Mängder - Introduktion

Inom mängdläran i matematiken definierar vi hur en samling element kopplas ihop i en mängd. Mängden är alltså en samling av objekt där varje objekt inom denna mängd kallas för ett element.

Exempel på mängder kan vara alla spelare i ett visst fotbollslag eller alla positiva heltal mindre än 10. Inom mängdläran i den här kursen är det framförallt mängder av tal som vi kommer att jobba med.

Det finns ett antal olika viktiga beteckningar inom mängdläran som du behöver känna till för att rätt kunna tolka problem och uppgifter. Vanligt är att vi betecknar en mängd inom klammerparenteser $ \{ \, element \, \} $.

• T.ex. mängden A är alla dagar i veckan som är en helgdag, dvs $ A = \{ \text{Lördag}, \text{Söndag} \} $.
• B är alla jämna och positiva tal mindre än 5, dvs $ B = \{ 2, 4 \} $.

För att beteckna att ett element tillhör eller inte tillhör en mängd används symbolerna $ ∈ \, \text{(tillhör)} $ och $ ∉ \, \text{(tillhör inte)}$.

• T.ex. $\text{Lördag} ∈ A$ och $\text{Onsdag} ∉ A$.

Ett vanligt sätt att beteckna mängder är också att använda en så kallad mängdbyggare som på ett kortfattat och tydligt sätt kan beskriva en mängd. Om vi exempelvis vill beskriva alla naturliga tal sådana att de är större än 5 och mindre än 20 så kan detta med en mängdbyggare skrivas som

• $ \{x \, | \,  x∈N \, och \,  5 < x < 20 \} $
• Du uttalar detta som "alla x sådana att x tillhör de naturliga talen och x är större än fem och mindre än 20".
• Vi kan också skriva mängden som $\{ 6, 7, 8, \dots, 19 \} $.

• Mängden $B$ är de veckodagar som börjar på bokstaven t. Lista elementen i mängden.
• Mängden $ A$ är alla primtal mindre än $20$. Lista elementen i mängden.
• Beskriv med mängdbyggare: Mängden av alla x sådana att de är en lösning till x² + x = 0.
• Beskriv med egna ord och lista elementen i mängden $ \{ n \, | \, 5 < n <10 \, och \, n∈\mathbf{Z} \} $