Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 5
/ Kombinatorik
Binomialsatsen och Pascals triangel
Pascals triangel
Pascals triangel är ett sätt att enkelt ta reda på koefficienterna när binom (algebraiska uttryck med två termer) utvecklas. I Pascals triangel bestäms varje tal genom att addera de två talen som befinner sig direkt ovanför det.
Varje rad börjar och slutar med en etta. Dessa ettor är koefficienterna framför den första och den sista termen.
De första raderna i Pascals triangel, räknat från rad 0, är
- Rad 0: 1
- Rad 1: 1 1
- Rad 2: 1 2 1 (2:an ges av att addera $1+1=2$1+1=2)
- Rad 3: 1 3 3 1 (3:an ges genom att addera $1+2=3$1+2=3)
- Rad 4: 1 4 6 4 1
- Rad 5: 1 5 10 10 5 1
- och så vidare
Talen i rad $n$n motsvarar binomialkoefficienterna $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$(n0 ), (n1 ), …, (nn ). Så om vi utvecklar $(a+b)^5$(a+b)5 kommer koefficienterna framför termerna i ordning vänster till höger att vara $1,\text{ }5,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }5$1, 5, 10, 10, 5 och $1$1. Pascals triangel är ett smidigt hjälpmedel för enklare binomialutvecklingar. För mer komplexa uttryck behöver vi binomialsatsen.
Binomialsatsen
Binomialsatsen ger en formel för att utveckla uttryck på formen $(a+b)^n$(a+b)n, där koefficienterna bestäms med hjälp av kombinatorik. Binomialsatsen säger följande:
Binomialsatsen
$ (a+b)^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b + \ldots + {n \choose k}a^{n-k}b^k + \ldots + {n \choose n}b^n $
Koefficienterna $\binom{n}{0}$ eller $\binom{n}{k}$ kallas för binomialkoefficienter.
Om vi utvecklar $(a+b)^5$(a+b)5 kan vi alltså få både koefficienter och exponenter för $a$a och $b$b i varje term genom binomialsatsen. Det kan dock i vissa fall vara enklare och snabbare att använda Pascals triangel (se ovan) för att ta fram koefficienterna.
Exempel 1
$(a+b)^5 = a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
Koefficienterna är alltså $1$, $5$, $10$, $10$, $5$ och $1$, vilka vi kan hämta från Pascals triangel om vi har den framför oss.
Den godtyckliga termen
I stället för att utveckla hela binomialuttrycket kan vi ibland vilja bestämma en enskild specifik term, till exempel den fjärde termen eller den term som innehåller $b^3$b3. Formeln för den godtyckliga termen ger oss just detta utan att vi behöver räkna ut hela utvecklingen.
Den godtyckliga termen
Term nummer $k+1$k+1 i utvecklingen av $(a+b)^n$(a+b)n ges av
$ T_{k+1} = {n \choose k} a^{n-k} b^k $
där $k = 0, 1, 2, \ldots, n$k=0, 1, 2, …, n.
Notera att räkningen börjar på $k=0$k=0, så den första termen fås när $k=0$k=0 och den fjärde termen när $k=3$k=3.
Exempel 2
Bestäm den fjärde termen i utvecklingen av $(a+b)^7$(a+b)7.
Lösning
Vi vill bestämma den fjärde termen, det vill säga $T_4$T4. Vi identifierar att $n=7$n=7 och att $k+1=4$k+1=4, vilket ger $k=3$k=3. Vi sätter in i formeln.
$T_4={7 \choose 3}a^{7-3}b^3={7 \choose 3}a^4b^3$T4=(73 )a4b3 Beräkna binomialkoefficienten
$T_4=35a^4b^3$T4=35a4b3
Den fjärde termen i utvecklingen av $(a+b)^7$(a+b)7 är $35a^4b^3$35a4b3.
Exempel i videon
- Utveckla $(a+b)$(a+b), $(a+b)^2$(a+b)2, $(a+b)^3$(a+b)3, $(a+b)^4$(a+b)4
- Utveckla $(a+b)^5$(a+b)5
- Använd kombinatorik för att ta fram koefficienterna till $(a+b)^4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Hur många termer finns det i utvecklingen av $(a+b)^n$, där $n$ är ett positivt heltal?
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Binomialsatsen och Pascals triangel Kombinatorik Matematik 5Rättar... -
2. Premium
$ (a+b)^5 = a^5+ 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 $.
Använd Pascals triangel för att ange koefficienterna som fås då $ (a+b)^6 $ utvecklas.Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Binomialsatsen och Pascals triangel Kombinatorik Matematik 5Rättar... -
3. Premium
Beräkna $ C(5, 4) = {5 \choose 4} $
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Binomialsatsen och Pascals triangel Kombinatorik Matematik 5Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Använd binomialsatsen och bestäm de fyra första termerna i utvecklingen av $ (x+y)^7 $
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Binomialsatsen och Pascals triangel Kombinatorik Matematik 5Rättar...c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Vilken är den fjärde termen i utvecklingen av $(3a-2b)^5$(3a−2b)5 ?
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Binomialsatsen och Pascals triangel Kombinatorik Matematik 5Rättar... -
6. Premium
Bestäm koefficienten för $a^4b^9$a4b9-termen i utvecklingen av $(2a^2+3b^3)^5$(2a2+3b3)5 .
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Binomialsatsen och Pascals triangel Kombinatorik Matematik 5Rättar...7. Premium
Rad $8$ i Pascals triangel ser ut så här:
$1$ $8$ $28$ $56$ $70$ $56$ $28$ $8$ $1$
Hur ser rad $10$ ut?Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Binomialsatsen och Pascals triangel Kombinatorik Matematik 5Rättar...a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Utveckla $(x^3-\frac{2}{x})^8$ och bestäm konstanttermen.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Binomialsatsen och Pascals triangel Kombinatorik Matematik 5Rättar... -
-
-
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Erik Martines Sanches
Jag tycker att det borde förtydligas vad som menas med konstantterm i uppgift 8.
Hussain Alahmad
Tack så mycket
Tobiasradman
Hej
Hur vet man vilket värde k ska ha? i (n över k)
Adam Johansson
Stor cred för denna videon, med råge den bästa förklaringen av Binomialsatsen och Pascals triangel! Bra jobbat!
Petter Törnqvist
Vid 6.08 saknas det inte ett utropstecken vid 4/3! ?
Endast Premium-användare kan kommentera.