Differentialekvationer av andra ordningen

Exempel 1

Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen $y”-3y’-4y=0$y´´−3y´−4y=0.

Lösning

Vi börjar med att ställa upp den karakteristiska ekvationen.

$r^2-3r-4=0$r²−3r−4=0 Lös med pq-formeln

$(r-4)(r+1)=0$(r−4)(r+1)=0

Med nollproduktmetoden får vi de två rötterna $r_1=4$r₁=4 och $r_2=-1$r₂=−1. Vi befinner oss i fall 1 med två olika reella rötter, vilket ger den allmänna lösningen

$y=Ce^{4x}+De^{-x}$y=Ce^4x+De^−x

Exempel 2

Bestäm den lösning till differentialekvationen $y”+4y’+3y=0$y´´+4y´+3y=0 som uppfyller villkoren $y(0)=2$y(0)=2 och $y'(0)=-2$y´(0)=−2.

Lösning

Vi börjar med att bestämma den allmänna lösningen genom att ställa upp den karakteristiska ekvationen.

$r^2+4r+3=0$r²+4r+3=0 Lös med pq-formeln

$(r+1)(r+3)=0$(r+1)(r+3)=0

Vi får rötterna $r_1=-1$r₁=−1 och $r_2=-3$r₂=−3, vilket ger den allmänna lösningen

$y=Ce^{-x}+De^{-3x}$y=Ce^−x+De^−3x

Vi använder nu begynnelsevillkoren för att bestämma konstanterna $C$C och $D$D. Vi börjar med att derivera den allmänna lösningen.

$y’=-Ce^{-x}-3De^{-3x}$y´=−Ce^−x−3De^−3x Sätt in $x=0$x=0 i $y$y och $y’$y´

$y(0)=C+D=2$y(0)=C+D=2

$y'(0)=-C-3D=-2$y´(0)=−C−3D=−2 Lös ekvationssystemet

Från det första villkoret får vi $C=2-D$C=2−D. Vi sätter in detta i det andra villkoret.

$-(2-D)-3D=-2$−(2−D)−3D=−2 Förenkla

$-2-2D=-2$−2−2D=−2 Lös ut $D$D

$D=0$D=0 Bestäm $C$C

$C=2-0=2$C=2−0=2

Den partikulära lösningen som uppfyller begynnelsevillkoren är $y=2e^{-x}$y=2e^−x.

Exempel 3

Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen $y”-4y’+13y=0$y´´−4y´+13y=0.

Lösning

Vi ställer upp den karakteristiska ekvationen och löser med pq-formeln.

$r^2-4r+13=0$r²−4r+13=0 Tillämpa pq-formeln

$r=2\pm\sqrt{4-13}=2\pm\sqrt{-9}$r=2±√(4−13)=2±√(−9) Förenkla

$r=2\pm3i$r=2±3i

Rötterna är komplexa på formen $a\pm bi$a±bi med $a=2$a=2 och $b=3$b=3. Vi befinner oss i fall 3, vilket ger den allmänna lösningen

$y=e^{2x}(C\cos(3x)+D\sin(3x))$y=e^2x(Ccos(3x)+Dsin(3x))