Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 5
/ Derivata och Integraler – Ma 5
Partiell Integration
Innehåll
Partiell Integration
Med partiell integration ges en möjlighet att integrera (bestämma primitiv funktion) till vissa produkter av funktioner som annars är mycket svåra att integrera. Ordet partiell betyder ungefär ”en del av” och idén här är att dela upp integralen i olika delar och på det viset hitta den primitiva funktionen.
Själva metoden eller formeln för att utföra en partiell integration är följande.
Metod Partiell integration
$\int f\left(x\right)g(x)\,dx=F(x)g(x)-\int F(x)g´(x)\,dx$
Här gäller att
- g(x) är deriverbar och g´(x) är derivatan till g(x).
- F(x) är primitiv funktion till f(x)
Bestämda och obestämda integraler Premium
Vi kan beteckna den primitiva funktionen på olika sätt och i det här sammanhanget är det vanligt att använda en obestämd integral för att beteckna en primitiv funktion. En obestämd integral är ett integraltecken men där vi inte tar med den övre och den undre gränsen. En bestämd integral är istället då vi tar med undre och övre gränser för integralen och oftast kan beräkna ett värde på denna.
Exempel 1
Bestäm den primitiva funktionen till $ f(x) = \frac{x^2}{2} $.
Lösning:
Vi kan beskriva den primitiva funktionen med $F(x)$:
$ F(x) = \frac{x^3}{6}+C $
Vi kan även beskriva den primitiva funktionen med en obestämd integral:
$ \int \frac{x^2}{2} \, dx= \frac{x^3}{6}+C $
Exempel på partiell integration Premium
Exempel 2
Bestäm integralen $ \int sinx⋅x \, dx$
Lösning:
$ \int sinx⋅x \, dx = (-cosx)⋅x – \int (-cosx)⋅1 \, dx $
$ -cosx⋅x – \int -cosx \, dx = $ $ -cosx⋅x – (-sinx) + C = $
$ -cosx⋅x + sinx + C $
Bevis Partiell integration Premium
I beviset används att derivata och integraler är varandras motsatser samt produktregeln.
Vi utgår ifrån $ F(x)g(x) $ där $ F(x) $ är primitiv funktion till $ f(x) $.
$F\left(x\right)g(x) = \int \frac{d}{dx} (F(x)g(x))\,dx =$
$\int (F'(x)g(x)+F(x)g´(x))\,dx = \int (f(x)g(x)+F(x)g´(x))\,dx =$
$\int f(x)g(x)\,dx+\int F(x)g´(x)\,dx $
Alltså gäller att
$ F(x)g(x) = \int f(x)g(x)\,dx+\int F(x)g´(x)\,dx ⇔ $
$ \int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) – \int F(x)g´(x)\,dx $
V.S.B.
Exempel i videon Premium
- Bestäm $\int cosx⋅x \, dx$.
- Bevis att $\int f\left(x\right)g(x)\,dx=F(x)g(x)-\int F(x)g´(x)\,dx$
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (5)
-
1. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Bestäm den obestämda integralen $ \int \, 4cos(x) dx$. (Partiell integration behöver inte användas.)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
2. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Bestäm värdet för den bestämda integralen $ \int \limits_1^{4} \, \frac{1}{x} \, dx $
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
3. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Bestäm $ \int cosx⋅(x+10) dx$ med hjälp av partiell integration.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
4. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Bestäm $ \int x⋅e^x \, dx$ med hjälp av partiell integration.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
5. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Adam har fastnat på en uppgift där han med hjälp av partiell integration skall bestämma $ \int (5x-7)⋅e^x \, dx $. Nedan ser du hans lösning, vilket tips skulle du vilja ge honom för att komma vidare?
$\int \left(5x-7\right)⋅e^x \, dx =$ $(\frac{5x^2}{2}-7x)⋅e^x – \int (\frac{5x^2}{2}-7x)⋅e^x \, dx $
kommer inte längre…. 🙁Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
c-uppgifter (2)
-
6. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/2/0)M NPE C A B P 2 PL M R K Bestäm $ \int cosx⋅x^2 \, dx $.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
7. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/2/0)M NPE C A B P 2 PL M R K Bestäm $\int x^2\cdot ln\left(x\right)dx$∫x2·ln(x)dx.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/0/2)M NPE C A B P PL 2 M R K Bestäm $\int e^x\cdot sin\left(x\right)dx$∫ex·sin(x)dx.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
Erik Sandlöv
Jag skulle vilja föreslå att ni lägger till separata scrollfunktioner för höger och vänster flik dvs teorisidan och uppgiftsidan eftersom man ofta vill scrolla upp eller ner för att läsa formler osv medans man löser uppgifterna. Hoppas ni förstår vad jag menar och tack för ert superbra utbildningsprogram!
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Tack Erik, för ditt tips! Vi har det redan nerskrivet på vår ”to do”-lista och hoppas kunna prioritera att fixa detta snart!
Campus Lidköping
Ska det inte vara g´(x) i ditt bevis?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej!
Jo det skall det vara, vi ordnar det direkt!
Endast Premium-användare kan kommentera.