...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Skaffa Premium Prova för 9 kr
Hej! Matematikvideo byter namn till Eddler. Allt ska fungera som vanligt. Kontakta oss om du har några frågor.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Andragradsekvationer med komplexa rötter

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen lär du dig hur man löser andragradsekvationer med komplexa rötter. Vi tittar på innebörden av imaginära tal och komplexa tal och tar ett antal exempel på ekvationer med komplexa rötter.

Imaginära tal och komplexa tal

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
Förnya ditt betalkonto hos din skola här.
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
89 kr för 6 månader
Ingen bindningstid. Betala 1 gång.

För att förstå behovet av imaginära tal eller kombinationen av reella och imaginära tal som kallas för komplexa tal kan man utgå ifrån ekvationen $ x^2 = -1 $. Tidigare har vi lärt oss att denna ekvation inte går att lösa då man inte kan ta roten ur ett negativt tal. Det finns inga tal på den reella talaxeln som gånger sig själva blir ett negativt tal. Men om vi istället inför en ny typ av tal som gånger sig själva blir ett negativt tal så kan vi faktiskt lösa denna ekvation. Dessa tal kallas för imaginära tal.

Man börjar att definiera ett imaginärt tal som ett tal som gånger sig självt blir negativt. Därför gäller att $ i^2 = i \cdot i = -1 $ eller att $ 2i \cdot 2i = 4i^2 = 4 \cdot (-1) = -4 $. Därmed kan vi lösa ekvationer av typen $ x^2 = -1 $.

Grunddefinition av talet i är alltså att

$ i^2 = -1$

Om vi kombinerar reella tal med imaginära tal, t.ex. $6+3i$6+3i så får vi det som kallas för komplexa tal som alltså är en kombination av det reella talet $6$6 och det imaginära talet $3i$3i. Ett komplext tal består alltså av en reell del ( $6$6 i vårt exempel), en imaginär del ( $3$3 i vårt exempel) samt $i$i som är den imaginära enheten, och som har egenskapen $i^2=-1$i2=1. Det imaginära talet $3i$3i har alltså den imaginära delen $3$3 med enheten $i$i.

Exempel på andragradsekvationer med komplexa rötter

Vi kan med denna kännedom om imaginära tal lösa fler andragradsekvationer än de som endast har reella rötter.

Exempel 1

$ 3x^3 = -27 $
$ x^3 = -9 $
$ x = ±3i $

Exempel 2

 $x^2+8x+32=0$x2+8x+32=0 (Pq formeln)

 $x=-4\pm\sqrt{16-32}$x=4±1632 

 $x=-4\pm\sqrt{-16}$x=4±16 

 $x=-4\pm4i$x=4±4i 

 $x_1=-4+4i$x1=4+4i 
 $x_2=-4-4i$x2=44i 

Exempel i videon

  • Förstå innebörden av $ i^2 = -1 $
  • Förstå de komplexa talen $ z=2 + 3i $ och $z= -2-i$ i det komplexa talplanet.
  • Lös ekvationen $ 2x^2 = -18 $
  • Lös ekvationen $ x^2 + 4 = 0 $
  • Lös ekvationen $ x^2 – 2x + 10 = 0 $
  • Lös ekvationen $ 4x^2 + 24x = -232 $

Kommentarer

Marcus

Kanske missuppfattar det hela, men hur är exempel 1 rätt?
Borde det inte vara 3x^2?

jufaani1@hotmail.com

Hej.
tack för fint arbete. ville bara påpeka att du på uppgift 6 har dragit roten ur 1 istället för -1, du borde kika på det….

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du sade till om detta, det är korrigerat!

Simon Rybrand (Moderator)

Hej
Det blir förstås svårt att kolla samtliga fall (det finns oändligt många) men visst kan du sätta in $a=10$ och se att du får komplexa rötter. Önskvärt är förstås att du löser det algebraiskt.

    Jakub Medynski

    Okej. I så fall skulle du kunna förklara då, hur uträkningen ska se ut?

