...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Derivata och deriveringsregler

Derivatans Definition

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Derivatan – ett gränsvärde

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Den genomsnittliga förändringshastigheten över ett intervall kan beräknas med en ändringskvot. Ändringskvoten motsvarar sekants lutning i intervallet. Derivatan definieras som gränsvärdet till denna ändringskvot. 

Derivatans definition

Derivatan i en punkt kan alltså beräknas med hjälp av gränsvärdet av ändringskvoten där en sekant går från att vara en sekant, till att bli en tangent till kurvan. Omvandlingen från sekant till tangent sker då avståndet mellan punkterna där sekanten skär genom grafen, går mot noll. Alltså i gränslandet där de två punkterna sammanfaller.

Som du ser på bilden nedan så blir sekantens lutning och lutningen på tangenten i punkten $x$x mer och mer lika, ju mindre intervall sekanten omfattar. Alltså när punkterna sekanten skär genom närmar sig varandra. 

Sekanten och tangenten

När avståndet mellan punkterna minskar, alltså då $h$h går mot noll, kommer vi tillslut nå den punkt där sekanten omvandlas till en tangent. I den punkten är gränsvärdet för ändringskvoten som motsvara sekantens lutning, densamma som tangentens lutning. Båda anger derivats värde i punkten vilket även tolkas som förändringshastigheten i punkten. 

Derivatans definition

När vi definierar derivata gör vi det i form av ett gränsvärde. Men inte vilket gränsvärde som helst, utan gränsvärdet på ändringskvoten som motsvarar sekanten lutning. 

Sekantens lutning som en ändringskvot

Sekant som ändringskvot
Sekantens lutning kan beräknas med hjälp av ändringskvoten

 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ΔyΔx =ƒ (x+h)ƒ (x)h  

Uttrycket här ovan är alltså ett sätt att beskriva en sekants lutning eller den genomsnittliga förändringshastigheten i ett intervall. Sekantens lutning blir, som vi såg tidigare, mer och mer lik tangentens lutning, ju närmre de två punkterna sekanten skär genom kommer varandra.

För att i stället få fram förändringshastigheten i en punkt, det vill säga derivatan, låter vi avståndet i $x$x -led minska supermycket. Så mycket att vi kan se avståndet som obefintligt. Det är det vi menar med gränsvärdet då $h\rightarrow0$h→0. Med hjälp av detta kan vi teckna derivatans definition som följer.

Derivatans definition

$f'(x)=$$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h  

Du kan själv se hur ändringskvotens värde förändras genom att flytta punkterna $A$A och $B$B närmre varandra.

När punkterna sammanfaller, alltså där sekanten förvandlas till en tangent, ser vi att kvotens värde inte kan beräknas. Vi får nämligen division med noll. Det är här gränsvärdet kommer in i bilden. Med hjälp av det kan vi bestämma kvotens värde för mycket små värden på $h$h och där med beräkna derivatans värde.

Punkter i en dimension

En viss förvirring kan uppstå när man talar om derivatan och man refererar till en punkt och bara anger ett $x$x -värde.

Vill vill därför här, helt kort, kommentera att en punkt kan definieras i olika antal dimensioner. På linjen, i planet eller i rymden.

Eftersom att man i tidigare kurser fokuserar på punkten i planet, till exempel när vi jobbat med koordinatsystemet, är ett vanligt missförstånd att en punkt alltid måste ha en  $x$x– och en  $y$y-koordinat.

Men man kan alltså ange punkten i en dimension. Exempelvis är alla värden på tallinjen punkter. De anges i en dimension.

För att bestämma läget hos en punkt i rummet behöver man ange tre värden, eller koordinater som man också säger. Vanligtvis $\left(x,\text{ }y,\text{ }z\right)$(x, y, z). Men mer om det i senare kurser.

Derivatan ges i en dimension. Det ger att funktionen inte har en derivata i punkten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) på funktionen, utan i motsvarande punkt på  $x$x-axeln.

Bestäm derivatan utifrån definitionen

Här kommer ett exempel på hur man bestämmer derivatan med hjälp av derivatans definition.

