Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 5
/ Talteori
Talteori - problemlösning
Formler och begrepp som används i video och övningar
Delbarhet
Heltalet $a$ är delbart med ett heltal $b ≠ 0$ om $\frac{a}{b} $ är ett heltal.
Man kan då säga att ”b delar a” vilket skrivs som $ b \, | \, a $.
Primtal
Ett heltal $p > 1$ är ett primtal om det endast är delbart med sig självt och $1$.
Aritmetikens fundamentalsats
Alla heltal $n > 1$ kan på ett entydigt sätt kan skrivas som en produkt av primtal.
Kongruens
Två heltal $a$ och $b$ är kongruenta om de har samma rest vid division med heltalet $n > 1$. Då säger man att dessa tal är kongruenta modulo n vilket skrivs som $a ≡ b \, (mod \, n)$.
Regler Kongruensräkning
Reglerna förutsätter att $a ≡ b\, (mod\, n)$ och $c ≡ d \,(mod\, n)$. Då gäller att
1. $a + c ≡ b + d \,(mod\, n)$
2. $ac ≡ bd\, (mod\, n)$
3. $a^t ≡ b^t\, (mod\, n)$ där $t$ är ett positivt heltal.
Exempel i videon
- Vilken månad är det $5^{25}$ månader efter Mars?
- Visa att $n^3-n$ är delbart med $3$ utan att använda induktionsbevis. Talet $n$ är ett naturligt tal.
- Bestäm $a$ så att $2002⋅1001 + 6⁴⁸ ≡ a \,(mod \,5)$ och $0 < a < 5$.
- Visa att $ \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+…+\frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1} $ för alla $n ≥ 1$.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Vilket är det minsta positiva heltalet $m$ så att $10\,000 ≡ m$ (mod $3$)?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 5 problemlösning Talteori Talteori – problemlösningRättar... -
2. Premium
Vilken är den korrekta primtalsfaktoriseringen av talet $168$?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 5 problemlösning Talteori Talteori – problemlösningRättar... -
3. Premium
Vilken veckodag är det $6^{100}$ dagar efter en måndag?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 5 problemlösning Talteori Talteori – problemlösningRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Är $ a^2 – 1 $ delbart med $4$ om $a = 2m – 1$ där $m$ är ett positivt heltal?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 5 problemlösning Talteori Talteori – problemlösningRättar...c-uppgifter (2)
-
5. Premium
Stämmer det att $ n < 2^n $ för alla positiva heltal $n$?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 5 problemlösning Talteori Talteori – problemlösningRättar... -
6. Premium
Vilket är det minsta naturliga tal $n$ som ger $3^{92}+147⋅4^{50}≡n$ (mod $5$)?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 5 problemlösning Talteori Talteori – problemlösningRättar...a-uppgifter (2)
-
7. Premium
Använd kongruens för att visa vilken rest som fås då $62\,127$ divideras med $11$.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 5 problemlösning Talteori Talteori – problemlösningRättar...8. Premium
Vinkelsumman i en månghörning ökar med $180^o$ för varje hörn. Går det att med hjälp av induktion visa detta?
Tips: Skriv en sluten (direkt) formel för vinkelsumman ${s}_{n}$ i en $n$-hörning och genomför ett induktionsbevis.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 5 problemlösning Talteori Talteori – problemlösningRättar... -
-
-
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Alexander Karlsson
Hej, hur vet du att 2002=2(mod5) och 1001=1(mod5)?
Simon Rybrand (Moderator)
När man räknar mod 5 så kommer du alltid ”komma till” 2 om du startar på 2002. Tänk exempelvis på att 2000 ≡ 0 (mod 5) eller att 1000 ≡ 0 (mod 5).
Så om vi ”startar” på 2002 kommer vi att hamna på 2 istället.
Emma Bergman
Hejsan!
Jag hänger inte riktigt med på vad det är som händer i ex. om ”Vilken månad är det 525
månader efter Mars?”. Kan du förklara vad som händer här: 5×25^12 ≡ 5×1^12. Jag förstår potenslagar, men hänger inte riktigt med på hoppet efter att det sägs vilken räkneregel som ska användas. Vart kommer 5×1^12 ifrån och hur vet man att resten blir 5?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Emma,
Där räknar vi modulo 12 så vi kan skriva att $25≡1\,(mod\,12)$
Vi kan tex tänka att $25-2·12=25-24=1$
Så det är det som händer i det steget.
Ki Nyhlen
Hej Simon!
Jag tänkte bara fråga om det inte är onödigt att förenkla 6^48 till 36^24 innan man använder räkneregel 3? 1^24 ger ju samma resultat som 1^48? Eller är det någonting jag missar?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Ja det är ganska onödigt. Vi får ta och uppdatera den här videon och exemplet så att den enklaste lösningen visas. Tack för att du kommenterade detta.
nti_ma5
Hej Simon!
Jag vill bara påpeka att det står fel i facit på uppgift 4.
Om man ska utveckla parentesen (2m-1)^2 så blir detta inte 4m^2+4m+1 som det står, utan det blir (4m^2-4m+1) då tar nämligen ettorna ut varandra.
svaret blir därför att 4m^2-4m är delbart med 4, vilket är sant
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, Japp det hade blivit ett felaktigt tecken där i förklaringen. Det är korrigerat, tack för att du påpekade detta!
Endast Premium-användare kan kommentera.