...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 5
 /   Derivata och Integraler – Ma 5

Partiell Integration

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Partiell Integration

Med partiell integration ges en möjlighet att integrera (bestämma primitiv funktion) till vissa produkter av funktioner som annars är mycket svåra att integrera. Ordet partiell betyder ungefär ”en del av” och idén här är att dela upp integralen i olika delar och på det viset hitta den primitiva funktionen.

Själva metoden eller formeln för att utföra en partiell integration är följande.

Metod Partiell integration

$\int f\left(x\right)g(x)\,dx=F(x)g(x)-\int F(x)g´(x)\,dx$

Här gäller att

  • g(x) är deriverbar och g´(x) är derivatan till g(x).
  • F(x) är primitiv funktion till f(x)

Bestämda och obestämda integraler

Vi kan beteckna den primitiva funktionen på olika sätt och i det här sammanhanget är det vanligt att använda en obestämd integral för att beteckna en primitiv funktion. En obestämd integral är ett integraltecken men där vi inte tar med den övre och den undre gränsen. En bestämd integral är istället då vi tar med undre och övre gränser för integralen och oftast kan beräkna ett värde på denna.

Exempel 1

Bestäm den primitiva funktionen till $ f(x) = \frac{x^2}{2} $.

Lösning:

Vi kan beskriva den primitiva funktionen med $F(x)$:
$ F(x) = \frac{x^3}{6}+C $

Vi kan även beskriva den primitiva funktionen med en obestämd integral:
$ \int \frac{x^2}{2} \, dx= \frac{x^3}{6}+C $

Exempel på partiell integration

Exempel 2

Bestäm integralen $ \int sinx⋅x \, dx$

Lösning:

$ \int sinx⋅x \, dx =  (-cosx)⋅x – \int (-cosx)⋅1 \, dx $
$ -cosx⋅x – \int -cosx \, dx = $ $ -cosx⋅x – (-sinx) + C = $
$ -cosx⋅x + sinx + C $

Bevis Partiell integration

I beviset används att derivata och integraler är varandras motsatser samt produktregeln.

Vi utgår ifrån $ F(x)g(x) $ där $ F(x) $ är primitiv funktion till $ f(x) $.
$F\left(x\right)g(x) = \int \frac{d}{dx} (F(x)g(x))\,dx =$
$\int (F'(x)g(x)+F(x)g´(x))\,dx = \int (f(x)g(x)+F(x)g´(x))\,dx =$
$\int f(x)g(x)\,dx+\int F(x)g´(x)\,dx $

Alltså gäller att

$ F(x)g(x) = \int f(x)g(x)\,dx+\int F(x)g´(x)\,dx  ⇔ $
$ \int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x)  –  \int F(x)g´(x)\,dx $

V.S.B.

Exempel i videon

  • Bestäm $\int cosx⋅x \, dx$.
  • Bevis att $\int f\left(x\right)g(x)\,dx=F(x)g(x)-\int F(x)g´(x)\,dx$

Kommentarer

Erik Sandlöv

Jag skulle vilja föreslå att ni lägger till separata scrollfunktioner för höger och vänster flik dvs teorisidan och uppgiftsidan eftersom man ofta vill scrolla upp eller ner för att läsa formler osv medans man löser uppgifterna. Hoppas ni förstår vad jag menar och tack för ert superbra utbildningsprogram!

    Anna Eddler Redaktör (Moderator)

    Tack Erik, för ditt tips! Vi har det redan nerskrivet på vår ”to do”-lista och hoppas kunna prioritera att fixa detta snart!

Campus Lidköping

Ska det inte vara g´(x) i ditt bevis?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej!
    Jo det skall det vara, vi ordnar det direkt!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm den obestämda integralen $ \int \, 4cos(x) dx$. (Partiell integration behöver inte användas.)

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm värdet för den bestämda integralen $ \int \limits_1^{4} \, \frac{1}{x} \, dx $

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $ \int cosx⋅(x+10) dx$ med hjälp av partiell integration.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $ \int x⋅e^x \, dx$ med hjälp av partiell integration.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Adam har fastnat på en uppgift där han med hjälp av partiell integration skall bestämma $ \int (5x-7)⋅e^x \, dx $. Nedan ser du hans lösning, vilket tips skulle du vilja ge honom för att komma vidare?

    $\int \left(5x-7\right)⋅e^x \, dx =$ $(\frac{5x^2}{2}-7x)⋅e^x – \int (\frac{5x^2}{2}-7x)⋅e^x \, dx $
    kommer inte längre…. 🙁

    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $ \int cosx⋅x^2 \, dx $.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $\int x^2\cdot ln\left(x\right)dx$x2·ln(x)dx.

    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Bestäm  $\int e^x\cdot sin\left(x\right)dx$ex·sin(x)dx.

    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se