  • Ange ett värde på heltalet xx så att 3 ∣ 11x3 \,|\, 11x.
  • Visa att a2–1a^2 – 1 är delbart med 88 om a=4m+1a = 4m + 1 där mm är ett heltal.
Nästa lektion: Kvot och rest

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2025 EDDLER AB
  • Säker SSL-server