...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Derivata och deriveringsregler

Kontinuerliga och Diskreta Funktioner

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Kontinuerlig eller Diskontinuerlig funktion?

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Ett förenklat sätt att beskriva en kontinuerlig funktion är att säga, att det är en funktion vars graf går att rita, utan att lyfta pennan från papperet. Det vill säga en funktion som är sammanhängande både i sin definitionsmängd och sin värdemängd.

Nedan ser vi ett typiskt exempel på hur en kontinuerlig funktion se ut.

Kontinuerlig funktion definition

Alla polynomfunktioner, så som till exempel linjära-, andragrads- och tredjegradsfunktioner, är kontinuerliga. Det samma gäller för alla exponentialfunktioner.

Som en förenklad förklaring av de kontinuerliga funktionerna kan detta var till alltså vara till hjälp, då vi i denna kurs kommer koncentrera arbetet kring polynomfunktioner och exponentialfunktioner. Men det kan lura oss lite, då även en funktion som vi måste lyfta pennan för att rita, kan vara kontinuerlig. Exempelvis är även de rationella funktionerna kontinuerliga, även om man behöver lyfta pennan för att rita deras graf. Mer om detta i kommande lektion.

Ordet kontinuitet kommer av latinets con­ti­nuʹitas, eller contiʹnuus och betyder ’sammanhängande’ eller ’ständig’. I en kontinuerlig funktion är värdemängden sammanhängande för hela funktionens definitionsmängd.

Motsatsen till en kontinuerlig funktion är en diskontinuerlig funktion. 

Så här kan en typisk diskontinuerlig funktion se ut.

Diskontinuerlig funktion definition

Definition av kontinuerliga funktioner

Kontinuerlig funktion

En funktion $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) är en kontinuerlig funktion, om den är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd.

Vi fördjupar denna definition och vad det innebär att vara kontinuerlig i varje punkt i lektionen Kontinuerliga Funktioner – Fördjupning.

Diskreta mängder

Den finns en särskild grupp funktioner som inte är sammanhängande i sin definitionsmängd. Nämligen de funktioner vars definitionsmängd är diskret.

Ordet diskret har betydelsen ’åtskild’ eller ’separat’ och i diskreta mängder antar alla $x$x åtskilda värden, värden som har ”glapp” mellan sig, värden som är isolerade. Vi kan definiera en isolerad punkt på följande vis.

Punkten $a$a i definitionsmängden $D$D är en isolerad punkt om det finns ett intervall, som tillhör definitionsmängden $D$D kring punkten, där $a$a är den enda punkten som tillhör definitionsmängden $D$D

Två kända exempel på diskreta mängder är de naturliga talen, som skrivs som mängden $N=\left\{0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4…\right\}$N={0, 1, 2, 3, 4…} och de hela talen  $Z=\left\{…-1,\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2…\right\}$Z={1, 0, 1, 2…}. Mängderna är diskreta eftersom att det saknas angränsande tal i intervall kring de definierade $x$x -värdena i mängderna. Alla $x$x i definitionsmängden är isolerade tal.

Till skillnad från heltalen och de naturliga talen är exempelvis talmängden reella tal $R$R   inte diskret. För varje tal som finns på tallinjen är med och inga tal i mängden saknar angränsade tal. De reella talen är inte isolerade tal, mellan två tal i mängden finns inga ”glapp” eller intervall där de är ”ensamma”.

Ytterligare ett exempel på en diskret mängd är de rationella talen (bråktalen) $Q=\left\{\frac{a}{b}\right\}$Q={ab } där  $b\ne0$b0  och $a$a och $b$b är heltal. Även definitionsmängder som ges av talföljder kommer ge diskreta mängder. Dessa studerar vi lite mer i Ma3b. Deras definitionsmängd och därmed även värdemängd kan listas i en naturlig ordning  $a_1,\text{ }a_2,\text{ }…$a1, a2, …  och  $f\left(a_1\right),\text{ }f\left(a_2\right),\text{ }…$ƒ (a1), ƒ (a2), …  Detta var några exempel på diskreta mängder. Men det finns många fler.

Diskreta funktioner

Det man menar med diskreta funktioner är funktioner vars definitionsmängd är diskret, åtskild. Funktionens $x$x-värden är då åtskilda från varandra, till skillnad från en funktion där definitionsmängden är sammanhängande. Att definitionsmängden är åtskild visar sig genom att grafen består av isolerade punkter. 

Så här kan grafen till en typisk diskret funktion se ut. Just denna har en definitionsmängd som tillhör de naturliga talen  $N=\left\{0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4…\right\}$N={0, 1, 2, 3, 4…}.

Diskret funktion definition

Faktum är att varje diskret funktion är kontinuerlig. Detta trots att man inte kan rita den utan att lyfta pennan. Det beror på att funktionen är kontinuerlig i sin definitionsmängd. Men mer om det i nästa lektion som fördjupar begreppen.

Sammanfattningsvis är det alltså definitionsmängden som avgör om en funktion är diskret, medan det är värdemängden som avgör om en funktion är kontinuerlig. De två egenskaperna är alltså inte vara varandras motsatser.

