...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 2
 /   Andragradsekvationer

PQ - formeln

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

PQ-formeln, eller lösningsformeln, är namnet på en metod för att lösa andragradsekvationer. Metoden kan lösa alla andragradsekvationer och är den enda som direkt kan lösa andragradsekvationer som består av en andragradsterm, en förstagradsterm och en konstantterm. 

pq-formeln

En sätt att sammanfatta alla andragradsekvation är att skriva dem på så kallad allmän form. Så här.

Allmän form

$ax^2+bx+c=0$

där $a,$ $b$ och $c$ är konstanter och $a≠0$

Och vid de tillfällen då $a,$ $b$ och $c$ alla är skilda från noll, vilket leder till att alla tre sortens termer finns i ekvationen, använder vi alltså lösningsformeln/PQ-formeln.

Lösningsformeln

Andragradsekvationen  $x^2+px+q=0$x2+px+q=0  har lösningarna

 $x_{1,2}=$x1,2= $-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$p2 ±(p2 )2q 

Vid en först anblick är det förståeligt att lösningsformeln upplevs något krånglig. Men med lite tålamod och övning i att ta det steg för steg brukar det med tiden inte vara några större problem att använda den. Men visst krävs en del övning!

Vi tar ett första exempel där vi löser en andragradsekvation med lösningsformeln.

Exempel 1

Lös ekvationen $x^2+6x-7=0$x2+6x7=0

Lösning

Vi börjar med att plocka fram värdena för $p$p och $q$q. Genom att jämföra formeln  $x^2+px+q=0$x2+px+q=0  med ekvationen ser vi att  $p=6$p=6 och $q=-7$q=7.

Så vi sätter in våra värden i lösningsformeln och får att

 $x_{_{1,2}}=$x1,2= $-\frac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2-\left(-7\right)}$62 ±(62 )2(7)   

vilket vi förenklar till

 $x_{_{1,2}}=-3\pm\sqrt{(-3)^2+7}$x1,2=3±(3)2+7 

Vi förenklar uttrycket under rottecknet och får att  $\left(-3\right)^2=9$(3)2=9  och  $-\left(-7\right)=+7$(7)=+7 

 $x_{_{1,2}}=-3\pm\sqrt{9+7}$x1,2=3±9+7 

 $x_{_{1,2}}=-3\pm\sqrt{16}$x1,2=3±16 

 $x_{_{1,2}}=-3\pm4$x1,2=3±4 

Detta betyder att en lösning ges av  $x=-3+4$x=3+4 och den andra av  $x=-3-4$x=34.

Detta kan vi skriva som 

$ \begin{cases} x_1 = -3+4 \\ x_2 = -3-4 \end{cases} $

och beräknar sedan det och får svaret

$ \begin{cases} x_1 = 1 \\ x_2 = -7 \end{cases} $

Vi får alltså att $x^2+6x-7=0$x2+6x7=0 om  $x=1$x=1   eller  $x=-7$x=7 

Nödvändigt förarbete

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

För att kunna använda pq-formeln så måste andragradsekvationen skrivas om på formeln  $x^2+px+q=0$x2+px+q=0.

Alltså måste $a=1$a=1 och det ena ledet måste vara lika med noll. Först då kan vi tillämpa denna formel.

Två nödvändiga check

Koefficienten framför andragradstermen måste vara lika med ett.

Ena ledet måste vara lika med noll.

Om dessa två krav inte är uppfyllda, måste alltså ekvationen först skrivas om så att de uppfylls. Därefter kan vi använda lösningsformeln.

Vi tar nu ett exempel, där vi först måste skriva om ekvationen.

Exempel 2

Lös ekvationen  $2x^2-16x=18$2x216x=18 

Lösning

Vi genomför våra två check, ”Koefficienten framför andragradstermen måste vara lika med ett”.  Redan här går vi bet.

Vi dividerar därför båda leden med två för att uppfylla detta krav.

