...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 2
 /   Andragradsfunktioner

Nollställen och Symmetrilinje

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Ett nollställe till en andragradsfunktion återfinns där grafen skär $x$x-axeln. Symmetrilinjen är en lodrät linje som går genom grafens vertex. Kännedom kring nollställen kommer till användning bland annat vid lösning av andragradsekvationer.

Vad är ett nollställe?

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

För alla nollställen gäller att funktionens värde är lika med noll, vilket vi kan skriva som $ f(x) = 0$. Grafiskt innebär detta att nollställen återfinns där funktionens graf skär $x$x -axeln. 

De $x$-värden där parabeln skär $x$-axeln kallas för nollställen.

Nollställe

I denna punkt är alltså $y$y-värdet, som även motsvarar det vi kallar funktionens värde, lika med noll. En andragradsfunktion har antingen inget, ett eller två nollställen. I grafen kan vi avgöra detta genom att läsa av om funktionen inte skär $x$x-axeln, skär $x$x -axeln endast en gång eller skär den två gånger.

När du känner till andragradsfunktionens formel så kan du hitta nollställena algebraiskt genom att lösa ekvationen  $y=f\left(x\right)=0$y=ƒ (x)=0.

Exempel 1

Ange nollställenas koordinater för den utritade andragradsfunktionen.

Andragradsfunktion

Lösning

Nollställena är $x$x -värdet i de punkten grafen skär  $x$x-axeln. Här gäller det för punkterna $\left(1,0\right)$(1,0) och $\left(3,0\right)$(3,0), vilket ger att $x_1=1$x1=1 och $x_2=3$x2=3.

Notera att nollställena alltså anges på liknade vis som en ekvationslösning.

Diskriminant

När vi introducerade lösningsformeln nämnde vi att parabelns utseende kommer påverkas bland annat av värdet under rottecknet i pq-formeln. För att lättare kunna förklara olika skeenden är det därför bra att känna till att  $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$(p2 )2q kallas för ekvationens diskriminant.

En andragradsfunktion utan nollställen

En funktion vars graf aldrig skär $x$x -axeln saknar nollställen. Ekvationen  $y=f\left(x\right)=0$y=ƒ (x)=0 har inga reella lösning. (Den skulle dock kunna ha komplexa lösningar). En andragradsfunktion som saknar nollställen kan exempelvis se ut enligt bilden nedan.

Andragradsfunktion som saknar nollställen

Detta inträffar när du får ett negativt tal under rottecknet när du löser ekvationen för att bestämma rötterna med PQ-formeln. 

Alltså då  $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q<0$(p2 )2q<0   vilket inträffar då  $\left(\frac{p}{2}\right)^2<$(p2 )2< $q$q. Med andra ord, då diskriminanten är negativ.

Exempel 2

Ange en andragradsfunktionen som inte har något nollställe.

Lösning

Nollställena kan beräknas genom att lösa ut de $x$x-värden som ger att funktionen är lika med noll. Om vi inte finner ett reellt värde på $x$x som uppfyller detta, kommer funktionsuttrycket sakna nollställen.

Exempelvis kommer en ekvation vars lösning ger att $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q<0$(p2 )2q<0, alltså talet under rottecknet i PQ är negativt, resultera i ett sådant resultat.

En sådan funktion är  $f\left(x\right)=x^2+2x+10$ƒ (x)=x2+2x+10  då den har lösningen

 $x_{1,2}=-\frac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-10}$x1,2=22 ±(22 )210 där  $\left(\frac{2}{2}\right)^2-10=1-10=-9$(22 )210=110=9 som är mindre än noll, vilket kommer ge komplexa lösningar på ekvationen. Därmed saknar funktionen nollställen.

En andragradsfunktion med ett nollställe

En funktion vars graf skär $x$x -axeln en gång, har ett nollställe. Ekvationen  $y=f\left(x\right)=0$y=ƒ (x)=0 har en reell lösning. En andragradsfunktion som endast har ett nollställen kan exempelvis se ut enligt bilden nedan.

Andragradsfunktion med ett nollställe

Detta inträffar när talet under rottecknet är lika med noll när du löser ekvationen för att bestämma rötterna med PQ-formeln.

Alltså då  $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q=0$(p2 )2q=0   vilket inträffar då  $\left(\frac{p}{2}\right)^2=q$(p2 )2=q. Eller med andra ord, då diskriminanten är lika med noll.

En andragradsfunktion med två nollställen

En funktion vars graf skär x-axeln två gånger, har två nollställen. Ekvationen  $y=f\left(x\right)=0$y=ƒ (x)=0 har två reella lösning. En andragradsfunktion som har två  nollställen kan exempelvis se ut enligt bilden nedan.

Andragradsfunktion med två nollställen

Detta inträffar när du får ett positivt tal under rottecknet när du löser ekvationen för att bestämma rötterna med PQ-formeln.

Alltså då  $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q>0$(p2 )2q>0   vilket inträffar då $\left(\frac{p}{2}\right)^2>q$(p2 )2>q . Eller med andra ord, då diskriminanten är positiv.

