Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Integraler
Integraler med trigonometriska funktioner
Innehåll
Här lär du dig att beräkna integraler med trigonometriska funktioner. Vi visar även hur primitiva funktioner till trigonometriska uttryck tas fram.
Primitiva funktioner – Trigonometriska funktioner
Här samlar vi de primitiva funktioner du behöver känna till för att beräkna integraler med trigonometriska funktioner.
| $f\left(x\right)$ƒ (x) | $F\left(x\right)$F(x) |
| $\sin\left(kx\right)$sin(kx) | $-\frac{\cos\left(kx\right)}{k}$−cos(kx)k $+C$+C |
| $\cos\left(kx\right)$cos(kx) | $\frac{\sin\left(kx\right)}{k}$sin(kx)k $+C$+C |
Exempel 1
Bestäm den primitiva funktionen till $f\left(x\right)=\sin3x$ƒ (x)=sin3x
Lösning
Den primitiva funktionen är
$F\left(x\right)=$F(x)=$-\frac{\cos3x}{3}$−cos3x3 $+C$+C
Exempel 2
Bestäm den primitiva funktionen till $f\left(x\right)=$ƒ (x)=$\frac{\cos2x}{2}$cos2x2
Lösning
Vi kan även skriva funktionen som $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cos2x$ƒ (x)=12 cos2x
Den primitiva funktionen är
$F\left(x\right)=$F(x)= $\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin2x}{2}+C=\frac{\sin2x}{4}+C$12 ·sin2x2 +C=sin2x4 +C
Beräkna integraler med trigonometriska funktioner
När du beräknar integraler med trigonometriska funktioner använder du dig av reglerna ovan för primitiva funktioner. Det är också bra att du känner till hur integralkalkylens fundamentalsats är uppbyggd. I exemplen nedan använder vi oss av vinkelmåttet radianer.
Exempel 3
I koordinatsystem är grafen till $f\left(x\right)=\cos x$ƒ (x)=cosx utritad. Beräkna arean av det skuggade området.
Lösning
Vi ställer upp och beräknar integralen från $0$0 till $\frac{\pi}{2}$π2 .
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\text{ }dx$∫0π2 cosx dx $=\left[\sin x\right]^{\text{π/2}}_0$=[sinx]π/20 $=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(0\right)$=sin(π2 )−sin(0)
Vi använder exakta trigonometriska värden och får att
$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(0\right)=1-0=1\text{ }a.e$sin(π2 )−sin(0)=1−0=1 a.e
Exempel 4
I koordinatsystem är grafen till $f\left(x\right)=\sin2x+1$ƒ (x)=sin2x+1 utritad. Beräkna arean av det skuggade området.
Lösning
Vi ställer upp och beräknar integralen från $0$0 till $\pi$π.
$\int_0^{\pi}\sin2x+1\text{ }dx$∫0πsin2x+1 dx $=[-\frac{\cos2x}{2}+x]^{\text{π}}_0$=[−cos2x2 +x]π0
$=\left(-\frac{\cos2\cdot\pi}{2}+\pi\right)-\left(-\frac{\cos2\cdot0}{2}+0\right)$=(−cos2·π2 +π)−(−cos2·02 +0)
Vi använder exakta trigonometriska värden och får att
$\left(-\frac{1}{2}+\pi\right)-\left(-\frac{1}{2}+0\right)$(−12 +π)−(−12 +0) $=-\frac{1}{2}+\pi+\frac{1}{2}=\pi\text{ }a.e$=−12 +π+12 =π a.e
Arean är alltså $\pi$π areaenheter
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (5)
-
1. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Bestäm den primitiva funktionen till $f\left(x\right)=2\text{ }\sin x$ƒ (x)=2 sinx
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Bestäm den primitiva funktionen till $f\left(x\right)=-\cos x$ƒ (x)=−cosx
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K I koordinatsystemet är grafen till $f\left(x\right)=2\text{ }\sin x$ƒ (x)=2 sinx utritad. Bestäm arean av det markerade området.
Svara med enheten ae.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Beräkna $\int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin(x) dx$.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Bestäm den primitiva funktionen till $f\left(x\right)=\cos\left(5x\right)$ƒ (x)=cos(5x)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (2)
-
6. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/2/0)M NP INGÅR EJE C A B P 2 PL M R K Beräkna $\int\frac{\sin\left(2x\right)}{\pi}dx$∫sin(2x)π dx i intervallet $-\frac{\pi}{2}\le x\le0$−π2 ≤x≤0.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer: Beräkna integralerRättar...7. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/3/0)M NP INGÅR EJE C A B P 2 PL 1 M R K I koordinatsystemet är $f\left(x\right)=1$ƒ (x)=1 och $g\left(x\right)=2sin\left(x\right)$g(x)=2sin(x) utritade
Beräkna arean av det markerade området
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/0/2)M NP INGÅR EJE C A B P PL 2 M R K Beräkna $\int_0^{\text{π/6}}\left(2sinx+5\right)cosx\text{ }dx$∫0π/6(2sinx+5)cosx dx
nationellt prov uppgift 14, vt13
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Marina Nilsson
Stör mig på att jag får fel på både uppgift 1 och 2 trots att mitt svar stämmer med facit. När man bara har tillgång till ett vanligt tangentbord finns det ju begränsningar i hur formen på minustecken, x och C kan se ut. Detta borde ni titta på, man tappar ju lusten att räkna när det är såhär!
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Marina,
jag förstår om det är irriterande att man inte får rätt trots att man skrivit ett korrekt svar. Kan det vara så att du glömde skriva F(x)= i början av ditt svar?
Om inte så vet jag inte vad som kan gått fel, för systemet brukar inte ge fel för olika minustecken. Återkom gärna i så fall så vi kan reda ut ved det är för tecken som vi behöver lägga till i rättningsbiblioteket.
Kanske har du redan sett det, men du kan se vilka svar som systemet ger rätt för genom att klicka på FACIT efter att man rättat och hålla då musen över Korrekta varianter.
Då visas alla de svar vi skrivit in i systemet som ger rätt. Om det fattas något får du gärna höra av dig så fyller vi på så fort vi hinner. Du kan där även välja att rätt ditt svar manuellt om det är krångligt eller tidskrävande att skriva in det.
Edvin Stillerud
Jag förstår inte hur arean kan bli 0 på uppgift 4. Jag tänker att man delar upp integralen då blir arean 4?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Edvin,
arean blir, som du säger, $4$ a.e. Men i uppgiften sak vi beräknaintegralens värde. Och areor under $x$-axeln har ett negativt värde och därmed tar arena över $x$-axen ut arena under.
Så integralens värde och arena integralen motsvarar är inte riktigt samma sak.
Endast Premium-användare kan kommentera.