...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova gratis Skaffa Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 5
 /   Differentialekvationer

Differentialekvationer av andra ordningen

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Detta är en differentialekvation av andra ordningen

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Kontakta ansvarig lärare om att förnya eller byt till privatkonto.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya ert skolabonnemang genom att kontakta oss på: info@eddler.se

Differentialekvationer av andra ordningen är ekvationer som innehåller andraderivatan $y”$. Sådana typer av ekvationer som står på formen $y” + ay’ + by = 0$ har lösningen $y = e^{rx}$. Här är det viktiga att hitta $r$ som ges av den så kallade karakteristiska ekvationen $r^2 + ar + b = 0$ och som löses med hjälp av PQ formeln.

Differentialekvationer av andra ordningen

Differentialekvationer på formen $y” + ay’ + by = 0$

som har den karakteristiska ekvationen $r^2 + ar + b = 0$

och lösningen $y = e^{rx}$.

Att lösa differentialekvation av andra ordningen

När man löser ut $r$ (den karakteristiska ekvationen) så finns det tre olika fall av lösningar. Dessa är följande:

  1. Den då ekvationen har en lösning $r$. Då ges den allmänna lösningen av $y = e^{rx}(Cx + D)$
  2. Den då ekvationen har två lösningar $r_1$ och $r_2$. Då ges den allmänna lösningen av $y = Ce^{r_1 x} + De^{r_2 x}$
  3. Den då ekvationen har två icke reella lösningar (komplexa på formen $a + bi$). Då ges den allmänna lösningen av $y = e^{ax}(Ccos(bx) + Dsin(bx)$.

I den här genomgången tar vi framförallt exempel på de två första fallen av lösningar.

Exempel i videon

  • Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen $ 2y´´-8y´+y=0 $.
  • Bestäm den lösning till differentialekvationen $ y´´+4y´-5y=0 $ som uppfyller villkoren $y(0)=0$ och $y´(0)=6$.

Kommentarer

Goran Klencovljevic

Jag undrar om differentialekvationer av andra ordningen och separabla differentialekvationer verkligen ingår i kursen matematik 5? Det finns nämligen inga uppgifter i boken matematik 5000.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det beror väldigt mycket på om din lärare vill att det skall ingå eller inte. Det är ju inga nationalla prov till kursen och det kan därmed variera en hel del.

isakforsman

fråga #2 borde vara väl vara formulerad y´´ + 3y´ + 2y = 0 om den ska vara homogen?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ja det stämmer, frågeformuleringen är fel där och det är korrigerat.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är den allmänna lösningen för en differentialekvation av andra ordningen då den karaktäristiska ekvationen en har en dubbelrot  $r$r ?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm den allmänna lösningen till $y” + 3y’ + 2y = 0$.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm den allmänna lösningen till  $y”-6y’+13y=0$y6y+13y=0 .

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Kontakta ansvarig lärare om att förnya eller byt till privatkonto.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya ert skolabonnemang genom att kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm den allmänna lösningen till  $2\frac{dy^2}{dt^2}+3\frac{dy}{dt}-2y=0$2dy2dt2 +3dydt 2y=0 .

    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös differentialekvationen $y” + 4y’ + 3y = 0$ med villkoren $y(0) = 0$ och $y'(0) = 2$.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    $y=e^{-3x}$y=e3x  är en lösning till differentialekvationen  $y”+2y’+ky=0$y+2y+ky=0 . Bestäm den allmänna lösningen.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm  $y\left(\frac{2}{\pi}\right)$y(2π )  då  $y”+2\pi y’-3\pi^2y=0$y+2πy3π2y=0  samt  $y\left(0\right)=6$y(0)=6  och  $y’\left(0\right)=2\pi$y(0)=2π .

    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/3)
    ECA
    B1
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm det maximala värdet på  $y$y  då  $y”+9y=0$y+9y=0  samt  $y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}$y(π4 )=2  och  $y”\left(\frac{\pi}{9}\right)=9$y(π9 )=9 .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Kontakta ansvarig lärare om att förnya eller byt till privatkonto.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya ert skolabonnemang genom att kontakta oss på: info@eddler.se