Partiell Integration

Med partiell integration ges en möjlighet att integrera (bestämma primitiv funktion) till vissa produkter av funktioner som annars är mycket svåra att integrera. Ordet partiell betyder ungefär ”en del av” och idén här är att dela upp integralen i olika delar och på det viset hitta den primitiva funktionen.

Själva metoden eller formeln för att utföra en partiell integration är följande.

Vi kan beteckna den primitiva funktionen på olika sätt och i det här sammanhanget är det vanligt att använda en obestämd integral för att beteckna en primitiv funktion. En obestämd integral är ett integraltecken men där vi inte tar med den övre och den undre gränsen. En bestämd integral är istället då vi tar med undre och övre gränser för integralen och oftast kan beräkna ett värde på denna.

I beviset används att derivata och integraler är varandras motsatser samt produktregeln.

Vi utgår ifrån $F(x)g(x)$ där $F(x)$ är primitiv funktion till $f(x)$.
$F\left(x\right)g(x) = \int \frac{d}{dx} (F(x)g(x))\,dx =$
$\int (F'(x)g(x)+F(x)g'(x))\,dx = \int (f(x)g(x)+F(x)g'(x))\,dx =$
$\int f(x)g(x)\,dx+\int F(x)g'(x)\,dx$

Alltså gäller att

$F(x)g(x) = \int f(x)g(x)\,dx+\int F(x)g'(x)\,dx  ⇔$
$\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x)  –  \int F(x)g'(x)\,dx$

V.S.B.

• Bestäm $\int cosx⋅x \, dx$.
• Bevis att $\int f\left(x\right)g(x)\,dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)\,dx$