Andragradsfunktionens symmetrilinje

Andragradsfunktionens graf kallas för en parabel och är alltid symmetrisk. Det innebär att man kan dra en linjen mitt genom grafen, som ger att varje punkt på grafen ger en exakt spegling som också tillhör grafen, alltså mitt emellan två punkter som har samma $y$y -värde, tex nollställena.

För att detta ska stämma måste symmetrilinjen dras som en lodrät linje genom vertex.

Symmetrilinjen går alltid genom vertex.

Symmetrilinje

Symmetrilinjens ekvation är $x=a$x=a , där $a$a motsvarar det $x$x -värde den lodräta linjen skär genom.

Symmetrilinjens ekvation

Symmetrilinjen återfinns mitt emellan två punkter som har samma $y$y-värde. För nollställena $x_1$x1 och  $x_2$x2 gäller att symmetrilinjens ekvation är

 $x_s=$xs= $\frac{x_1+x_2}{2}$x1+x22  

Vi kommer i kommande lektionen även ange en metod att snabbt bestämma symmetrilinjens ekvation utifrån lösningsformeln, men det tar vi då.

Exempel 3

Ange symmetrilinjens ekvation för den utritade andragradsfunktionen.

Andragradsfunktion

Lösning

Antingen läser vi av symmetrilinjens ekvation till $x=2$x=2 i koordinatsystemet, då den alltid går igenom vertex.

Alternativt kan den beräknas genom addera nollställena och dela med två. Parabelns nollställen är $x_1=1$x1=1 och $x_2=3$x2=3.  Det ger oss att symmetrilinjen kan beräknas med

 $x_s=$xs= $\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=$1+32 =42 =$2$2  

Algebraiskt bestämma nollställen

Vanligt då man inte har grafen utritad är att bestämma parabelns nollställen med hjälp av lösningsformeln. Då vi vet att funktioners nollställen ges för de $x$x -värden som uppfyller att funktionen är lika med noll, kan vi bestämma nollstället på följande vis.

Exempel 2

Ange funktionens nollställen då  $f\left(x\right)=x^2-6x-7$ƒ (x)=x26x7.

Lösning

VI sätter funktionen lika med noll för att bestämma nollställena. Sedan löser vi ekvationen  $f\left(x\right)=0$ƒ (x)=0 med hjälp av pq-formeln.

$x^2-6x-7=0$x26x7=0

$x_{1,2}=3\pm\sqrt{9+7}$x1,2=3±9+7 

$x_{1,2}=3\pm\sqrt{16}$x1,2=3±16 

$x_{1,2}=3\pm4$x1,2=3±4 

Här gäller alltså att funktionens nollställen är  $x_1=-1$x1=1 och $x_2=7$x2=7.

Exempel i videon

  • Grafen visar (se bild i video) en andragradsfunktion. Ange koordinaterna för nollställena och symmetrilinjens ekvation.
  • En andragradsfunktion har nollställen i  $x=-5$x=5  och  $x=12$x=12 . Bestäm dess symmetrilinje.
  • Grafen till andragradsfunktionen  $f\left(x\right)=-x^2+4x$ƒ (x)=x2+4x  är utritad (se bild i video) i koordinatsystemet. Bestäm dess nollställen och symmetrilinje.

Kommentarer

Kenny

För fråga 2: Borde det inte stå ungefär ”Ange lösningen till symmetrilinjens ekvation…” Istället?
Annars tror man det är själva ekvationen som ska skrivas ut inte svaret.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack, vi förtydligar detta!

Maja Lavett

hur kommer det sig att det i uppg 8. inte blir minus 1/4 i pQ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Hittar inte -1/4 där? är det rätt uppgift du tänker på?

Komvux Sundsvall Elev

Fråga 5 är fel.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du sade till oss om detta, vi korrigerar det direkt.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Hur många nollställen har andragradsfunktionen  $f\left(x\right)$ƒ (x) nedan? 

    Andragradsfunktion

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    I figuren är funktionen $y=f(x)$y=ƒ (x) utritad. Lös ekvationen $f(x)=0$ƒ (x)=0 med hjälp av figuren.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange andragradsfunktionens nollställen.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange symmetrilinjens ekvation till den utritade andragradsfunktionen.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ange nollställena till funktionen $f(x)=x^2-8x-20$ƒ (x)=x28x20 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är symmetrilinjens ekvation för den utritade grafen?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken graf har nollställena $\begin{cases} x_1=-1 \\ x_2=7  \end{cases}$ 

    A.  B. 

    C. D. 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R1
    K

    Vilket funktionsuttryck stämmer bäst till grafen?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Ange symmetrilinjens ekvation till $f\left(x\right)=-6x^2+48x-42$ƒ (x)=6x2+48x42

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R1
    K

    Bestäm konstanten $a$a så att  $f\left(x\right)=-4x^2-2x+a$ƒ (x)=4x22x+a har en symmetrilinje i  $x=$x= $-\frac{1}{4}$14  

    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se