Areor under x – axeln

Exempel 1

Nedan är grafen till  $f\left(x\right)=-2x$ƒ (x)=−2x utritad. Beräkna den rödmarkerade arean.

Lösning

Arean går under x-axeln. Därför är det viktigt att vi tänker på att sätta ett minustecken framför integralen.

 $-\int_0^2-2x\text{ }dx$−∫₀²−2x dx  $=-[-x^2]^2_0=-\left(-2^2\right)$=−[−x²]²₀=−(−2²) $=-\left(-4\right)=4\text{ }a.e$=−(−4)=4 a.e  

Exempel 2

Nedan är grafen till $f\left(x\right)=2\text{ }\sin x$ƒ (x)=2 sinx utritad. Beräkna den rödmarkerade arean.

Lösning

I det här fallet går arean både över och under x-axeln. Därför behöver vi dela upp integralberäkningen i två intervall. Dessutom är det en trigonometrisk funktion.

Först beräknar vi intervall 1:

 $\int_0^{\pi}2\text{ }\sin x\text{ }dx=[-2\text{ }\cos x]^{\pi}_0$∫₀^π2 sinx dx=[−2 cosx]^π₀  

 $=-2\text{ }\cos\pi-\left(-2\text{ }\cos0\right)=$=−2 cosπ−(−2 cos0)=

 $-\left(-2\right)-\left(-2\right)=$−(−2)−(−2)=  

 $2+2=4\text{ }a.e$2+2=4 a.e 

Därefter beräknar vi intervall 2:

 $-\int_{\pi}^{2\pi}2\text{ }\sin x\text{ }dx=$−∫_π^2π2 sinx dx= 

$-[-2\text{ }\cos x]^{2\pi}_{\pi}=$−[−2 cosx]^2π_π=  

 $-\left(-2\text{ }\cos2\pi-\left(-2\text{ }\cos\pi\right)\right)=$−(−2 cos2π−(−2 cosπ))= 

$-\left(-2-\left(\left(-2\right)\cdot\left(-1\right)\right)\right)=$−(−2−((−2)·(−1)))= 

 $-\left(-2-2\right)=2+2=4\text{ }a.e$−(−2−2)=2+2=4 a.e 

Slutligen summerar vi de bägge intervallen och får

 $4+4=8\text{ }a.e$4+4=8 a.e