 $2x^2-16x=18$2x216x=18       dividera båda leden med två

 $x^2-8x=9$x28x=9 

Så ja. Nu var det i alla fall klar. Nästa koll är att ”Ena ledet måste vara lika med noll.” Inte heller här får vi ok. Men vi kan fixa till det. Vi subtraherar därför båda leden med nio.

 $x^2-8x=9$x28x=9  subtrahera båda leden med nio

$x^2-8x-9=0$x28x9=0

Ni är vi redo för att läsa av värdet på  $p$p och  $q$q och sätta in i formeln.

Vi får att  $p=-8$p=8  och  $q=-9$q=9. Det ger att

 $x_{_{1,2}}=$x1,2=  $-\frac{\left(-8\right)}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-8\right)}{2}\right)^2-\left(-9\right)}$(8)2 ±((8)2 )2(9) 

 $x_{_{1,2}}=$x1,2=  $\frac{8}{2}\pm$82 ±$\sqrt{\left(-4\right)^2+9}$(4)2+9   

 $x_{_{1,2}}=4\pm\sqrt{16+9}$x1,2=4±16+9 

 $x_{_{1,2}}=4\pm\sqrt{25}$x1,2=4±25 

 $x_{_{1,2}}=4\pm5$x1,2=4±5 

vilket leder till de två rötterna

$ \begin{cases} x_1 = 9 \\ x_2 = -1 \end{cases} $

Fixa ditt eget facit

För alla andragradsekvationer gäller att du kan kontrollera att dina lösningar är korrekta med hjälp av följande två samband.

 $p=-\left(x_1+x_2\right)$p=(x1+x2) 

 $q=x_1\cdot x_2$q=x1·x2 

där $x_1$x1 och $x_2$x2 motsvarar rötterna till andragradsekvationen och  $p$p och  $q$q  syftar på ekvationen omskriven på formen  $x^2+px+q=0$x2+px+q=0.

Detta gäller eftersom att då

$ \begin{cases} x_1 = – \frac{p}{2} +\sqrt{ (\frac{p}{2})^2 -q} \\ x_2= – \frac{p}{2} -\sqrt{ (\frac{p}{2})^2 -q} \end{cases} $

får vi att

 $-\left(x_1+x_2\right)=$(x1+x2)= $-\left(\left(-\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)+\left(-\frac{p}{2}-\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)\right)=$((p2 +(p2 )2q)+(p2 (p2 )2q))=   $\frac{p}{2}-\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}+\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}=\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=$p2 (p2 )2q+p2 +(p2 )2q=p2 +p2 =  $p$p 

och vidare att

 $x_1\cdot x_2=$x1·x2= $\left(-\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)\cdot\left(-\frac{p}{2}-\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)=$(p2 +(p2 )2q)·(p2 (p2 )2q)=   $\left(-\frac{p}{2}\right)^2-\left(\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\right)=$(p2 )2((p2 )2q)2=(p2 )2((p2 )2q)= $q$q  

PQ-formel kalkylator – Se alla steg i din ekvation

Men hjälp av denna kalkylator kan du se lösningen till alla andragradsekvationer. Du fyller i koefficienterna i andragradsekvationen och kan sedan se lösningen steg för steg.

PQ-formeln och kvadratkomplettering

Den metod som ligger till grund för lösningsformeln kallas för kvadratkomplettering. Kortfattat går kvadratkomplettering ut på att lösa andragradsekvationen genom att först komplettera med en särskild kvadrat på bägge sidor om likhetstecknet. Tillägget av denna kvadrat möjliggör att man kan faktorisera uttrycket med kvadreringsregeln, som i sin tur ger möjlighet att lösa ekvationen.

Nedan visar vi hur det går till att härleda PQ-formeln med hjälp av denna metod.