Exempel 1

Bestäm  $f´\left(3\right)$ƒ ´(3) då  $f\left(x\right)=2x+5$ƒ (x)=2x+5 

Lösning

Derivatans definition är 
$ f`(x)=\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h  

Vi löser uppgiften stegvis genom att först bestämma $f(3+h)$ƒ (3+h) och  $f\left(3\right)$ƒ (3) då $f(x)=2x+5$ƒ (x)=2x+5 . Det gör vi genom att ersätta $x$x i funktionsuttrycket med först $3+h$3+h och sedan med $3$3 .

 $f(3+h)=2(3+h)+5=2\cdot3+2h+5=2h+11$ƒ (3+h)=2(3+h)+5=2·3+2h+5=2h+11 
 $f\left(3\right)=2\cdot3+5=11$ƒ (3)=2·3+5=11 

Med hjälp av detta kan vi ställa upp gränsvärdet och beräkna  $f’\left(3\right)$ƒ (3).

 $f’\left(3\right)=$ƒ (3)= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=$ƒ (3+h)ƒ (3)h =

$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{2h+11-11}{h}=$2h+1111h =   

$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{2h}{h}=$2hh = 

$ \lim\limits_{h \to 0}$ $2=2$2=2 

Alltså gäller att   $f´\left(3\right)=2$ƒ ´(3)=2 

I kommande lektion finns många fler exempel som detta.

Är funktionen deriverbar?

Förenklat kan vi säga att en funktion är deriverbar i en punkt om det går att rita upp endast en tangent i den punkten. För att kunna dra dessa entydiga tangenter, krävs att funktionen är definierad och kontinuerlig i punkten. Man ska alltså med säkerhet kunna ange hur tangenten lutar i punkten och att den inte plötsligt radikalt ändrar lutning i punkter angränsande till den.

För att kunna definiera om en funktion är deriverbar mer exakt behöver vi definierar vi kontinuerliga funktioner och gränsvärde

Kontinuerliga funktioner

En funktion $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) är en kontinuerlig funktion, om den är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd.

Gränsvärde

För alla kontinuerlig funktioner gäller att

$ \lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a) $

Deriverbara funktioner är kontinuerliga. Man säger följande.

Funktion $f$ƒ  är deriverbar i punkten  $x=a$x=a då gränsvärdet  $\lim_{h\to0}$limh0 $\frac{f(x+a)-f(a)}{h}$ƒ (x+a)ƒ (a)h    existerar.

Då polynomfunktioner och trigonometriska funktioner är kontinuerliga, är de även deriverbara. 

Men detta finns andra funktioner som är både definierade och kontinuerliga i en punkt, men som ändå inte är deriverbara i punkten.

Exempel 2

Är funktionen till grafen deriverbar?

Grafen till en diskontinuerlig funktion

Lösning

Funktionen är diskontinuerlig. Vi undersöker derivatan i ”glappet” och ser att vi inte kan dra en tangent i  $x=1,99…$x=1,99… som har samma lutning som i  $x=2$x=2. Där mer är inte funktionen deriverbar. 

Dess utom får funktionen inte gör några plötsliga ”vändningar” för att derivatan ska bli entydig.

Grafer med absolutbelopp

I Ma3c ingår också begreppet absolutbelopp. Dessa funktioner bör man också beakta då man ska undersöka funktionens derivata.

En funktion är deriverbar om derivatan är entydig för alla definierade  $x$x -värden.

Vi tittar på ett exempel.

Exempel 3

Är funktionen $f\left(x\right)=\left|-3x+1\right|$ƒ (x)=|3x+1|  deriverbar för alla $x$x ? 

Lösning

Vi ritar funktionen för att lättare se om funktionen är kontinuerlig. Det är den.

Graf f(x)=I-3x+1I

Är derivatan entydig för alla definierade $x$x -värden?

Funktionen är mycket ”spetsig” i  $x=\frac{1}{3}$x=13  . Om v i närmar oss $x=\frac{1}{3}$x=13  från vänster har vi en negativ derivata och från höger en positiv. Det gör att funktionen inte är deriverbar i $x=\frac{1}{3}$x=13  , då funktionen är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd, men inte har ett entydigt gränsvärde i  $x=\frac{1}{3}$x=13  .

Exempel i videon

  • Härledning av derivatans definition
  • Bestäm  $f´\left(2\right)$ƒ ´(2) då  $f\left(x\right)=x^2$ƒ (x)=x2  med hjälp av derivatans definition.

