...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 4
 /   Integraler

Areor under x – axeln

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Här lär du dig hur du beräknar areor under x-axeln med integraler. Då använder du dig av att du kan sätta ett minustecken framför integraltecknet.

Metod för att beräkna areor under x-axeln

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Tidigare har du lärt dig att beräkna integraler som går över x-axeln. Du kan dessutom beräkna integraler som går under x-axeln genom att känna till att värdet av integralen då blir negativt. Därför sätts ett minustecken framför integraltecknet.

Nedan är graferna till  $f\left(x\right)$ƒ (x) och $g\left(x\right)$g(x) utritade. Notera att $g\left(x\right)=0$g(x)=0. Därmed går grafen horisontellt genom x-axeln.

Beräkna en area under x-axeln

För att beräkna arean mellan kurvorna så beräknas  $\int_a^bg\left(x\right)-f\left(x\right)\text{ }dx$abg(x)ƒ (x) dx.

Då  $g\left(x\right)=0$g(x)=0 så beräknas arean med  $\int_a^b0-f\left(x\right)\text{ }dx=\int_a^b-f\left(x\right)\text{ }dx=-\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx$ab0ƒ (x) dx=abƒ (x) dx=abƒ (x) dx .

Viktigt: Därför kan du alltså sätta ett minustecken framför integralberäkningen om arean som skall beräknas befinner sig under x-axeln.

Exempel

Exempel 1

Nedan är grafen till  $f\left(x\right)=-2x$ƒ (x)=2x utritad. Beräkna den rödmarkerade arean.

Lösning

Arean går under x-axeln. Därför är det viktigt att vi tänker på att sätta ett minustecken framför integralen.

 $-\int_0^2-2x\text{ }dx$022x dx  $=-[-x^2]^2_0=-\left(-2^2\right)$=[x2]20=(22) $=-\left(-4\right)=4\text{ }a.e$=(4)=4 a.e  

Exempel 2

Nedan är grafen till $f\left(x\right)=2sinx$ƒ (x)=2sinx utritad. Beräkna den rödmarkerade arean.

grafen till 2sinx

Lösning

I det här fallet går arean både över och under x-axeln. Därför behöver vi dela upp integralberäkningen i två intervall. Dessutom är det en trigonometrisk funktion.

Först beräknar vi intervall 1:

 $\int_0^{\pi}2sinx\text{ }dx=[-2cosx]^{\pi}_0$0π2sinx dx=[2cosx]π0  

$=-2cos\pi-\left(-2cos0\right)=-\left(-2\right)-\left(-2\right)$=2cosπ(2cos0)=(2)(2) 

 $2+2=4\text{ }a.e$2+2=4 a.e 

Därefter beräknar vi intervall 2:

$-\int_{\pi}^{2\pi}2sinx\text{ }dx=-[-2cosx]^{2\pi}_{\pi}$π2π2sinx dx=[2cosx]2ππ 

$=-\left(-2cos2\pi-\left(-2cos\pi\right)\right)$=(2cos2π(2cosπ)) $=-\left(-2-\left(\left(-2\right)\cdot\left(-1\right)\right)\right)$=(2((2)·(1))) 

$=-\left(-2-2\right)=2+2=4\text{ }a.e$=(22)=2+2=4 a.e 

Slutligen summerar vi de bägge intervallen och får

 $4+4=8\text{ }a.e$4+4=8 a.e 

Exempel i video

  • Beräkna integralen  $\int_{-2}^0x^2+2x\text{ }dx$20x2+2x dx 

Kommentarer

Leila

Hur beräknar man arean Mellan två kurvur, om det ena kurvan ligger över x-axeln och den andra ligger under x-axeln?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, kika gärna på denna video

    Det gäller alltså att beräkna
    $ \int\limits_a^b $ Övre funktion – Undre funktion $ dx $

soulpat

Nu fick jag svar på hur man gör när uppgiften frågar efter arean. Men hur ser det ut när man söker efter ”värdet av en integral” med en funktion som går både över och under. Tar man då värdet av den positiva integralen minus den negativa integralen?
Om vi skulle räkna ut värdet på integralen i ditt första exempel, skulle svaret då bli noll?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, om funktionen går både över och under x axeln så är det viktigt att känna till att det som går under x – axeln kommer att ge en ”negativ area”. Men då det inte finns negativa areor så delar man upp integralberäkningen i olika delar. De som går över x axeln i en del och de som går under i en del och dessa sätter man ett minustecken framför så att vi även där får arean positiv (vilket den ju alltid är)


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Bestäm arean mellan $x$-axeln och funktionen  $f\left(x\right)=x^4-x$ƒ (x)=x4x från $x=0$x=0 till  $x=1$x=1 .

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Bestäm arean mellan $x$-axeln och funktionen $f(x) = 2 – 2x^2$ från $x = 0$ till $x = 2$.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Bestäm arean mellan $x$-axeln och funktionen  $f\left(x\right)=x-x^3$ƒ (x)=xx3 från  $x=-1$x=1 till  $x=0$x=0.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Bestäm arean mellan $x$-axeln och funktionen  $f\left(x\right)=2sin\left(x\right)$ƒ (x)=2sin(x) i intervallet $-\pi\le x\le\pi$πxπ.

    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P
    PL3
    M
    R
    K

    Bestäm arean mellan $x$-axeln och funktionen  $f\left(x\right)=\frac{x^2-6x}{2}$ƒ (x)=x26x2  i intervallet $-2\le x\le7$2x7 .

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P1
    PL2
    M
    R
    K

     $F\left(x\right)=3x\left(ln\left(x\right)-1\right)$F(x)=3x(ln(x)1) är en primitiv funktion till  $f\left(x\right)=3ln\left(x\right)$ƒ (x)=3ln(x). Kontrollera detta och bestäm sedan arean mellan $x$-axeln och funktionen  $g\left(x\right)=-3ln\left(x\right)$g(x)=3ln(x) i intervallet $1\le x\le e$1xe. Svara exakt.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P
    PL3
    M
    R
    K

    Bestäm arean mellan $x$-axeln och funktionen  $f\left(x\right)=-\frac{2}{x\sqrt{x}}$ƒ (x)=2xx  i intervallet $1\le x\le\infty$1x. Svara exakt.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Bestäm arean mellan $x$-axeln och funktionen  $f\left(x\right)=-sin^2\left(x\right)$ƒ (x)=sin2(x) i intervallet $-2\pi\le x\le2\pi$2πx2π.

    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se