...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Skaffa Premium Prova för 9 kr
Hej! Matematikvideo byter namn till Eddler. Allt ska fungera som vanligt. Kontakta oss om du har några frågor.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Delbarhet, delare och faktor

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Delbarhet och delare – definitioner

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
Förnya ditt betalkonto hos din skola här.
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
89 kr för 6 månader
Ingen bindningstid. Betala 1 gång.

Begreppet delbarhet motsvarar att kvoten man får när man dividerar två heltal, också är ett heltal

Vi kommer framöver använda delbarheten för att lättare kunna genomföra och ange egenskaper av beräkningar av stora tal och mängder.

Heltalet $a$a är delbart med ett heltal $b\ne0$b0 om kvoten $\frac{a}{b}$ab  är ett heltal.

Man kan då säga att ” $b$b  delar  $a$a ” eller att ” $b$b  är en delare till $a$”, vilket skrivs som $ b \, | \, a $.

Olika tal har olika möjliga delare, men alla heltal är åtminstone delbara med sig själv och talet $1$. 

Om ett tal $b$ inte är en delare till $a$ skriver man istället $ b\nmid a $.

Exempel 1

Visa att $ 2 \nmid (2a +1)$ för alla $a$.

Lösning

Då $2a$2a alltid är ett jämt tal kommer $ 2a +1$ alltid vara ett udda tal. Inga udda tal är delbara med två. v.s.b.

Äkta delare

Delare som inte är talet själv eller ett, kallas för en äkta delare. 

En äkta delare $d$ddefinieras som delbart med något heltal, utöver talen $\pm1$±1 och $\pm d$±d , alltså talet självt och talet självt med ombytt tecken.

Exampelvis är talen $2$2 och $3$3 äkta delare till talet $6$6. Talen $1$1 och $6$6 är också delare, men inte äkta.

Delbarhet som följd på delbarhet

Eftersom att att vi kan faktorisera tal kan vi utnyttja dess delbahetsegenskaper för att undersöka ett annat tal delbarhet.

Exempel 2

Visa att om $2|a$ och $2|b$, gäller det då även att $2|(a+b)$?

Lösning

$2|a$ och $2|b$ ger att $a=2k$ och $b=2n$ där  $k$k och  $n$n  är heltal

Vi får då att

$a+b=2k+2n=2(k+n)$

Eftersom att $k$k och  $n$n  är heltal, är även summan av dem ett heltal, vilket leder till att $2|(a+b)$.

Primtal och Sammansatta tal

Alla heltal  $a>1$a>1 delas in i primtal och sammansatta tal. Ett positiv heltal som inte är ett primtal är ett sammansatt tal. Alla sammansatta tal kan skrivas som en entydig produkt av primtal. I lektionen om enligt aritmetikens fundametalsats går vi igenom detta mer ingående.

Alla heltal är alltid delbara med sig själv och talet $1$1. Är de sammansatta tal är de även delbara med talets primtalsfaktorer samt alla produkter som är möjliga att skapa genom att kombinera talets primtalsfaktorer.

Exempelvis delar talet $3$3 talet $21$21 då $\frac{21}{3}=$213 = $7$7. Detta eftersom att täljaren, nämnaren och kvoten alla är ett heltal.

Vi säger att $ 3 \, | \, 21 $, som vi uttalar som tre delar tjugoett eller tre är en delare till tjugo ett.

Om vi exempelvis har talet $24$24 så är detta tal delbart med $24$24 och $1$1, samt med talen $2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }6,\text{ }8$2, 3, 4, 6, 8 och $12$12 . Detta beror på att talet $24$ är ett så kallat sammansatt tal, vilket har primtalsfaktorerna  $24=2\cdot2\cdot2\cdot3$24=2·2·2·3 och är därmed delbart med med sig själv och talet $1$1, samt talets primtalsfaktorer och alla produkter som är möjliga att skapa genom att kombinera dem.

Eftersom att vi kan skriva talet tjugofyra som ett antal olika heltalsprodukter, så här

 $24=2\cdot2\cdot2\cdot3=4\cdot6=8\cdot3=2\cdot12=1\cdot24$24=2·2·2·3=4·6=8·3=2·12=1·24 

ser vi att talet har åtta möjliga delare.

