Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
Matematik 4
/ Integraler
Integraler med trigonometriska funktioner
Innehåll
Här lär du dig att beräkna integraler med trigonometriska funktioner. Vi visar även hur primitiva funktioner till trigonometriska uttryck tas fram.
Primitiva funktioner – Trigonometriska funktioner
Här samlar vi de primitiva funktioner du behöver känna till för att beräkna integraler med trigonometriska funktioner.
$f\left(x\right)$ƒ (x) | $F\left(x\right)$F(x) |
$sin\left(kx\right)$sin(kx) | $-\frac{cos\left(kx\right)}{k}+C$−cos(kx)k +C |
$cos\left(kx\right)$cos(kx) | $\frac{sin\left(kx\right)}{k}+C$sin(kx)k +C |
Exempel 1
Bestäm den primitiva funktionen till $f\left(x\right)=sin\left(3x\right)$ƒ (x)=sin(3x)
Lösning
Den primitiva funktionen är
$F\left(x\right)=-\frac{cos\left(3x\right)}{3}+C$F(x)=−cos(3x)3 +C
Exempel 2
Bestäm den primitiva funktionen till $f\left(x\right)=\frac{cos\left(2x\right)}{2}$ƒ (x)=cos(2x)2
Lösning
Vi kan även skriva funktionen som $f\left(x\right)=\frac{1}{2}cos\left(2x\right)$ƒ (x)=12 cos(2x).
Den primitiva funktionen är
$F\left(x\right)=\frac{1}{2}\frac{sin\left(2x\right)}{2}+C=\frac{sin\left(2x\right)}{4}+C$F(x)=12 sin(2x)2 +C=sin(2x)4 +C
Beräkna integraler med trigonometriska funktioner
När du beräknar integraler med trigonometriska funktioner använder du dig av reglerna ovan för primitiva funktioner. Det är också bra att du känner till hur integralkalkylens fundamentalsats är uppbyggd. I exemplen nedan använder vi oss av vinkelmåttet radianer.
Exempel 3
I koordinatsystem är grafen till $f\left(x\right)=cosx$ƒ (x)=cosx utritad. Beräkna arean av det skuggade området.
Lösning
Vi ställer upp och beräknar integralen från $0$0 till $\frac{\pi}{2}$π2 .
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}cosx\text{ }dx$∫0π2 cosx dx $=[sinx]^{\text{π/2}}_0$=[sinx]π/20 $=sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-sin\left(0\right)$=sin(π2 )−sin(0)
Vi använder exakta trigonometriska värden och får att
$sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-sin\left(0\right)=1-0=1\text{ }a.e$sin(π2 )−sin(0)=1−0=1 a.e
Exempel 4
I koordinatsystem är grafen till $f\left(x\right)=sin\left(2x\right)+1$ƒ (x)=sin(2x)+1 utritad. Beräkna arean av det skuggade området.
Lösning
Vi ställer upp och beräknar integralen från $0$0 till $\pi$π.
$\int_0^{\pi}sin\left(2x\right)+1\text{ }dx$∫0πsin(2x)+1 dx $=[-\frac{cos\left(2x\right)}{2}+x]^{\text{π}}_0$=[−cos(2x)2 +x]π0
$=\left(-\frac{cos\left(2\cdot\pi\right)}{2}+\pi\right)-\left(-\frac{cos\left(2\cdot0\right)}{2}+0\right)$=(−cos(2·π)2 +π)−(−cos(2·0)2 +0)
Vi använder exakta trigonometriska värden och får att
$\left(-\frac{1}{2}+\pi\right)-\left(-\frac{1}{2}+0\right)$(−12 +π)−(−12 +0) $=-\frac{1}{2}+\pi+\frac{1}{2}=\pi\text{ }a.e$=−12 +π+12 =π a.e
Arean är alltså $\pi$π areaenheter
Kommentarer
Tid kvar
00:00- E
- C
- A
Totalpoäng
0/0██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (5)
-
1. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Bestäm den primitiva funktionen till $f\left(x\right)=2\text{ }\sin x$ƒ (x)=2 sinx
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Bestäm den primitiva funktionen till $f\left(x\right)=-\cos x$ƒ (x)=−cosx
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K I koordinatsystemet är grafen till $f\left(x\right)=2\text{ }\sin x$ƒ (x)=2 sinx utritad. Bestäm arean av det markerade området.
Svara med enheten ae.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Beräkna $\int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin(x) dx$.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Bestäm den primitiva funktionen till $f\left(x\right)=\cos\left(5x\right)$ƒ (x)=cos(5x)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (2)
-
6. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/2/0)M NPE C A B P 2 PL M R K Beräkna $\int\frac{\sin\left(2x\right)}{\pi}dx$∫sin(2x)π dx i intervallet $-\frac{\pi}{2}\le x\le0$−π2 ≤x≤0.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer: Beräkna integralerRättar...7. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/3/0)M NPE C A B P 2 PL 1 M R K I koordinatsystemet är $f\left(x\right)=1$ƒ (x)=1 och $g\left(x\right)=2sin\left(x\right)$g(x)=2sin(x) utritade
Beräkna arean av det markerade området
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/0/2)M NPE C A B P PL 2 M R K Beräkna $\int_0^{\text{π/6}}\left(2sinx+5\right)cosx\text{ }dx$∫0π/6(2sinx+5)cosx dx
nationellt prov uppgift 14, vt13
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Tid kvar
00:00Totalpoäng
0/0- E
- C
- A
E | C | A | |
---|---|---|---|
Totalt
|
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Edvin Stillerud
Jag förstår inte hur arean kan bli 0 på uppgift 4. Jag tänker att man delar upp integralen då blir arean 4?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Edvin,
arean blir, som du säger, $4$ a.e. Men i uppgiften sak vi beräknaintegralens värde. Och areor under $x$-axeln har ett negativt värde och därmed tar arena över $x$-axen ut arena under.
Så integralens värde och arena integralen motsvarar är inte riktigt samma sak.
Endast Premium-användare kan kommentera.