Genom att subtrahera $q$ i båda leden får vi att $ x^2 + px +q = 0 $ blir

$ x^2 + px = -q $

Nu lägger vi till kvadraten $ (\frac{p}{2})^2 $ i båda leden.

$ x^2 + px + (\frac{p}{2})^2 = (\frac{p}{2})^2 -q $

Faktorisera vänsterledet med hjälp av kvadreringsregeln

$ (x + \frac{p}{2})^2 = (\frac{p}{2})^2 -q $

Dra roten ur på bägge sidor

$ x + \frac{p}{2} = ±\sqrt{ (\frac{p}{2})^2 -q}$

Subtrahera både leden med $\frac{p}{2}$

$ \begin{cases} x_1 = – \frac{p}{2} +\sqrt{ (\frac{p}{2})^2 -q} \\ x_2= – \frac{p}{2} -\sqrt{ (\frac{p}{2})^2 -q} \end{cases} $

vilket ger det två lösningarna på ekvationen.

Vad är en andragradsekvation och andra lösningsmetoder?

Det kan vara bra att du känner till att en andragradsekvation är en ekvation som innehåller variabeltermen $ x^2 $ och att alla andragradsekvationer kan skrivas på formen

$ ax^2 + bx + c = 0 $ där a,b och c är konstanter och $a≠0$.

Det finns ett flertal olika lösningsmetoder för dessa typer av ekvationer varav pq – formeln är en av dessa. Andra metoder som ofta nämns är kvadratrotsmetoden (för enklare ekvationer), nollproduktmetoden, kvadratkomplettering och abc-formeln. När vi använder oss av pq-formeln och har en konstant $a$ i ekvationen så är det viktigt att känna till att vi först delar hela ekvationen med $a$ för att få den på rätt form. När du delar med $a$a får du $x^2$x2 termen ensam.

Andra metoder som används är roten ur och nollproduktmetoden.

Om man får negativt tal (minus) under rotenurtecknet

Ett speciellt fall av andragradsekvationer är om man får ett minustecken under rotenurtecknet. Då finns det nämligen inga reella lösningar till den ekvationen då man inte kan ta roten ur ett negativt tal. Istället är detta en andragradsekvation med komplexa rötter. Dessa typer av ekvationer behandlas inte i denna lektion utan det räcker att du i detta fall känner till att ekvationen inte har några reella lösningar.

Exempel i videon

  • Lös ekvationen $ x^2 – 4x – 5 = 0 $
  • Lös ekvationen $ 2x^2 + 16x – 18 = 0 $

Kommentarer

Marcus

Tänkte lite kring upgift 11, förstår större delen av förklaringen men hakar upp mig på ett mer fundamental problem, hur uppstår 1/2 som P? Säger inte att det är fel klart men det är uppenbart att det är något jag har missat. Då x är det enda som kvarstår efter PX dividerats med 10 så är jag förvirrad.

victoria turgeman

Hej! Jag har en fråga, kollat på din video tusen gånger nu men när jag gör i min bok så funkar det ej?

Jag har en uppgift som ser ut såhär:
v^2 + 3v – 4 = 0

Jag byter tecken och delar med och gör roten ur, ändå får jag som svar
v1=-3,75
v2=-1,75

Fast svaren skall vara
v1=1
v2=-4

Kan du hjälpa mig med vad jag gör för fel? Tack

    Anna Admin (Moderator)

    Vi löser ekvationen med PQ-fomeln. Gör två kontroller. Ena ledet lika med noll och en osynlig etta framför $x^2$.
    Då $v^2 + 3v – 4 = 0$ är $p=3$ och $q=-4$.

    Vi får att
    $v_{1,2}=-\frac32\pm\sqrt{(\frac32)^2-(-4)}$
    $v_{1,2}=-1,5\pm\sqrt{2,25+4}$
    $v_{1,2}=-1,5\pm\sqrt{6,25}$
    $v_{1,2}=-1,5\pm2,5$
    $\begin{cases} v_{1}=-1,5+2,5 \\ v_{2}=-1,5-2,5 \end{cases}$
    $\begin{cases} v_{1}=1 \\ v_{2}=-4 \end{cases}$

    Hoppas detta hjälpte!

