Primtal

De positiva heltalen kan delas upp i primtal och sammansatta tal. De sammansatta talen är produkter av primtal i olika kombinationer och kan därför primtalsfaktoriseras.

Här följer alla primtal mellan $1$ och $100$.

$ 2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17,$ $\,19,\,23,\,29,\,31,\,37,\,$ $41,\,43,\,47,\,53,\,59,\,61,\,$ $67,\,71,\,73,\,79,\,$ $83,\,89,\,97$

Men det finns oändligt många fler primtal.

Ett sätt att förstå primtalen är att tänka dem som matematikens legobitar. En erfaren legobyggare ser sin konstruktion som en sammansättning av olika bitar. Genom att kombinera bitarna på olika sätt kan vi bygga hur stora modeller som helst. Vi kan också alltid plocka isär modellen i sina beståndsdelar igen.

På liknande sätt ser en matematiker talet $30$ som en produkt av en tvåa, en trea och en femma:

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

De positiva heltalen kan delas upp i primtal och sammansatta tal, där primtalen är de sammansatta talens minsta beståndsdelar. De sammansatta talen byggs upp av primtalsfaktorer.

Primtalen har fascinerat matematiker i många hundra år. Den grekiske matematikern Euklides (född 325 f.Kr.) visade att det finns oändligt många primtal. Trots detta följer primtalen inget tydligt mönster på tallinjen, vilket gör dem svåra att förutsäga. Den oregelbundenheten gör primtalen användbara inom exempelvis kryptering av datatrafik.

Ett positivt heltal som inte är ett primtal är ett sammansatt tal. Talet är sammansatt av multiplikation mellan primtal. På grund av detta kan vi dela upp alla sammansatta tal i faktorer. Vi säger att vi primtalsfaktoriserar.

Delaren som inte är talet själv eller ett, kallas för en äkta delare. En äkta delare till talet $d$d är en delare som varken är $\pm1$±1 eller $\pm d$±d, alltså varken talet ett eller talet självt, med eller utan ombytt tecken.

När vi faktoriserar ett tal delar vi upp det i faktorer. Om vi fortsätter tills alla faktorer är primtal kallas det primtalsfaktorisering.

Exempelvis är $12 = 2 \cdot 6$, men eftersom $6$ inte är ett primtal fortsätter vi dela upp även talet $6$6 i faktorer:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$.

Nu är alla faktorer primtal. Vi har primtalsfaktoriserat talet $12$12.

Till hjälp för att primtalsfaktorisera kan så kallade faktorträd användas. Vi delar steg för steg upp ett tal i mindre faktorer tills det endast består av primtal.

Begreppet delbarhet motsvarar att kvoten vi får när vi dividerar två heltal, också är ett heltal. Som vi tidigare nämnde kan alla heltal delas upp i primtal och sammansatta tal. De har olika möjliga delare, men alla heltal är åtminstone delbara med sig själv och talet $1$. 

Vi kan då säga att "$b$ delar $a$" eller att "$b$ är en delare till $a$", vilket skrivs som $ b \, | \, a $.

Exempelvis delar talet $2$ talet $28$ då  $\frac{28}{2}=$282 =$14$14 , eftersom kvoten är ett heltal och vi säger att $ 2 \, | \, 28 $, som vi uttalar som "$2$ delar $28$" eller "$2$ är en delare till $28$".

Exempelvis är $12$ delbart med $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ och $12$.

Detta beror på att talet $12$ är ett så kallat sammansatt tal av primtalsfaktorerna $12=2\cdot2\cdot3$12=2·2·3.

Talet $12$12 är inte bara delbart med sig själv och talet $1$1, utan även med talets primtalsfaktorer $2$2 och $3$3 och alla möjliga kombinationer av dem. Alltså $2\cdot2=4$2·2=4,  $2\cdot3=6$2·3=6 

När vi ska primtalsfaktorisera och jobba med delare underlättar det om vi kan några delbarhetsregler.

Siffersumman är det tal vi får när vi adderar siffrorna i talet med varandra. Till exempel har talet $314$314 siffersumman  $3+1+4=8$3+1+4=8.

I kommande lektioner presenterar vi fler regler kring delbarhet att lära in utantill. Men de ovan är en bra start.

Eftersom ett primtal bara är delbart med sig självt och talet  $1$1, kan vi undersöka om ett tal är ett primtal eller ej genom att dividera det med ett antal olika tal. För om talet är delbart med något annat tal än ett och sig självt är det inget primtal, utan ett sammansatt tal.

Vilka tal ska vi då välja att dividera med? För att kontrollera talet $n$n, räcker det att vi dividerar  $n$n med alla primtal mindre eller lika med  $\sqrt{n}$√n.

Varför då? Jo, eftersom om talet är sammansatt, kan det skrivas som en produkt av talen $a$a och $b$b.

Det i sin tur leder till att om $n=a\cdot b$n=a·b  måste  $a\le\sqrt{n}$a≤√n   eller  $b\le\sqrt{n}$b≤√n,  eftersom vi då får att  $a\cdot b\le\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}=n$a·b≤√n·√n=n.  Om talet $n$n inte är delbart med talet $\sqrt{n}$√n eller något primtal mindre än det kommer det inte heller vara delbart med något annat tal.

Vi tar ett exempel för att förtydliga detta.

Nedan kan du med hjälp av "Eratosthenes såll" leta primtal.  Det är en algoritm (ungefär samma sak som en metod) som uppfanns av greken Eratosthenes för att lista alla primtal. Du väljer här upp till vilket tal som du vill hitta primtal och trycker på "Leta primtal". Då används Eratosthenes algoritm för att undersöka vilka tal som är primtal upp till ditt valda tal. Nedanför sökverktyget ser du hur själva algoritmen fungerar.

1. Gör en lista på alla tal från $2$ till ett tal vi väljer, vi kallar det för $n$.
2. Ta bort alla jämna tal från listan som är större än $2$. Ett alternativ för oss som har datorer är att direkt göra en lista på alla udda tal större än $2$.
3. Det första talet i listan är nu ett primtal, nämligen talet $3$. 
4. Behåll talet men ta bort alla andra tal som är delbara med det primtalet. Dessa tal kan ju inte vara primtal.
5. Upprepa nu steg $3$ och $4$ tills vi har nått ett tal som är större än kvadratroten ur vårt maxtal $n$. Det vill säga genom att ta kvadratroten ur vårt tal så hittar vi det största tal som kan vara en primtalsfaktor till vårt tal.
6. De tal som blir kvar i listan är endast primtal.

• Primtalsfaktorisera talet $12$.
• Primtalsfaktorisera talet $66$
• Primtalsfaktorisera talet $224$ med hjälp av ett faktorträd.