Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 5
/ Talteori
Delbarhet, delare och faktor
Innehåll
Delbarhet och delare – definitioner
Begreppet delbarhet motsvarar att kvoten man får när man dividerar två heltal, också är ett heltal.
Vi kommer framöver använda delbarheten för att lättare kunna genomföra och ange egenskaper av beräkningar av stora tal och mängder.
Heltalet $a$a är delbart med ett heltal $b\ne0$b≠0 om kvoten $\frac{a}{b}$ab är ett heltal.
Man kan då säga att ” $b$b delar $a$a ” eller att ” $b$b är en delare till $a$”, vilket skrivs som $ b \, | \, a $.
Olika tal har olika möjliga delare, men alla heltal är åtminstone delbara med sig själv och talet $1$.
Om ett tal $b$ inte är en delare till $a$ skriver man istället $ b\nmid a $.
Exempel 1
Visa att $ 2 \nmid (2a +1)$ för alla $a$.
Lösning
Då $2a$2a alltid är ett jämt tal kommer $ 2a +1$ alltid vara ett udda tal. Inga udda tal är delbara med två. v.s.b.
Äkta delare
Delare som inte är talet själv eller ett, kallas för en äkta delare.
En äkta delare $d$d, definieras som delbart med något heltal, utöver talen $\pm1$±1 och $\pm d$±d , alltså talet självt och talet självt med ombytt tecken.
Exempelvis är talen $2$2 och $3$3 äkta delare till talet $6$6. Talen $1$1 och $6$6 är också delare, men inte äkta.
Delbarhet som följd på delbarhet
Eftersom att att vi kan faktorisera tal kan vi utnyttja dess delbahetsegenskaper för att undersöka ett annat tal delbarhet.
Exempel 2
Visa att om $2|a$ och $2|b$, gäller det då även att $2|(a+b)$?
Lösning
$2|a$ och $2|b$ ger att $a=2k$ och $b=2n$ där $k$k och $n$n är heltal
Vi får då att
$a+b=2k+2n=2(k+n)$
Eftersom att $k$k och $n$n är heltal, är även summan av dem ett heltal, vilket leder till att $2|(a+b)$.
Primtal och Sammansatta tal
Alla heltal $a>1$a>1 delas in i primtal och sammansatta tal. Ett positiv heltal som inte är ett primtal är ett sammansatt tal. Alla sammansatta tal kan skrivas som en entydig produkt av primtal. I lektionen om enligt aritmetikens fundametalsats går vi igenom detta mer ingående.
Alla heltal är alltid delbara med sig själv och talet $1$1. Är de sammansatta tal är de även delbara med talets primtalsfaktorer samt alla produkter som är möjliga att skapa genom att kombinera talets primtalsfaktorer.
Exempelvis delar talet $3$3 talet $21$21 då $\frac{21}{3}=$213 = $7$7. Detta eftersom att täljaren, nämnaren och kvoten alla är ett heltal.
Vi säger att $ 3 \, | \, 21 $, som vi uttalar som tre delar tjugoett eller tre är en delare till tjugo ett.
Om vi exempelvis har talet $24$24 så är detta tal delbart med $24$24 och $1$1, samt med talen $2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }6,\text{ }8$2, 3, 4, 6, 8 och $12$12 . Detta beror på att talet $24$ är ett så kallat sammansatt tal, vilket har primtalsfaktorerna $24=2\cdot2\cdot2\cdot3$24=2·2·2·3 och är därmed delbart med med sig själv och talet $1$1, samt talets primtalsfaktorer och alla produkter som är möjliga att skapa genom att kombinera dem.
Eftersom att vi kan skriva talet tjugofyra som ett antal olika heltalsprodukter, så här
$24=2\cdot2\cdot2\cdot3=4\cdot6=8\cdot3=2\cdot12=1\cdot24$24=2·2·2·3=4·6=8·3=2·12=1·24
ser vi att talet har åtta möjliga delare.
Exempel 3
Ange alla heltalsvärden på $a$a och $b$b som uppfyller att $2^7$27 | $\left(2\cdot a^b\right)$(2·ab)
Lösning
Om $2^7$27 ska vara en delare till $\left(2\cdot a^b\right)$(2·ab) innebär det att talet $2\cdot a^b$2·ab kan skriva om som en produkt $2^7\cdot k$27·k , där $k$k är ett heltal.
