Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Integraler
Areor under x – axeln
Här lär du dig hur du beräknar areor under x-axeln med integraler. Då använder du dig av att du kan sätta ett minustecken framför integraltecknet.
Metod för att beräkna areor under x-axeln
Tidigare har du lärt dig att beräkna integraler som går över x-axeln. Du kan dessutom beräkna integraler som går under x-axeln genom att känna till att värdet av integralen då blir negativt. Därför sätts ett minustecken framför integraltecknet.
Nedan är graferna till $f\left(x\right)$ƒ (x) och $g\left(x\right)$g(x) utritade. Notera att $g\left(x\right)=0$g(x)=0. Därmed går grafen horisontellt genom x-axeln.
För att beräkna arean mellan kurvorna så beräknas $\int_a^bg\left(x\right)-f\left(x\right)\text{ }dx$∫abg(x)−ƒ (x) dx.
Då $g\left(x\right)=0$g(x)=0 så beräknas arean med $\int_a^b0-f\left(x\right)\text{ }dx=\int_a^b-f\left(x\right)\text{ }dx=-\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx$∫ab0−ƒ (x) dx=∫ab−ƒ (x) dx=−∫abƒ (x) dx .
Viktigt: Därför kan du alltså sätta ett minustecken framför integralberäkningen om arean som skall beräknas befinner sig under x-axeln.
Exempel
Exempel 1
Nedan är grafen till $f\left(x\right)=-2x$ƒ (x)=−2x utritad. Beräkna den rödmarkerade arean.
Lösning
Arean går under x-axeln. Därför är det viktigt att vi tänker på att sätta ett minustecken framför integralen.
$-\int_0^2-2x\text{ }dx$−∫02−2x dx $=-[-x^2]^2_0=-\left(-2^2\right)$=−[−x2]20=−(−22) $=-\left(-4\right)=4\text{ }a.e$=−(−4)=4 a.e
Exempel 2
Nedan är grafen till $f\left(x\right)=2\text{ }\sin x$ƒ (x)=2 sinx utritad. Beräkna den rödmarkerade arean.
Lösning
I det här fallet går arean både över och under x-axeln. Därför behöver vi dela upp integralberäkningen i två intervall. Dessutom är det en trigonometrisk funktion.
Först beräknar vi intervall 1:
$\int_0^{\pi}2\text{ }\sin x\text{ }dx=[-2\text{ }\cos x]^{\pi}_0$∫0π2 sinx dx=[−2 cosx]π0
$=-2\text{ }\cos\pi-\left(-2\text{ }\cos0\right)=$=−2 cosπ−(−2 cos0)=
$-\left(-2\right)-\left(-2\right)=$−(−2)−(−2)=
$2+2=4\text{ }a.e$2+2=4 a.e
Därefter beräknar vi intervall 2:
$-\int_{\pi}^{2\pi}2\text{ }\sin x\text{ }dx=$−∫π2π2 sinx dx=
$-[-2\text{ }\cos x]^{2\pi}_{\pi}=$−[−2 cosx]2ππ=
$-\left(-2\text{ }\cos2\pi-\left(-2\text{ }\cos\pi\right)\right)=$−(−2 cos2π−(−2 cosπ))=
$-\left(-2-\left(\left(-2\right)\cdot\left(-1\right)\right)\right)=$−(−2−((−2)·(−1)))=
$-\left(-2-2\right)=2+2=4\text{ }a.e$−(−2−2)=2+2=4 a.e
Slutligen summerar vi de bägge intervallen och får
$4+4=8\text{ }a.e$4+4=8 a.e
Exempel i video
- Beräkna integralen $\int_{-2}^0x^2+2x\text{ }dx$∫−20x2+2x dx
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Bestäm arean mellan $x$-axeln och funktionen $f\left(x\right)=x^4-x$ƒ (x)=x4−x från $x=0$x=0 till $x=1$x=1 .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
2. Premium
Bestäm arean mellan $x$-axeln och funktionen $f\left(x\right)=x-x^3$ƒ (x)=x−x3 från $x=-1$x=−1 till $x=0$x=0.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
3. Premium
Bestäm arean mellan $x$x -axeln och funktionen $f(x)=2-2x^2$ƒ (x)=2−2x2 i intervallen mellan $x=0$x=0 till $x=2$x=2 .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
4. Premium
Bestäm arean mellan $x$-axeln och funktionen $f\left(x\right)=2\text{ }\sin\left(x\right)$ƒ (x)=2 sin(x) i intervallet $-\pi\le x\le\pi$−π≤x≤π.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Bestäm arean mellan $x$-axeln och funktionen $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{x^2-6x}{2}$x2−6x2 i intervallet $-2\le x\le7$−2≤x≤7 .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
6. Premium
$F\left(x\right)=3x\left(\ln\left(x\right)-1\right)$F(x)=3x(ln(x)−1) är en primitiv funktion till $f\left(x\right)=3\text{ }\ln\left(x\right)$ƒ (x)=3 ln(x).
Kontrollera detta och bestäm sedan arean mellan $x$x-axeln och funktionen $g\left(x\right)=-3\text{ }\ln\left(x\right)$g(x)=−3 ln(x) i intervallet $1\le x\le e$1≤x≤e. Svara exakt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
7. Premium
Bestäm arean mellan $x$-axeln och funktionen $f\left(x\right)=-\frac{2}{x\sqrt{x}}$ƒ (x)=−2x√x i intervallet $1\le x\le\infty$1≤x≤∞. Svara exakt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Bestäm arean mellan $x$-axeln och funktionen $f\left(x\right)=-\sin^2\left(x\right)$ƒ (x)=−sin2(x) i intervallet $-2\pi\le x\le2\pi$−2π≤x≤2π.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
Leila
Hur beräknar man arean Mellan två kurvur, om det ena kurvan ligger över x-axeln och den andra ligger under x-axeln?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, kika gärna på denna video
Det gäller alltså att beräkna
$ \int\limits_a^b $ Övre funktion – Undre funktion $ dx $
soulpat
Nu fick jag svar på hur man gör när uppgiften frågar efter arean. Men hur ser det ut när man söker efter ”värdet av en integral” med en funktion som går både över och under. Tar man då värdet av den positiva integralen minus den negativa integralen?
Om vi skulle räkna ut värdet på integralen i ditt första exempel, skulle svaret då bli noll?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, om funktionen går både över och under x axeln så är det viktigt att känna till att det som går under x – axeln kommer att ge en ”negativ area”. Men då det inte finns negativa areor så delar man upp integralberäkningen i olika delar. De som går över x axeln i en del och de som går under i en del och dessa sätter man ett minustecken framför så att vi även där får arean positiv (vilket den ju alltid är)
Endast Premium-användare kan kommentera.