Kommentarer

David M

Fantastiskt bra och pedagogisk förklaring – slår Matematik 5000 med hästlängder! Stort tack!

U S

Varför sätter man 3(3+h)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi skall där sätta in 3+h funktionen $f(x)=3x^2$, vi byter alltså ut $x$ mot $3+h$ så att du får
    $f(3+h)=3(3+h)^2$

Sumayah Hamah Saeed

Hej!
Beräkna F'(1)= lim h går mot 0 f(1+h)-f(1)/h för f(x)=x upphöjd till 2 -4x
Hur ska jag tänka här??
Hjälp

    Simon Rybrand (Moderator)

    $f(x)=x^2-4x$
    vilket ger att
    $f(1)=1-4=-3$
    och
    $f(1+h)=(1+h)^2-4(1+h)$ $=1+2h+h^2-4-4h$ $=-3-2h+h^2$

    $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = $
    $\lim\limits_{h \to 0} \frac{(-3-2h+h^2)-(-3)}{h} = $
    $\lim\limits_{h \to 0} \frac{-2h+h^2}{h} = $
    $\lim\limits_{h \to 0} (-2+h) = -2 $

      Sumayah Hamah Saeed

      Tack för svaret!!!

Xiaoting Chen

Hej, Hur deriverar man den här funktionen:
Y= (3x-5)(x-8)

    Simon Admin (Moderator)

    Antingen använder du kedjeregeln eller så kan du först multiplicera ihop parenteserna för att därefter derivera.
    $y=(3x-5)(x-8) = 3x^2-24x-5x+40=3x^2-29x+40$
    $y´=6x-29$

qwert

Hej

För funktionen f gäller att f(x) = Ax^3 där A är en konstant. Bestäm f'(x) med hjälp av derivatans definition. Det som gör mig ambivalent är att jag inte vet hur jag ska hantera A.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du kan hantera a som vilken siffra som helst. Om du känner dig osäker på konstanter så prova en gång att exempelvis byta ut a mot en 2:a (eller något annat) när du utvecklar med hjälp av derivatans definition:
    $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Simon

Hej!
Jag förstår inte varför ubåten stiger och inte dyker istället?
Skulle behöva en mer utvecklad förklaring 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, när derivatan beräknas för en funktion så får vi förändringshastigheten i just den punkten som vi beräknar derivatan i. Man kan också säga att derivatan är tangentens lutning i just den punkten. I det exemplet så får vi alltså att derivatan är positiv vilket innebär att vi har en positiv lutning i just den punkten. Uppgiften var konstruerad på det viset att den nog kan misstolkas. Om djupet ökar borde ju ubåten vara på väg neråt.. Vi har lagt in en annan uppgift där som inte skall kunna missuppfattas lika lätt.

NISSE-MA

hej! jag har en sån uppgift som jag löste med samma formel som jag lärde mig här i matematikvideo. men jag fick fel svar?

frågan är f(3+h)

om du kan lösa det tydligt så att jag förstår bra. tack!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, för att kunna lösa en sådan uppgift så behöver vi känna till formeln f(x). Har du denna i uppgiften?

fredrikhultgren

Hej simon!
I sista talet hur får du fram att f(2)=8 ?

    fredrikhultgren

    svarar mig själv
    f(2)=2x²=8

pachara

Låt f(x) = 2x och bestäm f(5+h)-f(5)
Hur gör jag då?
blir detta 2(5+h)-2(5)?
Är osäker om jag förstår detta rätt.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du har förstått det hela rätt verkar det som!
    Du byter ut x:et i funktionsformeln mot
    (5+h) resp. 5

Hampus

Hej Simon, jag har ett tal som jag nu suttit och klurat på men har inte kommit på svaret. Jag undrar om du skulle kunna ta dig tiden till att förklara hur jag skall lösa detta tal.
f(x)= x5+7×2-5x+3
Visa att talet ovan stämmer med hjälp av derivatans ekvation.
Mvh
Hampus

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Hampus, jag tror att det kanske saknas något här i problembeskrivningen, du har skrivit i en funktion f(x) här men jag är lite osäker på om du skall derivera med derivatans definition eller något annat? Vad är det som du skall visa?