Då $2^7=2\cdot2^6$27=2·26 får vi en likhet med vårt tal $2\cdot a^b$2·ab om $a^b=2^6$ab=26. Det innebär att $a$a och $b$b kan anta alla värden som uppfyller att $a^b=2^6=64$ab=26=64.
Vi primtalsfaktoriserar $64$64 för att se vilka möjliga heltal som ger att potensena värde är $64$64.
$64=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2$64=2·2·2·2·2·2
Nu kombinerar vi dessa till olika potenser.
$64=2^6=4^3=8^2=64^1$64=26=43=82=641
och får att $a=$a=${2,\,4,\,8,\,64}$ och $b=$b= ${1,\,2,\,3,\,6}$
Delbarhetsregler
När man ska primtalsfaktorisera och jobba med delare underlättar det om man kan Delbarhetsreglerna utan till.
Delbarhetsregler
Talet är delbart med…
$2$ då talet är jämnt.
$3$ då talets siffersumma är delbar $3$.
$4$ då det tal som bildas av de två sista siffrorna är delbart med $4$.
$5$ då talets slutsiffra är $0$ eller $5$.
$6$ då villkoren för delbarhet med $2$ och $3$ är uppfyllda
$8$ då det tal som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med $8$.
$9$ då talets siffersumma är delbart med $9$.
$10$ då talets slutsiffra är $0$.
$12$ då villkoren för delbarhet med $3$ och $4$ är uppfyllda.
Känns det jobbigt att lära alla utantill så börja med delbarhetsreglerna är $2,\text{ }3,\text{ }5$2, 3, 5 och $10$10. Kan du dessa är det lättare att även lära resten, då flera av dem är kombinationer eller utvecklingar av de fyra.
Exempel i videon
- Är talet $12$ delbart med talet $3$?
- Delar talet $2$ talet $28$ och hur kan vi faktorisera $28$?
- Ange alla delare till talet $8$.
- Ange ett värde på heltalet $x$ så att $3 \,|\, 11x$.
- Visa att $a^2 – 1$ är delbart med $8$ om $a = 4m + 1$ där $m$ är ett heltal.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Vilket tal förutom $1$1 och $9$9 delar talet $9$9 ?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: delare och faktor Delbarhet Matematik 5 TalteoriRättar...2. Premium
Om $3|a$ och $a|b$, gäller det då även att $3|b$?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: delare och faktor Delbarhet Matematik 5 TalteoriRättar...3. Premium
Vilket av alternativen är en korrekt faktorisering av talet $12$?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: delare och faktor Delbarhet Matematik 5 TalteoriRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Ange $x$ så att $ x | 15 $ och $ x | 18 $ samt att $ x > 1 $.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: delare och faktor Delbarhet Matematik 5 TalteoriRättar...c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Vad måste gälla för $x$x och $y$y för att påståendet ska vara korrekt?
Ett heltal $a$a är delbart med ett heltal $b$b där $b\ne0$b≠0, om kvoten $\frac{a}{b}$ab $=y$=y .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: delare och faktor Delbarhet Matematik 5 TalteoriRättar... -
6. Premium
Är $ (2a+1)^2 – 1 $ delbart med $4$ om $a$ är ett heltal och $a > 1$?
Träna på att motivera ditt svar.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: delare och faktor Delbarhet Matematik 5 TalteoriRättar... -
7. Premium
Vad måste gälla för $a$ om $a|0$?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: delare och faktor Delbarhet Matematik 5 TalteoriRättar...
a-uppgifter (2)
-
8. Premium
Ange det sammansatta talet $a$a som uppfyller villkoren $1370<$1370< $a<1575$a<1575 och är delbart med både $3,\text{ }5$3, 5 och $7$7.
Rättar...9. Premium
Om $a|b$, gäller då även att $a^2|b^2$?
Motivera ditt svar.Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: delare och faktor Delbarhet Matematik 5 TalteoriRättar...
-
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Sanna Karlsson
Vad kommer 8m ifrån i sista exemplet? Ca. 3.30 in i videon
Simon Rybrand (Moderator)
Det är från
$(4m+1)^2=(4m)^2+2·(4m)·1+1^2=16m^2+8m+1$
Endast Premium-användare kan kommentera.