Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 2
/ Breddning Ma2
Andragradsekvationer med komplexa rötter
Innehåll
I den här lektionen lär du dig hur man löser andragradsekvationer med komplexa rötter. Vi tittar på innebörden av imaginära tal och komplexa tal och tar ett antal exempel på ekvationer med komplexa rötter.
Imaginära tal och komplexa tal
För att förstå behovet av imaginära tal eller kombinationen av reella och imaginära tal som kallas för komplexa tal kan man utgå ifrån ekvationen $ x^2 = -1 $. Tidigare har vi lärt oss att denna ekvation saknar reella rötter, eftersom att man inte kan dra roten ur ett negativt tal. Detta beror på att det inte finns några tal på den reella talaxeln, som gånger sig själva blir ett negativt tal.
För att lösa detta inför vi en ny typ av tal, de imaginära talen. Deras särskilda egenskap är att de gånger sig själva blir ett negativt tal. Med hjälp av dessa tal kan vi nu lösa ekvationer som landar i en lösning med roten ur ett negativt tal.
Vi inför ett nytt, nämligen de tal som skrivs på formen $bi$bi, där talet $b$b är ett reellt tal som kallas för imaginär del och $i$i den imaginära enheten.
Den imaginära enheten $i$i definieras som ett tal med egenskapen $i^2=-1$i2=−1.
Ett imaginärt tal är alltså ett tal som gånger sig självt blir negativt.
Exempelvis gäller att $ i^2 = i \cdot i = -1 $ e och $ 2i \cdot 2i = 4i^2 = 4 \cdot (-1) = -4 $.
Med hjälp av detta nya tal kan vi härmed även lösa ekvationer på formen $x^2 = a$ där $a<0$a<0.
Komplexa tal
Genom att kombinera reella tal och imaginära tal kan vi skapa så kallade komplexa tal. Dessa tal skrivs på formen $ z = a + bi $.
Komplext tal
Tal på formen $ z = a + bi $ motsvarar ett komplext tal
där $a$ är realdelen, $b$ imaginärdelen och $i=\sqrt{-1}$i=√−1.
$ \mathbf{C}=$ {z = a + bi, där $a$ och $b$ är reella tal och $i$ den imaginära enheten}
Exempelvis är talet $6+3i$6+3i ett komplexa tal en kombination av det reella talet $6$6 och det imaginära talet $3i$3i där talet $3$3 är imaginärdelen och $i$i den imaginära enheten.
Observera att talet $i$i inte ingår i imaginärdelen. Utan bara talen framför.
Exempel på andragradsekvationer med komplexa rötter
Vi kan med denna kännedom om imaginära tal lösa fler andragradsekvationer än de som endast har reella rötter.
Exempel 1
Lös ekvationen $ 3x^2 = -27 $
Lösning
$ 3x^2 = -27 $ dividera båda leden med $3$3
$ x^2 = -9 $ dra roten ur båda leden
$ x = ±3i $
Exempel 2
Lös ekvationen $x^2+8x+32=0$x2+8x+32=0
Lösning
Vi använder PQ-formeln
$x^2+8x+32=0$x2+8x+32=0
$x=-4\pm\sqrt{16-32}$x=−4±√16−32
$x=-4\pm\sqrt{-16}$x=−4±√−16
$x=-4\pm4i$x=−4±4i
som vi kan skriva som två lösningar
$x_1=-4+4i$x1=−4+4i
$x_2=-4-4i$x2=−4−4i
Exempel i videon
- Förstå innebörden av $ i^2 = -1 $
- Förstå de komplexa talen $ z=2 + 3i $ och $z= -2-i$ i det komplexa talplanet.
- Lös ekvationen $ 2x^2 = -18 $
- Lös ekvationen $ x^2 + 4 = 0 $
- Lös ekvationen $ x^2 – 2x + 10 = 0 $
- Lös ekvationen $ 4x^2 + 24x = -232 $
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
c-uppgifter (8)
-
1. Premium
Lös ekvationen $14x^2=-56$14x2=−56
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
2. Premium
Ange den reella delen till det komplexa talet $0,5i-5$0,5i−5
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvationer Andragradsekvationer med komplexa rötter imaginära tal komplexa tal Matematik 2Rättar...3. Premium
Lös ekvationen $x^2+6x+18=0$x2+6x+18=0
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Lös ekvationen $16x^2+512=-128x$16x2+512=−128x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Ange den imaginära delen av uttrycket $\frac{1}{2}-i$12 −i
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvationer Andragradsekvationer med komplexa rötter imaginära tal komplexa tal Matematik 2Rättar...6. Premium
En rot (lösning) till ekvationen $x^2-4x+5=0$x2−4x+5=0 är $2+i$2+i .
Vilken är den andra roten?Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...7. Premium
Lös ekvationen $2x^2+18=8x$2x2+18=8x.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...8. Premium
Vad ska $a$a ha för värde för att ekvationen $x^2+2x+a=0$x2+2x+a=0 ska ha komplexa rötter?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvationer Andragradsekvationer med komplexa rötter imaginära tal komplexa tal Matematik 2Rättar...a-uppgifter (1)
-
9. Premium
Förenkla uttrycket genom att förlänga med nämnarens konjugat.