Too T

Förstår inte sista uppgiften, var kommer 41 ifrån?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi har förtydligat den frågan. Kolla förklaringen igen så tror jag att det blir enklare att förstå.

      Too T

      Tack för snabbt svar! Så 40/10 är = 10? Går det att förtydliga varför man gör så? Förstår inte riktigt.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Nej inte riktigt så utan att $\frac{40}{4}=10$ så det jag gör där är att skriva om det under rotenur tecknet så att det har samma nämnare. Vi kan då sätta det på samma bråkstreck och förenkla.

Hugo Elfner

i uppgift 1. Varför blir P 3 ist för 6 och Q inte 3.5?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Där är $p=6$ men vi sätter ju ner halva p och byter tecken där. dvs $-3$

Anton Järman

I uppgift fem, varför tar man höjer man (5/2)^2 med två innan man delar det? Samt, varför delar man 16 med 4 efteråt?

I uppgift åtta, varför byter man inte tecken på -4/2 i början och -8 i slutet?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Ibland blir det enklare på slutet att slippa jobba med decimaler utan istället stanna kvar på bråkform. Testa gärna och jämför med när du går över till decimalform.
    Det är så att vi skriver om $4=\frac{16}{4}$ för att få samma nämnare i bråken under rotenur tecknet.

Arsema Kifle

hej, pa uppgift 4 har ni rakat skriva tvartom ang. p-vardet. 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Nej det det skall vara så men vi har förtydligat detta i uppgiften, kika i förklaringen där så tror jag att det klarnar.

Karl

Hej Jag förstår inte fråga 5.

−5/2 ± 3/2

Jag får det till -8 resp -2. Dessa talen är dubbelt så små som svaret ska bli, så det är något jag måste dividera med 2 antar jag, men vet inte hur?

    Karl

    Förstår nu, Löste det! 🙂

Molly

Hej i det andra exemplet i videon borde det inte vara x = + 8/2 +- √(-8/2)^2-7, då p = -8 och inte bara 8, svaret blir ändå rätt då +-4^2 = 16 men vill ni berätta hur ni har tänkt?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    I det första steget där så byter vi tecken på p och delar det med två. Dvs får
    $ -\frac{-8}{2}=4 $
    innan roten ur tecknet.
    I roten ur tecknet så behöver vi inte tänka på vilket tecken vi skall ha där då, precis som du skriver, det alltid blir positivt när vi upphöjer något med 2. Hoppas detta hjälper dig vidare!

B.E

Hej igen!

Jag kom på en till fråga till övning 7 i kapitlet PQ-formeln. Vilket värde ska q ha för att ekvationen x2+2x+q=0 endast skall ha en lösning? Du skriver ju att om ekvationen endast skall ha en lösning behöver rot-delen i PQ-formeln vara noll, dvs att sista biten: roten ur √(p/2)^2−q=0.
Men hur ska man veta att det är rot-delen man ska fokusera på här eftersom jag utgår från att jag ska räkna ut hela talet. Man luras ju lite då eftersom hela ekvationen är x=-1±√(2/2)^2 och då räknar man ju med -1 också. Svaret borde isf bli x=-1±1-1
x1=-1
x2=-3

Vänliga hälsningar Boel

    Simon Rybrand (Moderator)

    Om jag förstår dina funderingar rätt här så behöver du fokusera på att får ”roten ur delen” till 0 då vi har $\pm$ framför denna. Dvs om denna del inte är 0 så kommer du ju att ha två olika lösningar. Fråga gärna vidare om jag missförstår din fråga.

      B.E

      Hej igen! Jag förstår precis hur du menar här, du har inte missförstått min fråga! Tack igen för din fina hjälp! /Boel

B.E

Hej Simon!

