Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik Nivå 2
/ Breddning Ma2
Andragradsekvationer med komplexa rötter
Innehåll
I den här lektionen lär du dig hur man löser andragradsekvationer med komplexa rötter. Vi tittar på innebörden av imaginära tal och komplexa tal och tar ett antal exempel på ekvationer med komplexa rötter.
Imaginära tal och komplexa tal
För att förstå behovet av imaginära tal eller kombinationen av reella och imaginära tal som kallas för komplexa tal kan man utgå ifrån ekvationen $ x^2 = -1 $. Tidigare har vi lärt oss att denna ekvation saknar reella rötter, eftersom att man inte kan dra roten ur ett negativt tal. Detta beror på att det inte finns några tal på den reella talaxeln, som gånger sig själva blir ett negativt tal.
För att lösa detta inför vi en ny typ av tal, de imaginära talen. Deras särskilda egenskap är att de gånger sig själva blir ett negativt tal. Med hjälp av dessa tal kan vi nu lösa ekvationer som landar i en lösning med roten ur ett negativt tal.
Vi inför ett nytt, nämligen de tal som skrivs på formen $bi$bi, där talet $b$b är ett reellt tal som kallas för imaginär del och $i$i den imaginära enheten.
Den imaginära enheten $i$i definieras som ett tal med egenskapen $i^2=-1$i2=−1.
Ett imaginärt tal är alltså ett tal som gånger sig självt blir negativt.
Exempelvis gäller att $ i^2 = i \cdot i = -1 $ e och $ 2i \cdot 2i = 4i^2 = 4 \cdot (-1) = -4 $.
Med hjälp av detta nya tal kan vi härmed även lösa ekvationer på formen $x^2 = a$ där $a<0$a<0.
Komplexa tal
Genom att kombinera reella tal och imaginära tal kan vi skapa så kallade komplexa tal. Dessa tal skrivs på formen $ z = a + bi $.
Komplext tal
Tal på formen $ z = a + bi $ motsvarar ett komplext tal
där $a$ är realdelen, $b$ imaginärdelen och $i=\sqrt{-1}$i=√−1.
$ \mathbf{C}=$ {z = a + bi, där $a$ och $b$ är reella tal och $i$ den imaginära enheten}
Exempelvis är talet $6+3i$6+3i ett komplexa tal en kombination av det reella talet $6$6 och det imaginära talet $3i$3i där talet $3$3 är imaginärdelen och $i$i den imaginära enheten.
Observera att talet $i$i inte ingår i imaginärdelen. Utan bara talen framför.
Exempel på andragradsekvationer med komplexa rötter
Vi kan med denna kännedom om imaginära tal lösa fler andragradsekvationer än de som endast har reella rötter.
Exempel 1
Lös ekvationen $ 3x^2 = -27 $
Lösning
$ 3x^2 = -27 $ dividera båda leden med $3$3
$ x^2 = -9 $ dra roten ur båda leden
$ x = ±3i $
Exempel 2
Lös ekvationen $x^2+8x+32=0$x2+8x+32=0
Lösning
Vi använder PQ-formeln
$x^2+8x+32=0$x2+8x+32=0
$x=-4\pm\sqrt{16-32}$x=−4±√16−32
$x=-4\pm\sqrt{-16}$x=−4±√−16
$x=-4\pm4i$x=−4±4i
som vi kan skriva som två lösningar
$x_1=-4+4i$x1=−4+4i
$x_2=-4-4i$x2=−4−4i
Exempel i videon
- Förstå innebörden av $ i^2 = -1 $
- Förstå de komplexa talen $ z=2 + 3i $ och $z= -2-i$ i det komplexa talplanet.