Definition av diskreta funktioner

Diskret funktion

En diskret funktion $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) är funktion där varje punkt i definitionsmängden är isolerade.

En isolerad punkt $a$a i en definitionsmängd definieras som en punkt som uppfyller att den är den enda punkten som tillhör definitionsmängden i ett visst intervall i definitionsmängden.

Exempel på kontinuerlig, diskontinuerlig och diskret funktion

Exempel 1 -Kontinuerlig funktion

Ett exempel på en kontinuerlig funktion är $f(x)=x^2$ƒ (x)=x2  där  $x\ge0$x0  och  $f(x)$ƒ (x) beskriver höjden på en raket efter $x$x sekunder. Här kommer raketen ha en höjd för varje sekund och varje del av sekunden och funktionen är därmed kontinuerlig.

Andragradsfunktion

Funktionen är en polynomfunktion och grafen är sammanhängande i hela sin definitionsmängd.

Exempel 2 -Diskontinuerlig funktion

Funktionen $f(x)=\begin{cases} x^2-4\,\,\,\,\text{då}\,\,x<3 \\x-1 \,\,\,\,\,\,\text{då}\,\,x\ge 3 \end{cases}$ är diskontinuerlig då

$ \lim\limits_{x \to 3^+} f(x) ≠\lim\limits_{x \to 3^-} f(x) ≠f(3) $.

Detta resulterar i att grafen inte är sammanhängande då  $x=3$x=3

Diskontinuerlig graf

Gränsvärdet kring $x=2$x=2 ger olika funktionsvärden  $f\left(2\right)$ƒ (2) om du närmar dig $x=2$x=2  från höger eller vänster. Funktionen är därför inte kontinuerlig i hela sin definitionsmängd.

Exempel 3 -Diskret funktion

Ett exempel på en diskret funktion är  $f(x)=3x$ƒ (x)=3x där $x\ge0$x0 är antalet sålda bilar i en bilaffär.

Eftersom att man bara säljer hela bilar är definitionsmängden inte sammanhängande. Den består av $x$x-värden som alla är åtskilda. Det leder till att grafen består av isolerade punkter. Så kallade diskreta.

Grafen till en diskret funktion

Trots att punkterna ligger på en sammanhängande rät linje med ekvationen  $f\left(x\right)=3x$ƒ (x)=3x för  $x\ge0$x0 består funktionen endast av punkterna. Den sammanhängande linjen motsvarar alltså inte grafen till $f\left(x\right)$ƒ (x). Utan det är punkterna som representerar den.  

Exempel i videon

  • Avståndet i km du har åkt med en bil beskrivs av funktionen  $f\left(t\right)$ƒ (t) där t är tiden i minuter efter start.
  • Priset att parkera på en parkeringsplats är $5$5 kr per påbörjad timme. Funktionen  $p\left(h\right)$p(h)  där h är den påbörjade timmen ger priset.
  • I en mataffär kan du köpa apelsiner för $7$7 kr styck och potatis för 9 kr kilot. Beskriv inköp av apelsinerna och potatisen med var sin funktion och avgör om de är kontinuerliga.

Kommentarer

Signe

Hej!
Bilden på fråga 3 och 4 visas inte utan man ser endast en liten ruta med ett frågetecken.
Vet inte om det bara är jag som har detta problem?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi kikar på detta, tack för att du sade till.

Anders Gustafsson

Exemplet med parkeringsplatsen är felaktig. Grafen visar inte en diskret funktion (men en diskontinuerlig funktion). Som ni skriver så är definitionsmängden i en diskret funktion heltal. Men i grafen kan man tydligt avläsa ett funktionsvärde för t.ex h= 0,5 Detta skall inte vara möjligt om definitionsmängden bara är heltal.
Grafen är dock korrekt om definitionsmängden är alla reella tal (större än eller lika med 0). Men då blir inte funktionen diskret.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Anders!
    Vi skall ordna detta så fort som möjligt! Tack för att du sade till!
    /Simon R

Johan Svensson

Fråga 3 ger fel även om man svarar rätt. Jag svarade -5 < y < 1 fast med mindre än eller lika med symbolen mellan y och ett och fick fel trots att förklaringen efter säger att det är rätt. 

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi fixar det, tack för att du sade till!

Olga Nikolajenko

Hej!

Jag tror det är något bugg i uppgift 8 och 3. För det ser konstigt ut.
Det är -5<y\le 1.
Rätt svar: −5<yle1
men bodde se ut så -5<y≤1

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi fixar det, tack för att du sade till!

Nebosja Kostic Hermods Gymnasium STHL

Uppg. 3 Ange värdemängden till funktionen…
det är samma svar på alla de tre alternativen???

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi fixar det!

Husan Karim

Hej!
Varför har ni så få uppgifter här? Eller finns det nå länk med mer uppgifter som man kan träna på?
Mvh Husan

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi kommer att fylla på med fler uppgifter här inom kort. Just nu finns det tyvärr inte fler uppgifter att träna på.

Janina Carvajal

Hej jag studerar matematik 3b. Jag ska precis börja med Diskreta och kontinuerliga funktioner samt gränsvärde.

