Nollställen och Symmetrilinje

För alla nollställen gäller att funktionens värde är lika med noll, vilket vi kan skriva som $ f(x) = 0$. Grafiskt innebär detta att nollställen återfinns där funktionens graf skär $x$x -axeln.

I denna punkt är alltså $y$y-värdet, som även motsvarar det vi kallar funktionens värde, lika med noll. En andragradsfunktion har antingen inget, ett eller två nollställen. I grafen kan vi avgöra detta genom att läsa av om funktionen inte skär $x$x-axeln, skär $x$x -axeln endast en gång eller skär den två gånger.

När vi känner till andragradsfunktionens formel kan vi hitta nollställena algebraiskt genom att lösa ekvationen $y=f\left(x\right)=0$y=ƒ (x)=0.

Notera att nollställena alltså anges på liknande vis som en ekvationslösning.

När vi introducerade lösningsformeln nämnde vi att parabelns utseende kommer påverkas bland annat av värdet under rottecknet i pq-formeln. För att lättare kunna förklara olika skeenden är det därför bra att känna till att $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$(p2 )²−q kallas för ekvationens diskriminant.

En funktion vars graf aldrig skär $x$x -axeln saknar nollställen. Ekvationen $y=f\left(x\right)=0$y=ƒ (x)=0 har inga reella lösning. (Den skulle dock kunna ha komplexa lösningar). En andragradsfunktion som saknar nollställen kan exempelvis se ut enligt bilden nedan.

Detta inträffar när vi får ett negativt tal under rottecknet när vi löser ekvationen för att bestämma rötterna med PQ-formeln.

Alltså då $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q<0$(p2 )²−q<0 vilket inträffar då $\left(\frac{p}{2}\right)^2<$(p2 )²< $q$q. Med andra ord, då diskriminanten är negativ.

En funktion vars graf skär $x$x -axeln en gång, har ett nollställe. Ekvationen $y=f\left(x\right)=0$y=ƒ (x)=0 har en reell lösning. En andragradsfunktion som endast har ett nollställen kan exempelvis se ut enligt bilden nedan.

Detta inträffar när talet under rottecknet är lika med noll när vi löser ekvationen för att bestämma rötterna med PQ-formeln.

Alltså då $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q=0$(p2 )²−q=0 vilket inträffar då $\left(\frac{p}{2}\right)^2=q$(p2 )²=q. Eller med andra ord, då diskriminanten är lika med noll.

En funktion vars graf skär $x$x-axeln två gånger, har två nollställen. Ekvationen $y=f\left(x\right)=0$y=ƒ (x)=0 har två reella lösning. En andragradsfunktion som har två nollställen kan exempelvis se ut enligt bilden nedan.

Detta inträffar när vi får ett positivt tal under rottecknet när vi löser ekvationen för att bestämma rötterna med PQ-formeln.

Alltså då $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q>0$(p2 )²−q>0 vilket inträffar då $\left(\frac{p}{2}\right)^2>q$(p2 )²>q . Eller med andra ord, då diskriminanten är positiv.

Andragradsfunktionens graf kallas för en parabel och är alltid symmetrisk. Det innebär att vi kan dra en linje mitt genom grafen, som ger att varje punkt på grafen ger en exakt spegling som också tillhör grafen, alltså mitt emellan två punkter som har samma $y$y -värde, t.ex. nollställena.

För att detta ska stämma måste symmetrilinjen dras som en lodrät linje genom vertex.

Symmetrilinjens ekvation är $x=a$x=a , där $a$a motsvarar det $x$x -värde den lodräta linjen skär genom.

Vi kommer i kommande lektionen även ange en metod att snabbt bestämma symmetrilinjens ekvation utifrån lösningsformeln, men det tar vi då.

Vanligt då vi inte har grafen utritad är att bestämma parabelns nollställen med hjälp av lösningsformeln. Då vi vet att funktioners nollställen ges för de $x$x -värden som uppfyller att funktionen är lika med noll, kan vi bestämma nollstället på följande vis.

• Grafen visar (se bild i video) en andragradsfunktion. Ange koordinaterna för nollställena och symmetrilinjens ekvation.
• En andragradsfunktion har nollställen i $x=-5$x=−5 och $x=12$x=12 . Bestäm dess symmetrilinje.
• Grafen till andragradsfunktionen $f\left(x\right)=-x^2+4x$ƒ (x)=−x²+4x är utritad (se bild i video) i koordinatsystemet. Bestäm dess nollställen och symmetrilinje.