Jag övar på PQ-formeln och övning nr 5. Ekvationen är: x2+5x+4=0 (x2= x upphöjt i 2)

I förklaringen till frågan så omvandlar du roten ur 5/2 upphöjt i 2 minus 4 till 25/4-16/4. Jag förstår hur du får fram 25/4 men hur får du fram 16/4?

Hoppas du förstår hur jag menar.

Vänliga hälsningar Boel

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Jag förstår precis hur du menar.
    Det jag gör där är att skriva om $ 4 = \frac{4}{1} = \frac{4⋅4}{1⋅4} = \frac{16}{4}$ så att vi har samma nämnare i de bägge talen (bråktalen) under roten ur tecknet. På det viset kan vi subtrahera dessa och få dem till ett enda bråk. Detta gör det lättare att ta roten ur talet då
    $ \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2} $

      B.E

      Aha, då är jag med på hur du menar! Tusen tack för hjälpen och din pedagogiska förklaring! Ursäkta mitt sena svar förresten, jag glömde bort att svara pga allt intensivt arbete inför Högskoleprovet på lördag! Vänligen, Boel

Sara

Hej!
I förklaringen till fråga 5 så står det att rätt svar är x1=-1 och x2=-4 men när jag rättade så fick jag fel och det står då att x1=-5/2 och x2=4…

    Jonna Hybelius

    Detta undrar jag med!

    Jag skrev X1= -1 och X2= -4 och fick fel?

    Varför är det bättre att skriva i bråkform när det går att skriva exakt ändå?

    Jonna

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det var fel svar som markerat som rätt hos oss där, det är korrigerat och vi ber om ursäkt för detta.
    Tack för att du sade till om detta!

maggie liew

Hej, hur kan man beräkna ut den vändpunkt om det funktion står Y=4-x^2 genom tillämpa pq formeln?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Du kan lösa ekvationen
    $4-x²=0$
    $x² = 4$
    $ x=±2 $

    Då vet du att nollställena finns i x=-2 och x=2. Då hittar du max/min punkten (det du kallar vändpunkten) mitt emellan dessa nollställen, dvs i $ x=0 $

    Sätter du nu in x=0 i funktionen så får du att y=4 och du har maxpunkten i (0,4).

Nathalie Hermansson

Jag behöver verkligen hjälp med en fråga som jag suttit med så länge nu.. Jag skriver den här och hoppas att jag kan få lite hjälp med hur jag ska göra!
”Ett företags kostnader K(n) kr och intäkter I(n) kr per månad beror på antalet tillverkade enheter n. Funktionerna anges av K(n)=15000+79n+0,02n^2
I(n)=199n
En månad fick de en vinst på 40 000kr. De sålde då lika många enehter som de tillverkade- Hur många enheter tillverkades och såldes den månaden?”

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vinsten beräknar du genom Intäkter – kostnader. Med funktionerna beskriver du detta som
    $ I(n) – K(n) = $ $ (199n)-(15000+79n+0,02n^2) = $ $ 199n-15000-79n-0,02n^2 = 120n-15000-0,02n^2 $

    Nu vill du ta reda på n när vinsten är 40 000 kr. Det gör du genom ekvationen
    $ 120n-15000-0,02n^2 = 40000 ⇔ $
    $ 120n-55000-0,02n^2 = 0 ⇔ $ (Dela alla termer med -0,02)
    $ n^2-6000n+2750000 = 0 $

    Nu använder du pq formeln för att lösa ekvationen
    Hoppas att detta hjälper dig på vägen!

