Vad är en andragradsfunktion

Det allmänna funktionsuttrycket för andragradsfunktionen är följande.

Viktigt är att koefficienten framför andragradstermen, $a$a , måste vara frånskild från noll. Annars får vi ingen andragradsfunktion, eftersom andragradstermen "försvinner" om $a=0$a=0.

När vi ritar grafen till en andragradsfunktion i ett koordinatsystem kallas grafen för en parabel. Något som kännetecknar dessa parabler är att de antingen ser ut som en glad mun, öppen uppåt, eller en ledsen mun, öppen nedåt.

För andragradsfunktioner där $a>0$a>0, alltså då koefficienten framför andragradstermen är positiv, kommer grafen att vara öppen uppåt.

För andragradsfunktioner där $a<0$a<0 , alltså då koefficienten framför andragradstermen är negativ, kommer grafen att vara öppen nedåt.

Enkelt uttryck gäller att om det är en negativ koefficient framför $ x^2 $ får vi en graf som ser ut som en negativ, sur, mun.
Om det är en positiv koefficient framför $ x^2 $ får en graf som ser ut som en positiv, glad, mun.

Genom att flytta reglagen i sidled kan vi undersöka hur konstanterna $a,\text{ }b$a, b och $c$c i andragradsfunktionen $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax²+bx+c påverkar parabeln utseende.

Konstanten $a$a påverkar parabelns utseende på det sätt att den går från att för stora negativa värden på $a$a resultera i en smal och negativ graf, till att bli bredare och bredare ju närmre värdet noll $a$a kommer. För små positiva värden är parabeln bred men positiv, för att sedan bli smalare och smalare igen desto större värdet på $a$a blir.

Konstanten $b$b förflyttar grafen i både sid och höjdled samtidigt.

Konstanten $c$c förflyttar endast grafen i höjdled. Notera att värdet på $c$c alltid går att läsa av i skärningspunkten mellan grafen och $y$y-axeln.

Vid tillämpning av matematiken är det vanligt att vi vill beräkna största och minsta möjliga funktionsvärdet. Därför har de punkter som anger vart grafen vänder fått ett eget namn. Nämligen vertex.

I grafen kan vi läsa av dessa vändpunkter.

Eftersom det kan vara av intresse om vertex anger det största eller minsta funktionsvärdet delar vi upp vertex i maximi- och minimipunkter.

Största värdet på parabeln återfinns i maximipunkten, eller maxpunkten som den också kallas.

Minsta värdet på parabeln återfinns i minimipunkten, eller minpunkten som den också kallas.

Så genom att läsa av koefficienten framför andragradstermen kan vi enkelt avgöra om funktionen har en max- eller minpunkt.

I samlingsnamnet extrempunkter ingår alla vertexpunkter, då extrempunkter motsvarar just max- och minpunkter. I Ma3b och Ma3c kommer vi att fördjupa våra kunskaper kring maximi och minimipunkter. Men för nu nöjer vi oss med att sammanfatta ovanstående om extrempunkt på följande vis.

Vi tar nu till sist i detta avsnitt och tittar på ett exempel.

I likhet med den linjära funktionens $m$m -värde, kan vi lätt avgöra andragradsfunktionens $c$c -värde. Detta eftersom den är en konstant som inte påverkas av variablerna i uttrycket.

Värdet på $c$c återfinns, i likhet med värdet på den linjära funktionens värde på $m$m, i skärningspunkten mellan grafen och $y$y -axeln. Även för andragradsfunktionen gäller att värdet på konstanten i funktionsuttrycket motsvarar $y$y -värdet i skärningspunkten.

Med hjälp av bland annat denna information kan vi bestämma formeln till en andragradsfunktion utifrån den uppritade grafen. Men mer om det i lektionen Ange andragradsfunktionen utifrån nollställena och en punkt.

Varför är det så då? Jo, eftersom $x$x-värdet är lika med noll när grafen skär $y$y-axeln får vi att funktionsvärdet är $f\left(0\right)=a\cdot0^2+b\cdot0+c=c$ƒ (0)=a·0²+b·0+c=c. Men mer om detta i kommande lektioner.

En parabel är alltid symmetrisk. Det innebär att vi kan dra en linje mitt genom grafen, som ger att varje punkt på grafen ger en exakt spegling som också tillhör grafen. För att detta ska stämma måste symmetrilinjen dras som en lodrät linje genom vertex.

Symmetrilinjens ekvation är $x=a$x=a , där $a$a motsvarar $x$x -värdet där den lodräta linjen skär $x$x-axeln. Men mer om detta i nästa lektion.

För alla nollställen gäller att funktionens värde är lika med noll, vilket vi kan skriva som $ f(x) = 0 $. Kännedom kring nollställen kan komma till användning bland annat vid lösning av andragradsekvationer. I nästa lektion fördjupar vi kunskapen kring andragradsfunktionens nollställen.

• Andragradsfunktionens begrepp
• Har graferna till följande funktioner en maximi-, eller en minimipunkt?
  a) $f(x)=3x^2-x-2$
  b) $f(x)=-8-x^2$
• I koordinatsystemet är $f(x)=x^2-2x-8$ utritad. Ange koordinaterna för vertex.
• Bestäm skärningspunkten med $y$y-axeln för $f(x)=-10x^2-x+10$