$\frac{10i}{\left(3+i\right)}$10i(3+i)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: förenkling imaginära tal komplexa tal konjugatRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Marcus
Kanske missuppfattar det hela, men hur är exempel 1 rätt?
Borde det inte vara 3x^2?
jufaani1@hotmail.com
Hej.
tack för fint arbete. ville bara påpeka att du på uppgift 6 har dragit roten ur 1 istället för -1, du borde kika på det….
Simon Rybrand (Moderator)
Tack för att du sade till om detta, det är korrigerat!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det blir förstås svårt att kolla samtliga fall (det finns oändligt många) men visst kan du sätta in $a=10$ och se att du får komplexa rötter. Önskvärt är förstås att du löser det algebraiskt.
Jakub Medynski
Okej. I så fall skulle du kunna förklara då, hur uträkningen ska se ut?
Simon Rybrand (Moderator)
$\displaystyle{\begin{alignat}{0}\text{Ekvation: } x^2+2x+10 = 0 \\ \underline{ \text{Lösning} }: \\ \\ x^2+2x+10 = 0 \Leftrightarrow \text{(pq-formel)} \\ x = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{ ( \frac{2}{2})^2 -10 } \\ x = -1 \pm \sqrt{ ( 1)^2 -10 } \\ x = -1 \pm \sqrt{ 1 -10 } \\ x = -1 \pm \sqrt{ -9 } \\ x = -1 \pm 3i \\ \end{alignat}}$
Om du vill testa fler exempel så kan du kika på vår pq-formel kalkylator.
Där kan du se hela lösningen på alla andragradsekvationer
Hamed Kashefi
Hej
Tack för ett sådant grymt hemsida med så mycket godis.
Jag förstår inte logiken i att i upphöjt i 2=-1
om jag lägger (i upphöjt 2 gånger 4 ) under roten så blir svaret -4
då i upphöjt i 2 = -1
detta är enligit plus minus regeln -1×4 = är -4 ellerhur?
dessutom vet vi att en jämn potens ger alltid ett positiv tal hur kan då i upphöjt 2= bli -1
Jag har väldigit svårt att fatta logiken i det hela.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
För att förstå idén att $i^2=(-1)$ så måste man först acceptera att man från början har definierat att imaginära tal skall fungera så att $i^2=(-1)$. Dvs det finns ingen härledning bakom idén att det är så utan det har man bestämt för att kunna lösa ekvationer där man skall ta roten ur ett negativt tal. Imaginära tal är helt enkelt ett helt annat typ av tal än reella tal!
Sofia Näsström
hej jag undrar vart man hittar grafer och koordinatsystem kan inte finna det någonstans?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Kolla på den här videon om Koordinataxlar och punkter
Kalle Petersson
Hejsan, jag fattar inte riktigt att 2i×2i=4i=4×(-1), borde inte då 2(-1)×2(-1)=(-2)×(-2)=4?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Enligt definition gäller att $i^2=-1$ så därför blir
$ 2i⋅2i=4i^2=4⋅(-1)=-4 $
yunr56bue5
Hej!
Jag kanske är helt ute och cyklar nu, men i texten under ”Imaginära tal och komplexa tal” står det:
”Därför gäller att i2=i⋅i=−1 eller att 2i⋅2i=2i2=4⋅(−1)=−4.”
Ska inte 2i⋅2i bli 4i2 (4 i upphöjt i 2)?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, tack för att du uppmärksammade felet i texten, det är åtgärdat
nti_ma2
På ”testa dig själv” fråga nr 4.
16×2+512=−128x
16×2+512=−8x⇔ Hur får vi -8x här??
16×2+128x+512=0⇔ Dividera med 16
x2+8x+32=0⇔ pq-formeln
x=−4±16−32‾‾‾‾‾‾‾√⇔
x=−4±−16‾‾‾‾√⇔
x=−4±4i
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det är felskrivet på den raden, det skall förstås vara -128x och inte -8x. Det är korrigerat i uppgiften.
abfvuxgot
Jag försöker lösa uppgiften:
Vilket tal ska vara A för att x^2+1=A ska sakna lösning?
Hur gör man?
Simon Rybrand (Moderator)
Här gäller att om A < 1 så kommer ekvationen inte ha någon lösning. Testa exempelvis med att rita ut $y=x^2+1$ så ser du att y inte antar några värden mindre än 1.
Ida
Vad händet om q är ett komplext tal i en andragradsekvation? Tex z^2+4z-8i
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det går att lösa även denna med t.ex. pq formeln:
$ z^2+4z-8i = 0 $
$ z = -2 \pm \sqrt{4+8i} $
Är det något annat du funderar kring just denna eller förstår jag din fråga rätt?
Mia_A
har fått hjärnsläpp !! =(
z upphöjt till 2-2z+2=0
Simon Rybrand (Moderator)
$ z^2 – 2z + 2 = 0 $ (pq formeln)
$ z = 1 \pm \sqrt{1 – 2} $
$ z = 1 \pm \sqrt{-1} $
$ z = 1 \pm i $
Endast Premium-användare kan kommentera.