CamillaHelena

Om jag vill lösa x^2 + 2x – 2 = 0 då? Enligt mina beräkningar kommer jag att hamna med roten ur 3 och det finns ju ingenting som är roten ur 3? Jag använde dock miniräknaren och den säger 1.73, men det är väl inte tänkt att man löser talen på detta sätt? Mvh Camilla

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Om du vill ange lösningarna exakt så kan du skriva dessa som
    $ x_1 = -1 + \sqrt{ 3 } $
    $ x_2 = -1 – \sqrt{ 3 } $
    Annars kan det i många fall gå att ange svaren med en avrundning.
    Roten ur 3 är ett så kallat irrationellt tal, dvs ett tal med oändlig decimalutveckling om man skulle försöka skriva det på decimalform.

      CamillaHelena

      Frågan lyder nämligen, har ekvationen 2 – x^2 = 2x en icke-reell lösning? Jag har gjort så att jag har ”gjort om” ekvationen så att den ser ut på följande sätt: x^2 + 2x – 2 =0 sedan tänkte jag lösa denna ekvationen med pq-formeln men åkte fast vid roten ur 3…

      Mvh Camilla

        Simon Rybrand (Moderator)

        Lösningarna till ekvationen är reella då irrationella tal ingår i talmängden reella tal som kan sägas vara alla tal på tallinjen.

        Om du exempelvis skulle behöva ta roten ur ett negativt tal så kommer du dock inte att få reella lösningar utan komplexa.

Marcusjanrik

Hej borde inte svaret på fråga 1 vara x1=2 och x2=(-2) för att det är en andragrads ekvation och har två röter?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hejsan, i den frågan är det inte rötterna till ekvationen som söks utan det är en fråga som vill testa att man har förstått själva pq formeln. Det är alltså q i pq formeln som söks.

Simon Rybrand (Moderator)

Hej Carina, du har ett a med i andragradsekvationen. Detta brukar ofta beteckna en konstant som man skall ta reda på? Annars ser det metodmässigt ut som du är på rätt väg. När du tar roten ur 47,25 skall du ta dock ta bort rotenur tecknet.

    carinaa

    vad är det som är fel? jag har fastnat där… kan du vissa hur det ska se ut?

folkuniv

i uppgift 3 är x1=-17 inte 17 eftersom -9-8=-17
och x2 är -9+8=-1 eller?
annars kan jag tänka mig att det inte är -9 utan 9…

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, nej du har rätt och det skall vara + där. Vi åtgärdar detta,

annab87

Hej, skulle du vilja hjälpa mig med denna, med hjälp av pq-formeln?
”I en rektangel är höjden 7 cm kortare än basen. Bestäm rektangelns omkrets om dess area är 40cm^2.

Jag vet inte inte riktigt hur jag ska få in detta i formeln.=/
Jag vill ha det till x^2-7x-40=0? Tänker jag helt fel?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Du kan göra så att du först sätter basen till x. Då gäller att höjden är x – 7 och du kan ställa upp ett samband för arean:
    $ x(x – 7) = 40 $
    $ x^2 -7x = 40 $
    $ x^2 -7x -40 = 0 $
    Så det får du fram helt rätt. Sedan behöver du helt enkelt tillämpa pq formeln på ekvationen så att du får fram en lösning för basen x. Sedan får du förstås även räkna ut höjden och omkretsen.

nti_ma2

Hej Simon!
Jag undrar varför -8x inte ändrar tecken i exemplet (2x^2-16x-18=0) på pq-formeln ovan? Svaret är ju rätt men lösningen måste vara fel? I lösningen måste -4 egentligen vara +4?!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Helt rätt, tryckfelsnisse 😉 har varit framme, vi har fixat det.

Anita

Hej Simon, jag undrar varför -12x inte byter tecken i pq formeln till +12x i uppgift 2? Tack på förhand, Anita

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Anita, det beror helt enkelt på att vi har haft ett fel i vårt testsystem men det är nu ordnat, tack för att du kommentera detta!

zandra00

I sista uppgiften skriver du om 51=54x−3x^2 som
3x^2-54x+51=0
hur får du det till +51?
I min värld får jag 51 att bli 0 genom att dra bort 51.
om man ska göra samma sak på bägge sidorna om =
så borde det väl bli 3x^2-54x-51=0
Eller har jag fått detta om bakfoten?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, nej det är korrekt i uppgiften. Om du drar bort 51 så får du problemet att det blir -51 i högerledet i ekvationen.

