Absolutbelopp

Absolutbeloppet är förenklat beskrivet avståndet mellan origo och en punkt.

Vi beskriver i denna kurs framför allt punktens position utifrån en dimension. På tallinje (en dimension) återfinns alla reella tal.

Definitionen innebär att absolutbeloppet aldrig är negativt. Om exempelvis $x=-2$x=−2 så gäller alltså att $\left|-2\right|=-\left(-2\right)=2$|−2|=−(−2)=2. Om $x=2$x=2 så är även det absolutbeloppet positivt då vi från definitionen ser att $\left|2\right|=2$|2|=2.

För att förstå absolutbelopp är det viktigt att kunna roten ur, negativa tal och hur tallinjen fungerar. Begreppet ingår i kursen Ma2c. Absolutbelopp används inom programmering och är en viktig förkunskap i arbetet med komplexa tal och vektorer.

Det som är nytt i denna kurs är att vi ska försöka avgöra om funktionen är deriverbar eller ej. Här gäller det att vara observant på funktionsuttryck som innehåller ett absolutbelopp. Men först repeterar vi vad det är för något.

Eftersom avstånd aldrig är negativa gäller att absolutbeloppet för ett tal aldrig är negativt. Exempelvis är $\left|-4\right|=4$|−4|=4. För att förstå hur detta fungerar i en dimension kan vi markera några tal på en tallinje.

Avståndet här ovan mellan den röda punkten på talet $4$4 och $0$0 är $4$4 l.e. Vi kan skriva det med absolutbeloppet $\left|4\right|=4$|4|=4.

Avståndet mellan den blå punkten på talet $-7$−7 och $0$0 är $7$7 l.e. Vi kan skriva det med absolutbeloppet  $\left|-7\right|=7$|−7|=7.

Absolutbelopp kan även tolkas som avstånd mellan tal. Exempelvis $\left|x-y\right|$|x−y| är avståndet mellan punkterna $x$x och $y$y. För att förstå det kan vi rita upp följande tallinje där vi har markerat talen $-5$−5 och $3$3.

Alltså definierar vi avståndet mellan två tal $x$x och $y$y på tallinjen som $\left|x-y\right|$|x−y|.

När vi löser ekvationer med absolutbelopp kan det vara viktigt att använda sig av att $\left|x-y\right|$|x−y| kan ses som avståndet mellan talen $x$x och $y$y på tallinjen. Nedan följer ett exempel på hur vi löser en sådan ekvation.

Då vi kan tänka oss absolutbeloppet som ett avstånd till origo kan vi resonera oss fram till lösningar på olikheter.

Om det känns svårt att se denna lösning är tipset att rita en tallinje eller sätta in olika värden på $x$x för att bekräfta sin teori.

$|-13+7| =|-6|=6 > 4$
$|-12+7| =|-5|=5 > 4$
$|-11+7| =|-4|=4$
$|-10+7| =|-3|=3< 4$
$|-9+7| =|-2|=2< 4$
$|-8+7| =|-1|=1< 4$
...
$|-4+7| =|3|=3< 4$
$|-3+7| =|4|=4$
$|-2+7| =|5|=5>4$
$|-1+7| =|6|=6>4$

Vi ser här att $-11<x<-3$ är de tal som ger att $|x+7| < 4$.

Det gällande intervallet för absolutbeloppet är i bilden markerat med rött. Adderar vi sju till $x=-11$x=−11 hamnar resultatet vid intervallets undre gräns, som i bilden är markerat vid den vänstra gröna pilens spets.

För  $x=-3$x=−3 gäller att resultatet vid addition med sju hamnar i intervallets övre gräns. Därmed ger addition med sju resultat som hamnar i intervallet för alla  $x$x -värden i intervallet $-11<$−11<  $x<-3$x<−3.

I Ma3c studerar vi derivatan av funktioner vars funktionsuttryck innehåller absolutbelopp.

För att en funktion ska vara deriverbar för hela definitionsmängden, ska derivatan vara entydig för alla $x$x -värden som tillhör. Detta kan vi förenklat beskriva som att vi bara kan dra en tangent för varje punkt på grafen.

För diskontinuerliga funktioner, eller funktioner som byter riktning hastigt, är detta inte möjligt för alla $x$x -värden. De är därför inte heller deriverbara för alla  $x$x. 

Vi ser här grafen till  $f\left(x\right)=x$ƒ (x)=x  och $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x| 

Funktionen  $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x| antar, i förhållande till  $f\left(x\right)=x$ƒ (x)=x, de motsatta talens $y$y-värden för $x$x $<0$<0. 

Funktionen är mycket "spetsig" i origo. Om vi närmar oss  $x=0$x=0 från vänster har vi en negativ derivata och från höger en positiv. Det gör att funktionen inte är deriverbar i $x=0$x=0, då funktionen är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd, men inte har ett entydigt gränsvärde i  $x=0$x=0.

• Beräkna |-2| och |2|
• Beräkna | -3 | + | -2 |
• Beräkna | 6 - (-2) | - | 5 |
• Lös ekvationen 3 = | x - 8 |