Primitiva Funktioner

Tidigare har vi lärt oss hur man bestämmer derivatan $f’$ƒ ’ utifrån en känd funktion $f$ƒ .  Vi har deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner som kommer från derivatans definition.

Vi ska nu studera hur man kan bestämma en funktion $f$ƒ  utifrån en given derivata $f’$ƒ ’ . Den ursprungliga funktionen kallas för en primitiv funktion och betecknas ofta med $F$F.  

Eller med andra ord. Om derivatan till $F$F är lika med funktionen $f$ƒ  är  $F$F en primitiv funktion till $f$ƒ .

Enkelt uttryckt innebär en primitiv funktion att man tar fram ”baklängesderivatan” för en funktion. Ibland kallas den primitiva funktionen just för antiderivata. Så när du deriverar den primitiva funktionen får du återigen fram den funktion som du ”började med”.

När man beräknar integraler använder man den primitiva funktionen till integranden. Integranden är den funktion som begränsar arean. Hur man gör kommer vi gå igenom i kommande lektioner.

En metod för att lyckas med att ta fram primitiva funktioner, är att försöka tänka derivering baklänges. Genom att tänka ”hur såg den här funktionen ut innan den blev deriverad?” kan man hitta den primitiva funktionen.

När vi deriverar multiplicerar vi med olika faktorer. När vi söker den primitiva funktionen kommer vi istället att dividera med motsvarande tal.

Den primitiva funktionen för termer i potensform kan allra oftast i Ma3 och Ma4 beräknas med minnesregeln “koefficienten gånger variabeln upphöjt till exponenten plus ett, dividerat med exponenten plus ett ”.

I videon visar vi på hur detta mönster känns igen och hur man metodiskt kan tänka för att lyckas ta fram primitiva funktioner. Som inledande vägledning kan följande metod användas för polynomfunktioner.

Observera att denna minnesregel alltså inte gäller för alla potensfunktioner. I Ma5 kommer vi titta på nya metoder för att ta fram den primitiva funktionen till andra mer komplicerade funktioner. Men i Ma3 och 4 kan vi som sagt allt som oftast använda den. Men bra att ta för vana att se om man tagit fram rätt primitiv funktion genom att derivera den och se att det stämmer.

Derivatan av en konstant är alltid lika med noll. Därför, när vi söker den primitiva funktionen, lägger vi alltid till en konstant $C$C. Detta eftersom när vi deriverar $F\left(x\right)$F(x) alltid kommer få  $f\left(x\right)$ƒ (x) oavsett värdet på konstanten, eftersom den försvinner vid derivering.

Man brukar skilja på att bestämma en primitiv funktion och samtliga primitiva funktioner. Skillnaden är just detta att vi lägger till en konstant $C$C för att få samtliga funktioner $F\left(x\right)$F(x) som har derivatan $f\left(x\right)$ƒ (x).

I kommande lektion kommer vi att prata mer om konstanten $C$C och hur man utifrån givna villkor kan bestämma dess värde.

Här följer nu exempel på hur vi bestämmer den primitiva funktionen till några potensfunktioner.

Den primitiva funktionen för termer med variabeln i exponenten är lika med “den ursprungliga funktionen dividerat med exponentens derivata gånger den naturliga logaritmen för basen”.

Följande metod kan användas som vägledning när du bestämmer primitiva funktioner till exponentialfunktioner.

I den här kursen är exponenten alltid en linjär funktion, alltså en förstagradsfunktion. Derivatan till alla linjära funktioner är alltid en konstant. Därför brukar man ibland lite slarvigt säga att man ”dividerar med koefficienten i exponenten”. Men det beror alltså på att derivatan av exponenten, när den är linjär, alltid motsvaras av koefficienten i exponenten.

I denna kurs är det även framför allt exponentialfunktioner med basen $e$e som man ska bestämma den primitiva funktionen till. Det leder till att regeln blir något enklare. Detta eftersom den naturliga logaritmen  $\ln$ln för basen  $e$e  är lika med ett. Vi får då att

 $F\left(x\right)=$F(x)=  $\frac{Ce^{kx}}{k\cdot\ln e}=\frac{Ce^{kx}}{k\cdot1}=\frac{Ce^{kx}}{k}$Ce^kxk·lne =Ce^kxk·1 =Ce^kxk  

Här följer ett exempel på hur vi bestämmer den primitiva funktionen till en exponentialfunktion.

Här har vi tagit fram den primitiva funktionen, så kallade primitiver, för några vanliga funktionsuttryck.

• Visar den primitiva funktionen till  $f(x)=2$ƒ (x)=2 
• Bestäm den primitiva funktionen till $f(x)=2x^2$ƒ (x)=2x²
• Exempel där vi tar fram primitiv funktion till
  • $f(x)=2x^4+2x-10$ƒ (x)=2x⁴+2x−10
  • $f(x)=e^x$ƒ (x)=e^x
  • $f(x)=2e^{3x}$ƒ (x)=2e^3x