holm.nathalie

Sista frågan i övningen… Kan man inte bara göra:

f(x) = 2x^2
f'(x) = 2*2x = 4x
f'(2) = 4*2 = 8

? Eller är det jätteviktigt att kunna den där formeln? Jag tycker den är ganska krånglig..!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det går förstås att använda sig av deriveringsreglerna precis som du gör här ovan, det kan dock vara så att man får en fråga ställd så att du skall använda derivatans definition för att visa att du kan just denna. Då är det bra att förstå hur denna används. Svaret skall dock bli samma oavsett om du använder deriveringsregler eller definitionen.

komvux_boras

Tack för väldigt bra genomgångar. Jag önskar bara ett par fler exempel på derivata här. Jag är mest undrande kring hur man ska sätta in i f(x+h). Hur blir det till exempel när f(x)=x+m?

Mvh Viktor

Lindalucas

Tusen tack för genomgången Simon!

staffan

Hej!
Se texten under ”Hur definieras derivata”?!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Staffan, det verkade ha hänt något med den texten och den är nu uppdaterad.

majatheodorsson

Tusen miljoner tack och en fet puss på pannan! Jag bugar och bockar för denna briljanta sida som nog kommer kunna ge mig ett högre betyg än G i matte C! TACK!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Då håller jag tummarna för högre betyg!

maybe

Jag vill bara säga att du har räddat mitt liv. Innan jag upptäckte denna sida var jag helt ”lost” på matten och nu helt plötsligt börjar jag förstå hur viktigt det är med matten. Du förklarar fantastikst bra! tack så jätte mycket.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Maybe och tack så mycket för din uppskattning, lycka till med dina studier!

MrMarcus

Ja, detta var inte dumt. Tack för att du tagit dig tid till en genomtänkt hemsida!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack så mycket Markus, lycka till med plugg på derivata och Matte C

Car8oline

Jättebra genomgångar! Verkligen genomtänkt och lättförstått.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack Caroline, lycka till med ditt Matte C pluggande.

Simon Rybrand (Moderator)

Tack så mycket Mohammed, lycka till med deriveringar och Matematik C!

Mohammed

jag vill bara säga till tack så mycket. jag har lärt mig jätte mycket med hjälp av matematikvideo tack.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (9)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Derivatans definition

    Kaffefläcken skymmer en viktig del av derivatans definition. Vilken?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad är det man INTE anger med hjälp av derivatan?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Matematiskt betecknas ändringskvoten som motsvarar sekantens lutning med $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$yx 

    Enligt derivatans definition är gränsvärdet till ändringskvoten $ \lim\limits_{h \to 0} $  $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$yx  lika med derivatans värde i punkten $\left(x,\text{ }f\left(x\right)\right)$(x, ƒ (x)).
    Sekant och ändringskvot

    Vad motsvarar alltid $\bigtriangleup y$y i derivatans definition?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Matematiskt betecknas ändringskvoten som motsvarar sekantens lutning med $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$yx 

    Enligt derivatans definition är gränsvärdet till ändringskvoten $ \lim\limits_{h \to 0} $  $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$yx  lika med derivatans värde i punkten $\left(x,\text{ }f\left(x\right)\right)$(x, ƒ (x)).
    Sekant och ändringskvot

    Vad motsvarar alltid $\bigtriangleup x$x i derivatans definition?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Figuren visar grafen till en funktion och dess tangent i punkten P. 

    Positiv parabel med tangent

    Vilket värde har derivatan för punkten?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    En fågels höjd $h$h i meter över marken beskrivs av funktionen $h(x)$h(x) där $x$x är tiden i sekunder efter att fågeln börjat att flyga.

    Vad innebär $h'(120)=2$h’(120)=2 med ord?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    För vilket $x$x -värde bestäms derivatan, när man beräknar följande gränsvärde?

    $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f\left(4+h\right)-f\left(4\right)}{h}$ƒ (4+h)ƒ (4)h 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    För vilket $x$x -värde bestäms derivatan, när man beräknar följande gränsvärde?

    $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f\left(-2+h\right)-f\left(-2\right)}{h}$ƒ (2+h)ƒ (2)h  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm med hjälp av derivatans definition  $f´\left(2\right)$ƒ ´(2) då  $f(x)=3x$ƒ (x)=3x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se