Exempel 3

Ange alla heltalsvärden på $a$a och $b$b som uppfyller att  $2^7$27 |  $\left(2\cdot a^b\right)$(2·ab) 

Lösning

Om $2^7$27 ska vara en delare till $\left(2\cdot a^b\right)$(2·ab) innebär det att talet $2\cdot a^b$2·ab kan skriva om som en produkt $2^7\cdot k$27·k , där $k$k är ett heltal.

Då $2^7=2\cdot2^6$27=2·26 får vi en likhet med vårt tal $2\cdot a^b$2·ab om  $a^b=2^6$ab=26. Det innebär att $a$a och $b$b kan anta alla värden som uppfyller att $a^b=2^6=64$ab=26=64.

Vi primtalsfaktoriserar  $64$64 för att se vilka möjliga heltal som ger att potensena värde är  $64$64.

 $64=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2$64=2·2·2·2·2·2 

Nu kombinerar vi dessa till olika potenser.

 $64=2^6=4^3=8^2=64^1$64=26=43=82=641 

och får att  $a=$a=${2,\,4,\,8,\,64}$ och $b=$b= ${1,\,2,\,3,\,6}$

Delbarhetsregler

När man ska primtalsfaktorisera och jobba med delare underlättar det om man kan Delbarhetsreglerna utan till.

Delbarhetsregler

Talet är delbart med…

   $2$      då talet är jämnt.
   $3$      då talets siffersumma är delbar $3$.
   $4$      då det tal som bildas av de två sista siffrorna är delbart med $4$.
   $5$      då talets slutsiffra är $0$ eller $5$.
   $6$      då villkoren för delbarhet med $2$ och $3$ är uppfyllda
   $8$      då det tal som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med $8$.
   $9$      då talets siffersumma är delbart med $9$.
   $10$    då talets slutsiffra är $0$.
   $12$    då villkoren för delbarhet med $3$ och $4$ är uppfyllda.

Känns det jobbigt att lära alla utantill så börja med delbarhetsreglerna är $2,\text{ }3,\text{ }5$2, 3, 5 och $10$10. Kan du dessa är det lättare att även lära resten, då flera av dem är kombinationer eller utvecklingar av de fyra.

Exempel i videon

  • Är talet $12$ delbart med talet $3$?
  • Delar talet $2$ talet $28$ och hur kan vi faktorisera $28$?
  • Ange alla delare till talet $8$.
  • Ange ett värde på heltalet $x$ så att $3 \,|\, 11x$.
  • Visa att $a^2 – 1$ är delbart med $8$ om $a = 4m + 1$ där $m$ är ett heltal.

Kommentarer

Sanna Karlsson

Vad kommer 8m ifrån i sista exemplet? Ca. 3.30 in i videon

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det är från
    $(4m+1)^2=(4m)^2+2·(4m)·1+1^2=16m^2+8m+1$


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket tal förutom $1$1 och $9$9 delar talet  $9$9 ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Om $3|a$ och $a|b$, gäller det då även att $3|b$?

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av alternativen är en korrekt faktorisering av talet $12$?

    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    Förnya ditt betalkonto hos din skola här.
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    89 kr för 6 månader
    Ingen bindningstid. Betala 1 gång.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K

    Ange $x$ så att $ x | 15 $ och $ x | 18 $ samt att $ x > 1 $.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad måste gälla för $x$x och  $y$y  för att påståendet ska vara korrekt?

    Ett heltal  $a$a  är delbart med ett heltal  $b$b  där $x\ne0$x0 , om kvoten  $\frac{a}{b}$ab  $=y$=y .

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R 1
    K

    Är $ (2a+1)^2 – 1 $ delbart med $4$ om $a$ är ett heltal och $a > 1$?

    Träna på att motivera ditt svar.

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad måste gälla för $a$ om $a|0$?

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R 1
    K

    Om $a|b$, gäller då även att $a^2|b^2$?
    Motivera ditt svar.

    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
Förnya ditt betalkonto hos din skola här.
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
89 kr för 6 månader
Ingen bindningstid. Betala 1 gång.