      Simon Rybrand (Moderator)

      $\displaystyle{\begin{alignat}{0}\text{Ekvation: } x^2+2x+10 = 0 \\ \underline{ \text{Lösning} }: \\ \\ x^2+2x+10 = 0 \Leftrightarrow \text{(pq-formel)} \\ x = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{ ( \frac{2}{2})^2 -10 } \\ x = -1 \pm \sqrt{ ( 1)^2 -10 } \\ x = -1 \pm \sqrt{ 1 -10 } \\ x = -1 \pm \sqrt{ -9 } \\ x = -1 \pm 3i \\ \end{alignat}}$

      Om du vill testa fler exempel så kan du kika på vår pq-formel kalkylator.
      Där kan du se hela lösningen på alla andragradsekvationer

Hamed Kashefi

Hej
Tack för ett sådant grymt hemsida med så mycket godis.
Jag förstår inte logiken i att i upphöjt i 2=-1
om jag lägger (i upphöjt 2 gånger 4 ) under roten så blir svaret -4
då i upphöjt i 2 = -1
detta är enligit plus minus regeln -1×4 = är -4 ellerhur?
dessutom vet vi att en jämn potens ger alltid ett positiv tal hur kan då i upphöjt 2= bli -1
Jag har väldigit svårt att fatta logiken i det hela.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    För att förstå idén att $i^2=(-1)$ så måste man först acceptera att man från början har definierat att imaginära tal skall fungera så att $i^2=(-1)$. Dvs det finns ingen härledning bakom idén att det är så utan det har man bestämt för att kunna lösa ekvationer där man skall ta roten ur ett negativt tal. Imaginära tal är helt enkelt ett helt annat typ av tal än reella tal!

Sofia Näsström

hej jag undrar vart man hittar grafer och koordinatsystem kan inte finna det någonstans?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Kolla på den här videon om Koordinataxlar och punkter

Kalle Petersson

Hejsan, jag fattar inte riktigt att 2i×2i=4i=4×(-1), borde inte då 2(-1)×2(-1)=(-2)×(-2)=4?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Enligt definition gäller att $i^2=-1$ så därför blir
    $ 2i⋅2i=4i^2=4⋅(-1)=-4 $

yunr56bue5

Hej!

Jag kanske är helt ute och cyklar nu, men i texten under ”Imaginära tal och komplexa tal” står det:

”Därför gäller att i2=i⋅i=−1 eller att 2i⋅2i=2i2=4⋅(−1)=−4.”

Ska inte 2i⋅2i bli 4i2 (4 i upphöjt i 2)?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, tack för att du uppmärksammade felet i texten, det är åtgärdat

nti_ma2

På ”testa dig själv” fråga nr 4.
16×2+512=−128x

16×2+512=−8x⇔ Hur får vi -8x här??
16×2+128x+512=0⇔ Dividera med 16
x2+8x+32=0⇔ pq-formeln
x=−4±16−32‾‾‾‾‾‾‾√⇔
x=−4±−16‾‾‾‾√⇔
x=−4±4i

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det är felskrivet på den raden, det skall förstås vara -128x och inte -8x. Det är korrigerat i uppgiften.

abfvuxgot

Jag försöker lösa uppgiften:
Vilket tal ska vara A för att x^2+1=A ska sakna lösning?

Hur gör man?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Här gäller att om A < 1 så kommer ekvationen inte ha någon lösning. Testa exempelvis med att rita ut $y=x^2+1$ så ser du att y inte antar några värden mindre än 1.

Ida

Vad händet om q är ett komplext tal i en andragradsekvation? Tex z^2+4z-8i

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det går att lösa även denna med t.ex. pq formeln:
    $ z^2+4z-8i = 0 $
    $ z = -2 \pm \sqrt{4+8i} $
    Är det något annat du funderar kring just denna eller förstår jag din fråga rätt?

Mia_A

har fått hjärnsläpp !! =(

z upphöjt till 2-2z+2=0

    Simon Rybrand (Moderator)

    $ z^2 – 2z + 2 = 0 $ (pq formeln)
    $ z = 1 \pm \sqrt{1 – 2} $
    $ z = 1 \pm \sqrt{-1} $
    $ z = 1 \pm i $


Endast Premium-användare kan kommentera.

c-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $14x^2=-56$14x2=56 

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange den reella delen till det komplexa talet $0,5i-5$0,5i5 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $x^2+6x+18=0$x2+6x+18=0 

    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    Förnya ditt betalkonto hos din skola här.
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    89 kr för 6 månader
    Ingen bindningstid. Betala 1 gång.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $16x^2+512=-128x$16x2+512=128x 

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange den imaginära delen av uttrycket $\frac{1}{2}-i$12 i 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K

    En rot (lösning) till ekvationen $x^2-4x+5=0$x24x+5=0 är  $2+i$2+i .
    Vilken är den andra roten?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $2x^2+18=8x$2x2+18=8x.

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M
    R 1
    K

    Vad ska $a$a ha för värde för att ekvationen $x^2+2x+a=0$x2+2x+a=0 ska ha komplexa rötter?

    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
Förnya ditt betalkonto hos din skola här.
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
89 kr för 6 månader
Ingen bindningstid. Betala 1 gång.