- Lös ekvationen $ 2x^2 = -18 $
- Lös ekvationen $ x^2 + 4 = 0 $
- Lös ekvationen $ x^2 – 2x + 10 = 0 $
- Lös ekvationen $ 4x^2 + 24x = -232 $
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
c-uppgifter (8)
-
1. Premium
Lös ekvationen $14x^2=-56$14x2=−56
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
2. Premium
Ange den reella delen till det komplexa talet $0,5i-5$0,5i−5
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvationer Andragradsekvationer med komplexa rötter imaginära tal komplexa tal Matematik 2Rättar...3. Premium
Lös ekvationen $x^2+6x+18=0$x2+6x+18=0
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Lös ekvationen $16x^2+512=-128x$16x2+512=−128x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Ange den imaginära delen av uttrycket $\frac{1}{2}-i$12 −i
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvationer Andragradsekvationer med komplexa rötter imaginära tal komplexa tal Matematik 2Rättar...6. Premium
En rot (lösning) till ekvationen $x^2-4x+5=0$x2−4x+5=0 är $2+i$2+i .
Vilken är den andra roten?Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...7. Premium
Lös ekvationen $2x^2+18=8x$2x2+18=8x.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...8. Premium
Vad ska $a$a ha för värde för att ekvationen $x^2+2x+a=0$x2+2x+a=0 ska ha komplexa rötter?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvationer Andragradsekvationer med komplexa rötter imaginära tal komplexa tal Matematik 2Rättar...a-uppgifter (1)
-
9. Premium
Förenkla uttrycket genom att förlänga med nämnarens konjugat.
$\frac{10i}{\left(3+i\right)}$10i(3+i)
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: förenkling imaginära tal komplexa tal konjugatRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Marcus
Kanske missuppfattar det hela, men hur är exempel 1 rätt?
Borde det inte vara 3x^2?
jufaani1@hotmail.com
Hej.
tack för fint arbete. ville bara påpeka att du på uppgift 6 har dragit roten ur 1 istället för -1, du borde kika på det….
Jakub Medynski
Okej. I så fall skulle du kunna förklara då, hur uträkningen ska se ut?
Hamed Kashefi
Hej
Tack för ett sådant grymt hemsida med så mycket godis.
Jag förstår inte logiken i att i upphöjt i 2=-1
om jag lägger (i upphöjt 2 gånger 4 ) under roten så blir svaret -4
då i upphöjt i 2 = -1
detta är enligit plus minus regeln -1×4 = är -4 ellerhur?
dessutom vet vi att en jämn potens ger alltid ett positiv tal hur kan då i upphöjt 2= bli -1
Jag har väldigit svårt att fatta logiken i det hela.
Sofia Näsström
hej jag undrar vart man hittar grafer och koordinatsystem kan inte finna det någonstans?
Kalle Petersson
Hejsan, jag fattar inte riktigt att 2i×2i=4i=4×(-1), borde inte då 2(-1)×2(-1)=(-2)×(-2)=4?
yunr56bue5
Hej!
Jag kanske är helt ute och cyklar nu, men i texten under ”Imaginära tal och komplexa tal” står det:
”Därför gäller att i2=i⋅i=−1 eller att 2i⋅2i=2i2=4⋅(−1)=−4.”
Ska inte 2i⋅2i bli 4i2 (4 i upphöjt i 2)?
nti_ma2
På ”testa dig själv” fråga nr 4.
16×2+512=−128x
16×2+512=−8x⇔ Hur får vi -8x här??
16×2+128x+512=0⇔ Dividera med 16
x2+8x+32=0⇔ pq-formeln
x=−4±16−32‾‾‾‾‾‾‾√⇔
x=−4±−16‾‾‾‾√⇔
x=−4±4i
abfvuxgot
Jag försöker lösa uppgiften:
Vilket tal ska vara A för att x^2+1=A ska sakna lösning?
Hur gör man?
Ida
Vad händet om q är ett komplext tal i en andragradsekvation? Tex z^2+4z-8i
Mia_A
har fått hjärnsläpp !! =(
z upphöjt till 2-2z+2=0
Endast Premium-användare kan kommentera.