    Det jag gör i förklaringen i uppgiften är att jag gör följande (skriver förklaringar i parantesen):
    $ 51 = 54x -3x^2 \Leftrightarrow $ (+3x^2)
    $ 3x^2 + 51 = 54x\Leftrightarrow $ (-54x)
    $ 3x^2 -54x + 51 = 0 \Leftrightarrow $ (/3)
    $ x^2 – 18x + 17 = 0 $

    Det är alltså viktigt att tänka på att detta är en ekvation och att du gör samma sak både i vänsterledet och i högerledet.

      zandra00

      tack, då förstår jag hur jag ska tänka:)

      oliverkalthoff

      Men varför tar man inte bara -51?
      Går inte det lika bra?
      Det är för mig den lättaste vägen och vid första anblick det logiska för att få allt på samma led och en 0 på ena sidan, eller spelar det roll vilken sida 0an är på?
      Förstår att uträkningen inte går ihop då men innan man räknat på det, hur ska man veta?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej
        Det går egentligen lika bra att börja så. Det du behöver tänka på i så fall är att du måste dela med $-3$ sedan så att du får ett positivt tecken framför $x^2$

Rikardlj

Mycket bra film. Har tittat i boken men inte förståt, nu när man har sett filmen så e allt glas klart. Ni är mycket duktiga.

Miguel

I ditt andra exempel skriver du följande;

(4)^2 – 7 är lika med x= +4 +- Roten ur 9

Hur kom du fram till nio där?

    Miguel

    är det 16-7 som blir 9?

      Simon Rybrand (Moderator)

      Hej Miguel, precis, så är det.

        Miguel

        Tack!

jokals

Men om svaret inte är lika med noll då, fungerar det då också?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Jokals, om svaret inte är lika med noll behöver man först skriva om ekvationen så att det blir tydligt hur du kan tillämpa PQ formeln. Ett exempel kan vara:

    $ x^2 + 4x = 5 $
    Här får vi först dra ifrån 5 från bägge sidor av likhetstecknet så att vi får ekvationen
    $ x^2 + 4x – 5 = 0 $
    Nu kan vi använda PQ formeln och får då:
    $ x = -2 ± \sqrt{4 + 5} $
    $ x = -2 ± \sqrt{9} $
    $ x = -2 ± 3 $

    Hoppas att detta var det svar du sökte efter.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (10)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K


    Din vän frågar dig om hjälp och undrar vad man ska skriva i stället för frågetecknet, för att det ska bli rätt.

    Vad svarar du?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket värde har $q$q i ekvationen $x^2+5x+3=0$x2+5x+3=0 ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket värde har $p$p i ekvationen $x^2-4x+2=0$x24x+2=0 ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K


    Är formeln helt rätt skriven?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket värde har $q$q i ekvationen $x^2+4x=-2$x2+4x=2 ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket värde har $p$p i ekvationen $2x^2+6x-12=0$2x2+6x12=0 ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K


    Rut råkade få en kaffefläck  i sitt räknehäfte så att hon inte kan avläsa värdet på $p$p i andragradsekvationen.

    Vilket är värdet på $p$p, förutsatt att hon skrivit i rätt?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad heter den metod som PQ-formeln härleds ur, d.v.s. som kan bevisa att PQ-formeln stämmer?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen med PQ-formeln.

     $x^2+5x+4=0$x2+5x+4=0 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilka lösning har ekvationen  $x^2-12x+11=0$x212x+11=0 

    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 11. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $2x^2-8x-16=0$2x28x16=0 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $10x^2+10x=100$10x2+10x=100

    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se