Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Integraler
Volymintegraler
Innehåll
Så beräknas en Volymintegral
I den här genomgången börjar vi att ge exempel på volymintegraler. Detta är ett bra sätt att använda integraler för att beräkna volymer som tidigare har varit svåra att beräkna. Själva idén bakom volymintegraler är att vi delar upp volymen i smala skivor med skivmetoden för att sedan summera alla dessa skivor i kroppen med hjälp av en integral.
Det finns två olika sätt att använda sig av volymintegraler. Dels kan du skiva upp kroppen horisontellt (i x – led) eller lodrätt (i y – led). Det som då är viktigt att ha med sig när du gör detta är att när man gör det horisontellt skall variablerna i integralen beskrivas med $x$ och gör du det lodrätt skall variablerna skrivas med hjälp av $y$.
Metod för att beräkna volymintegraler
Det finns ett sätt att tänka strukturerat kring beräkning av volymintegraler. Det handlar övergripande om att:
- Börja med att först ta fram en formel för att beräkna volymen för en skiva.
- Detta gör du genom att först välja om du skall beräkna den i x – led eller i y – led. Om du beräknar den i x – led får du bredden Δx och i y – led bredden Δy på skivan. Ställ sedan upp en formel för att beräkna volymen för en skiva.
- Använd en integral för att beräkna volymen (summera alla skivors volym) för hela kroppen.
Ett exempel på beräkning av en volymintegral
Exempel 1
Beräkna volymen som bildas då linjen $ y=2x $ snurras runt x-axeln i intervallet $ 0≤x≤2 $
Lösning
Volymen för en skiva ges av
$ \pi ⋅ r^2 ⋅ Δx = $ $ \pi ⋅ y^2 ⋅ Δx = $ $ \pi ⋅ (2x)^2 ⋅ Δx= $ $\pi ⋅ 4x^2 ⋅ Δx $
Hela volymen ges av integralberäkningen
$ \int\limits_0^2 (\pi ⋅ 4x^2 ) dx = $ $ \left[ \pi \frac{4x^3}{3} \right]_0^2 $
$ \pi \frac{4⋅2^3}{3} $ $ = \frac{32}{3}\pi \, v.e ≈ 10,667\pi \, v.e $
Exempel i videon
- Linjen $y=x$ snurrar runt $x-axeln$ så att en kon bildas. Beräkna volymen i intervallet $ 1≤x≤3 $.
- Funktionen $ y=x^2 $ snurrar runt y-axeln så att en volym bildas. Beräkna volymen i intervallet $ 0≤y≤4 $.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Beräkna volymen som bildas då $ y=\sqrt{x} $ roteras runt $x$-axeln i intervallet $0 ≤ x ≤ 2$.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar... -
2. Premium
Beräkna volymen som bildas då $y=e^x$y=ex roteras runt $x$-axeln i intervallet $0\le x\le1$0≤x≤1.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar... -
3. Premium
Beräkna volymen som bildas då $y=$y= $\frac{x^2+1}{2}$x2+12 roteras runt $y$y-axeln i intervallet $1\le x\le3$1≤x≤3 .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar... -
4. Premium
Funktionen $ y=\sqrt{2x} $ roteras runt $x$-axeln. Bestäm volymen som bildas i intervallet $ 0 ≤ x ≤ 2 $.
Svara utan enhet och använd ”pi” om du vill beskriva talet $\pi$.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar...c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Beräkna volymen av den ändliga kropp som bildas då $y=x^2-1$y=x2−1 roteras runt $x$-axeln.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar... -
6. Premium
Funktionen $y=\frac{a}{x}$y=ax roteras kring $x$-axeln i intervallet $1\le x\le2$1≤x≤2. Bestäm ett värde på konstanten $a$, så att rotationsvolymen som bildas får volymen $8\pi$8π v.e.
Använd ”pi” om du vill beskriva talet $\pi$.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar...7. Premium
En funktion roteras kring $x$-axeln. En skiva av den rotationsvolym som bildas har arean $A\left(x\right)=x^2$A(x)=x2. Bestäm volymen som bildas i intervallet $1\le x\le4$1≤x≤4 .
Svara utan enhet och använd ”pi” om du vill beskriva talet $\pi$.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar...a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Använd en lämplig rotationsvolym för ta fram en allmän formel för volymen av en cirkulär kon där basradien $r$ är lika lång som höjden.
(Här innebär A-nivån att ta fram formeln på ett korrekt sätt, inte att klicka i rätt svar. Öva på att göra en fullständig lösning med papper och penna.)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar...
-
-
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
John Winlund
Varför i tredje exemplet när vi byter ut x^2 så blir det bara y? I exempel två så blev ju y^2 = x^2 …
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
Det är för att vi har funktionen $ y = x^2 $ så när vi har radien $x^2$ så är det samma sak som y.
Här skall vi också integrera i y-led så vi behöver byta ut variabeln x till variabeln y.
Eller tänker du på när vi tar den primitiva funktionen? Dvs att om $ f(x)=x $ så är den primitiva funktionen $ F(x) = \frac{x^2}{2} $.
Edin
Hur gör man när man byter ut X mot Y om funktionen är Y=5/(1+X)
Simon Rybrand (Moderator)
Du menar om du behöver lösa ut x från formeln
$ y = \frac{5}{1+x} $?
I så fall kan du göra enligt följande:
$ y = \frac{5}{1+x} ⇔ $
$ 1+x = \frac{5}{y} ⇔ $
$ x = \frac{5}{y}-1 $
NISSE-MA
Om: pi*r^2*h = pi*y^2*deltax = pi*x^2*deltax
Varför är då…:
pi*r^2*h = pi*x^2*deltax = pi*y*deltay
Alltså varför blir det inte y i kvadrat ???
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det beror på att vi i uppgiften har funktionen $ y = x^2 $ och så när vi byter ut $ x^2 $ så byter vi ut det mot bara y.
I det här fallet så beräknar vi volymintegralen i y – led så vi behöver skriva integralen med hjälp av variabeln y.
Daniel Fransson
Hej. Ni behöver ändra intervallet i det sista exemplet, så att det är Y och inte X mellan 0 och 4.
Mvh, Daniel.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Daniel och tack för påpekandet, vi ändrar detta omgående.
Endast Premium-användare kan kommentera.