I boken finns det en uppgift där det står : f(x) = 2x + 3, Df = R.
Vad menas med R? Jag har sett liknande tal fast som har Df = N. De förklarade N lite i boken, och har förstått det som att N är för heltal?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Kan det vara att definitionsmängden (Df) = alla reella tal (R)?

      Ann Kristin Frost

      Hejsan.
      Jag har börjat med 3c och har samma uppgift som diskuterats tidigare. f(x)= 2x+3, Df=R

      Jag ska avgöra om det är kontinuerlig, diskret eller inget.
      Hur avgör man det? Hur räknar man ut talen? Det enda exemplet jag har säger bara vad som är vad. inte hur man faktiskt räknar ut talen, eller hur man skriver det i en grafräknare så man kan se det direkt.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Förenklat (och med en del undantag) kan man tänka att en funktion är kontinuerlig om det går att rita ut dess graf med en penna utan att behöva lyfta denna. Så om du har definitionsmängden alla reella tal så är den kontinuerlig då du då inte får några ”hopp”. Hjälper detta dig att förstå?

vitti

Tja. kan man rita upp detta på grafräknaren? jag vet inte hur detta fungerar?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det går att rita både kontinuerliga och diskreta funktioner på olika vis. Har du ett exempel som du jobbar med? Så har jag något att utgå från.

Caroline

3:50 i videon, grafen y=x^2, hur vet ni att den ska ha den böjen? Var kan jag kika mer på detta här på matematikvideo?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, kika mera på andragradsfunktioner så tror jag att det kommer att klarna.

ksenija

definitionsmängden är -5 mindre eller lika med x större eller lika med 6
värdemängd -2 mindre eller lika med y större eller lika med 4 tror jag

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Du kan beskriva en funktion med så kallade villkor. Att det i ett intervall beskrivs av en funktionsformel och i ett annat intervall så gäller en annan funktionsformel.
    så när
    $ x ≤ 1 $ gäller att $ f(x) = -x-1 $
    och då
    $ x > 1 $ gäller att $ f(x) = x-3 $
    Det här görs ibland men kan förstås vara lite ovant om du inte tidigare sett liknande funktioner.

ksenija

Hej! jag har ett problem, studerar matematik 3b och i boken står under headline rationella funktioner, denna uppgift :
Grafen f(x)kan beskrivas med funktionsuttrycket

f(x) -x-1 för x är mindre eller lika med 1
x-3 för x är större än 1

grafen ser ut som ett v med nollställerna på x=3 och x=-1 och minimipunkten, om man kan kalla den så är på -2
det jag inte fattar är hur kan grafen uttryckas med dessa uttryck. är det något du förstår?

Kevin Coldevin

Hej igen. Sorry, jag missförstod redan från början vilket gjorde det lite svårt. Jag tror att jag förstår nu så du kan ta bort min kommentar eller bara strunta i den.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, vad bra att du förstod!

Kevin Coldevin

Hej!

Vad innebär x = c? Min bok förklarar det inte överhuvudtaget vilket gör detta omöjligt att förstå.

nti_ma3

Hej!
I exemplet som ges vid 04:00 i videon poängteras att värdemängden kan vara högre eller lika med 0, samt mindre än 4. Bör inte detta vara mindre eller lika med 4?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej! Eftersom x = 2 inte ingår i definitionsmängden ( 0≤x<2 ) så kommer inte vi aldrig att få y - värdet 4.

philip.warnerman

Fråga två har något fel i sig, svarade rätt men den gav mig fel.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, sådana textsvar kan vara lite känsliga för stora/små bokstäver och mellanslag. Vi gjorde så att vi ändrade den till en flervalsuppgift istället så att det inte misstolkas.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket påstående stämmer till den utritade grafen?

    Grafen till en kontinuerlig funktion

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Är funktionen med följande graf kontinuerlig?

    Grafen till en diskontinuerlig funktion
    Svara med Ja eller Nej.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad kallas en funktion där punkterna i definitionsmängden är åtskilda och därför ser ut på till exempel detta sätt?

    Diskret funktion

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange definitionsmängden till den diskreta funktionens med följande graf.

    Diskret funktion

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange värdemängden till funktionen  $y=2x-3$y=2x3 då definitionsmängden är  $-1<$1< $x\le2$x2 .

    Lös gärna uppgiften både algebraiskt och grafiskt.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Funktionen $f(x)=99x$ƒ (x)=99x beskriver kostnaden vid inköp av $x$x antal filmer på en webbtjänst då  $x\ge0$x0.

    Är $f(x)$ƒ (x) diskret?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Figuren illustrerar den rationella funktionen  $f(x)=$ƒ (x)=  $\frac{1}{x+4}$1x+4  .

    Vilken är dess definitionsmängd?

    Grafen till en rationell funktion

    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av alternativen nedan tycker du stämmer bäst med följande påstående.

    ”Kostnaden  $K$K  kan beskrivas med en diskret funktion.”

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Studera händelserna nedan och välj vilken händelse som inte kan beskrivas med en diskret definitionsmängd.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Vilken funktion antar störst värde?

    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se