...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 5
 /   Kombinatorik

Permutationer

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Fakultet

Innan man kan göra beräkningar på permutationer kan det vara bra att känna till begreppet fakultet som betecknas med symbolen ! (utropstecken). När k! beräknas multipliceras alla heltal från k till 1 med varandra, några exempel på detta kan vara:

  • 4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24
  • 2! = 2⋅1 = 2
  • 4!⋅2! = 4⋅3⋅2⋅1⋅2⋅1 = 24⋅2 = 48
  • 0! definieras som 0! = 1.

Permutationer och dess innebörd

En permutation innebär följande.

En permutation anger på hur många vis ett ordnat urval utan återläggning kan ske av $k$ element bland $n$ element.

Man beräknar antalet permutationer av $k$ element bland $n$ element genom

$ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} $

Dvs du väljer ut element/föremål/personer ur en grupp till bestämda platser eller med en speciell ordning mellan dessa utvalda element.

Så om du skall beräkna antalet permutationer av 2 element bland 10 element beräknas

$ P(10, 2) = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1} = 10⋅9 = 90 $

Det här kan då tolkas som att det finns 90 olika sätt att göra ett ordnat urval av 2 personer bland 10 personer.

Exempel i videon

  • På hur många sätt kan man välja 3 personer ur en grupp på 6 personer till en båtbesättning med rollerna kapten, styrman och maskinist.
  • Beräkna P(10, 3)
  • Beräkna P(100, 2)
  • Beräkna 3!
  • Beräkna 5!
  • Definition av 0!
  • Beräkna 3!⋅2!
  • Beräkna $ \frac{1000!}{(1000-2)!} $
  • Förklara innebörden av P(4, 3)
  • På en musikskola där 10 elever är inskrivna väljs varje vecka elever till en grupp med rollerna basist, gitarrist, trummis och pianist och spelar en låt. Hur många år kommer det att ta innan alla möjliga musikgrupper har spelat? Under ett år har musikskolan öppet 40 veckor.

Kommentarer

Adam Johansson

Hej,

En viktig uppgift som ofta dyker upp är denna:
Hur många ”ord” kan bildas av (t.ex.) ordet ”Banan”?
Det är ju P(5,3)=60. Men sen ska man dela med 2!.
Kan ni förklara det sista steget på ett bra sätt så man kan alla uppgifter som liknar denna 🙂
Mvh, Adam Johansson

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det sista steget du har där beror på att du har samma bokstäver a och n i ordet banan två gånger. Så vi måste räkna dem som samma. Hjälper detta dig vidare?

mikaelhagfeldt@gmail.com

Påbörjade nyligen kapitlet om Permutationer och har kört fast på en uppgift. Den lyder:

”Hur många delmängder med två element finns av mängden A = [1, 2, 3, 4, 5]? Observera att elementen i mängder inte är ordnade. Man skiljer med andra ord inte på mängderna [1, 2] och [2, 1]”

Jag kom fram till att man kan använda sig utav n!/(n-r)!, dock ger det ett dubbelt så stort svar än det svar som står i facit. Jag får fram 20 lika permutationer, men svaret anger att det endast skall vara 10. Vad gör jag för fel?

MVH

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Eftersom inte ordningen spelar någon roll så är detta en kombination och inte en permutation. Du skall undersöka hur många kombinationer det finns av 2 element ur mängden med 5 element. Dvs:
    ${5 \choose 2} = \frac{5!}{2!\left(5-2\right)!} =$
    $\frac{5!}{2! \, 3!}=\frac{5⋅4}{2⋅1}=\frac{20}{2}=10$

      mikaelhagfeldt@gmail.com

      Jaha? Är det alltid så att man dividerar en extra gång med r! när det gäller kombinationer? Eller alternativt multiplicerar med 1/r! ?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Ja när det är en kombination så delar du med r! (eller k!) för att plocka bort de kombinationer som är samma. Se gärna videon där vi jämför permutationer och kombinationer.

Sandra Grantelius

Nummer 6 är fel. I förklaringen är 40320 rätt men av alternativen säger den att 8 är rätt.

Tack för en otroligt bra hemsida!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Kul att du gillar sajten! Uppgiften skall nu vara rätt kodad så att rätt alternativ stämmer.


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna $6!$6!

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna  $4!-2!$4!2! 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B 1
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna $P(9, 9)$.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    I en partistyrelse med $14$ medlemmar skall det väljas en ordförande, en kassör, en suppleant och en vice ordförande. På hur många sätt kan dessa fyra roller väljas?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    En familj med två föräldrar och tre barn har en bil med $5$ platser. Varje söndag åker hela familjen till mormor. De bestämmer sig för att prova nya platser i bilen varje gång. Det är bara föräldrarna som har körkort. Hur lång tid tar de innan alla möjliga placeringar i bilen är använda?

     

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Woolloomooloo är en förort till Sydney, Australien.
    Hur många ”ord” kan bildas av bokstäverna i WOOLLOOMOOLOO?

     

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B 1
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Hur många permutationer finns det av $p$ element bland $p$ element?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    E C A
    B 1
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vilket av följande uttryck är en omskrivning av $n!+(n+1)!$ ?

     

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se