...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 2
 /   Andragradsekvationer

Andragradsekvationer med komplexa rötter

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

I den här lektionen lär du dig hur man löser andragradsekvationer med komplexa rötter. Vi tittar på innebörden av imaginära tal och komplexa tal och tar ett antal exempel på ekvationer med komplexa rötter.

Komplexa tal

Imaginära tal och komplexa tal

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

För att förstå behovet av imaginära tal eller kombinationen av reella och imaginära tal som kallas för komplexa tal kan man utgå ifrån ekvationen $ x^2 = -1 $. Tidigare har vi lärt oss att denna ekvation saknar reella rötter, eftersom att man inte kan dra roten ur ett negativt tal. Detta beror på att det inte finns några tal på den reella talaxeln, som gånger sig själva blir ett negativt tal.

För att lösa detta inför vi en ny typ av tal, de imaginära talen. Deras särskilda egenskap är att de gånger sig själva blir ett negativt tal. Med hjälp av dessa tal kan vi nu lösa ekvationer som landar i en lösning med roten ur ett negativt tal. 

Vi inför ett nytt, nämligen de tal som skrivs på formen $bi$bi, där talet $b$b är ett reellt tal som kallas för imaginär del och $i$i den imaginära enheten.    

Den imaginära enheten $i$i definieras som ett tal med egenskapen  $i^2=-1$i2=1.

Ett imaginärt tal är alltså ett tal som gånger sig självt blir negativt.

Exempelvis gäller att $ i^2 = i \cdot i = -1 $ e och $ 2i \cdot 2i = 4i^2 = 4 \cdot (-1) = -4 $.

Med hjälp av detta nya tal kan vi härmed även lösa ekvationer på formen $x^2 = a$ där $a<0$a<0.

Komplexa tal

Genom att kombinera reella tal och imaginära tal kan vi skapa så kallade komplexa tal. Dessa tal skrivs på formen $ z = a + bi $.

Komplext tal

Tal på formen $ z = a + bi $ motsvarar ett komplext tal

där $a$ är realdelen, $b$ imaginärdelen och $i=\sqrt{-1}$i=1.

$ \mathbf{C}=$ {z = a + bi, där $a$ och $b$ är reella tal och $i$ den imaginära enheten}

Exempelvis är talet $6+3i$6+3i  ett komplexa tal en kombination av det reella talet $6$6 och det imaginära talet $3i$3i  där talet $3$3 är imaginärdelen och  $i$i den imaginära enheten.

Observera att talet $i$i inte ingår i imaginärdelen. Utan bara talen framför.

Exempel på andragradsekvationer med komplexa rötter

Vi kan med denna kännedom om imaginära tal lösa fler andragradsekvationer än de som endast har reella rötter.

Exempel 1

Lös ekvationen  $ 3x^2 = -27 $

Lösning

$ 3x^2 = -27 $      dividera båda leden med  $3$3 

$ x^2 = -9 $           dra roten ur båda leden

$ x = ±3i $

Exempel 2

Lös ekvationen  $x^2+8x+32=0$x2+8x+32=0 

Lösning

Vi använder PQ-formeln

 $x^2+8x+32=0$x2+8x+32=0 

 $x=-4\pm\sqrt{16-32}$x=4±1632 

 $x=-4\pm\sqrt{-16}$x=4±16 

 $x=-4\pm4i$x=4±4i 

som vi kan skriva som två lösningar

 $x_1=-4+4i$x1=4+4i 
 $x_2=-4-4i$x2=44i 

Exempel i videon

  • Förstå innebörden av $ i^2 = -1 $
  • Förstå de komplexa talen $ z=2 + 3i $ och $z= -2-i$ i det komplexa talplanet.
  • Lös ekvationen $ 2x^2 = -18 $
  • Lös ekvationen $ x^2 + 4 = 0 $
  • Lös ekvationen $ x^2 – 2x + 10 = 0 $
  • Lös ekvationen $ 4x^2 + 24x = -232 $

Kommentarer

Marcus

Kanske missuppfattar det hela, men hur är exempel 1 rätt?
Borde det inte vara 3x^2?

jufaani1@hotmail.com

Hej.
tack för fint arbete. ville bara påpeka att du på uppgift 6 har dragit roten ur 1 istället för -1, du borde kika på det….

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du sade till om detta, det är korrigerat!

Simon Rybrand (Moderator)

Hej
Det blir förstås svårt att kolla samtliga fall (det finns oändligt många) men visst kan du sätta in $a=10$ och se att du får komplexa rötter. Önskvärt är förstås att du löser det algebraiskt.

    Jakub Medynski

    Okej. I så fall skulle du kunna förklara då, hur uträkningen ska se ut?

