Binomialsatsen och Pascals triangel

Pascals triangel är ett sätt att enkelt ta reda på koefficienterna när binom (algebraiska uttryck med två termer) utvecklas. I Pascals triangel bestäms varje tal genom att addera de två talen som befinner sig direkt ovanför det.

Varje rad börjar och slutar med en etta. Dessa ettor är koefficienterna framför den första och den sista termen.

De första raderna i Pascals triangel, räknat från rad 0, är

• Rad 0:            1
• Rad 1:           1 1
• Rad 2:         1 2 1         (2:an ges av att addera $1+1=2$1+1=2)
• Rad 3:        1 3 3 1      (3:an ges genom att addera  $1+2=3$1+2=3)
• Rad 4:      1 4 6 4 1
• Rad 5:   1 5 10 10 5 1
• osv

Talen i rad $n$n motsvarar binomialkoefficienterna $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$(n0 ), (n1 ), …, (nn ). Så om man utvecklar $(a+b)^5$(a+b)⁵ kommer koefficienterna framför termerna i ordning vänster till höger att vara $1,\text{ }5,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }5$1, 5, 10, 10, 5 och $1$1. Pascals triangel är ett smidigt hjälpmedel för enklare binomialutvecklingar. För mer komplexa uttryck behöver vi binomialsatsen.

Binomialsatsen ger en formel för att utveckla uttryck på formen $(a+b)^n$(a+b)ⁿ, där koefficienterna bestäms med hjälp av kombinatorik. Binomialsatsen säger följande:

Om vi utvecklar $(a+b)^5$(a+b)⁵ kan man alltså få både koefficienter och exponenter för $a$a och $b$b i varje term genom binomialsatsen. Det kan dock i vissa fall vara enklare och snabbare att använda Pascals triangel (se ovan) för att ta fram koefficienterna.

I stället för att utveckla hela binomialuttrycket kan vi ibland vilja bestämma en enskild specifik term, till exempel den fjärde termen eller den term som innehåller $b^3$b³. Formeln för den godtyckliga termen ger oss just detta utan att vi behöver räkna ut hela utvecklingen.

Notera att räkningen börjar på $k=0$k=0, så den första termen fås när $k=0$k=0 och den fjärde termen när $k=3$k=3.

• Utveckla $(a+b)$(a+b), $(a+b)^2$(a+b)², $(a+b)^3$(a+b)³, $(a+b)^4$(a+b)⁴
• Utveckla $(a+b)^5$(a+b)⁵
• Använd kombinatorik för att ta fram koefficienterna till $(a+b)^4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$(a+b)⁴=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)