      Simon Rybrand (Moderator)

      $\displaystyle{\begin{alignat}{0}\text{Ekvation: } x^2+2x+10 = 0 \\ \underline{ \text{Lösning} }: \\ \\ x^2+2x+10 = 0 \Leftrightarrow \text{(pq-formel)} \\ x = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{ ( \frac{2}{2})^2 -10 } \\ x = -1 \pm \sqrt{ ( 1)^2 -10 } \\ x = -1 \pm \sqrt{ 1 -10 } \\ x = -1 \pm \sqrt{ -9 } \\ x = -1 \pm 3i \\ \end{alignat}}$

      Om du vill testa fler exempel så kan du kika på vår pq-formel kalkylator.
      Där kan du se hela lösningen på alla andragradsekvationer

Hamed Kashefi

Hej
Tack för ett sådant grymt hemsida med så mycket godis.
Jag förstår inte logiken i att i upphöjt i 2=-1
om jag lägger (i upphöjt 2 gånger 4 ) under roten så blir svaret -4
då i upphöjt i 2 = -1
detta är enligit plus minus regeln -1×4 = är -4 ellerhur?
dessutom vet vi att en jämn potens ger alltid ett positiv tal hur kan då i upphöjt 2= bli -1
Jag har väldigit svårt att fatta logiken i det hela.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    För att förstå idén att $i^2=(-1)$ så måste man först acceptera att man från början har definierat att imaginära tal skall fungera så att $i^2=(-1)$. Dvs det finns ingen härledning bakom idén att det är så utan det har man bestämt för att kunna lösa ekvationer där man skall ta roten ur ett negativt tal. Imaginära tal är helt enkelt ett helt annat typ av tal än reella tal!

Sofia Näsström

hej jag undrar vart man hittar grafer och koordinatsystem kan inte finna det någonstans?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Kolla på den här videon om Koordinataxlar och punkter

Kalle Petersson

Hejsan, jag fattar inte riktigt att 2i×2i=4i=4×(-1), borde inte då 2(-1)×2(-1)=(-2)×(-2)=4?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Enligt definition gäller att $i^2=-1$ så därför blir
    $ 2i⋅2i=4i^2=4⋅(-1)=-4 $

yunr56bue5

Hej!

Jag kanske är helt ute och cyklar nu, men i texten under ”Imaginära tal och komplexa tal” står det:

”Därför gäller att i2=i⋅i=−1 eller att 2i⋅2i=2i2=4⋅(−1)=−4.”

Ska inte 2i⋅2i bli 4i2 (4 i upphöjt i 2)?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, tack för att du uppmärksammade felet i texten, det är åtgärdat

nti_ma2

På ”testa dig själv” fråga nr 4.
16×2+512=−128x

16×2+512=−8x⇔ Hur får vi -8x här??
16×2+128x+512=0⇔ Dividera med 16
x2+8x+32=0⇔ pq-formeln
x=−4±16−32‾‾‾‾‾‾‾√⇔
x=−4±−16‾‾‾‾√⇔
x=−4±4i

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det är felskrivet på den raden, det skall förstås vara -128x och inte -8x. Det är korrigerat i uppgiften.

abfvuxgot

Jag försöker lösa uppgiften:
Vilket tal ska vara A för att x^2+1=A ska sakna lösning?

Hur gör man?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Här gäller att om A < 1 så kommer ekvationen inte ha någon lösning. Testa exempelvis med att rita ut $y=x^2+1$ så ser du att y inte antar några värden mindre än 1.

Ida

Vad händet om q är ett komplext tal i en andragradsekvation? Tex z^2+4z-8i

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det går att lösa även denna med t.ex. pq formeln:
    $ z^2+4z-8i = 0 $
    $ z = -2 \pm \sqrt{4+8i} $
    Är det något annat du funderar kring just denna eller förstår jag din fråga rätt?

Mia_A

har fått hjärnsläpp !! =(

z upphöjt till 2-2z+2=0

    Simon Rybrand (Moderator)

    $ z^2 – 2z + 2 = 0 $ (pq formeln)
    $ z = 1 \pm \sqrt{1 – 2} $
    $ z = 1 \pm \sqrt{-1} $
    $ z = 1 \pm i $


Endast Premium-användare kan kommentera.

c-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $14x^2=-56$14x2=56 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange den reella delen till det komplexa talet $0,5i-5$0,5i5 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $x^2+6x+18=0$x2+6x+18=0 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $16x^2+512=-128x$16x2+512=128x 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange den imaginära delen av uttrycket $\frac{1}{2}-i$12 i 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    En rot (lösning) till ekvationen $x^2-4x+5=0$x24x+5=0 är  $2+i$2+i .
    Vilken är den andra roten?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $2x^2+18=8x$2x2+18=8x.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Vad ska $a$a ha för värde för att ekvationen $x^2+2x+a=0$x2+2x+a=0 ska ha komplexa rötter?

    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/1)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla uttrycket genom att förlänga med nämnarens konjugat.

     $\frac{10i}{\left(3+i\right)}$10i(3+i)  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se