Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 2
/ Andragradsekvationer
Träna mera på PQ-formeln
Innehåll
I denna lektion fördjupar vi med ett antal exempel hur man löser andragradsekvationer med pq-formeln.
Andragradsekvation
$ ax^2 + bx + c = 0 $
där $a,b$ och $c$ är konstanter och $a≠0$.
Lösningsformeln
Andragradsekvationen $x^2+px+q=0$x2+px+q=0 har lösningarna
$x_{1,2}=$x1,2= $-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$−p2 ±√(p2 )2−q
Men om andragradsekvationen inte är lika med noll?
En andragradsekvation kan behöva skrivas om innan man kan använda lösningsformeln. Den måste nämligen så på en sådan form att andragradstermens koefficient är lika med ett och att ett av leden är lika med noll. Vi tar ett exempel.
Exempel 1
Lös andragradsekvationen $24x=27-3x^2$24x=27−3x2
Lösning
Vi börjar med att subtrahera båda leden med $24x$24x för att få noll i ena ledet
$0=27-3x^2-24x$0=27−3x2−24x
Nu dividerar vi med $-3$−3 för att få koefficienten framför andragradstermen lika med ett
$0=x^2+8x-9$0=x2+8x−9
Nu står ekvationen på rätt form och vi kan använda oss av pq-formeln för att lösa ut de bägge rötterna.
$x=$x= $-\frac{8}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^{^2}-\left(-9\right)}$−82 ±√(82 )2−(−9)
$x=-4\pm\sqrt{4^2+9}$x=−4±√42+9
$x=-4\pm\sqrt{16+9}$x=−4±√16+9
$x=-4\pm\sqrt{25}$x=−4±√25
$x=-4\pm5$x=−4±5
$ \begin{cases} x_1 = 1 \\ x_2 = -9 \end{cases} $
Diskriminant
I kommande genomgångar kommer vi studera grafer till andragradspolynom. Hur dessa ser ut kommer bland annat påverkas av värdet under rottecknet i pq-formeln. För att lättare kunna förklara olika skeenden är det därför bra att känna till att $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$(p2 )2−q kallas för ekvationens diskriminant.
Värdet på diskriminanten kommer avgöra hur många reella lösningar som andragradsekvationen har. Men mer om det i lektionen om andragradsfunktionens nollställen.
PQ-formeln och tredjegradsekvationer
I matematik 2 krävs det inte att du skall kunna lösa alla tredjegradsekvationer. Men genom att använda de kunskaper vi har i faktorisering i kombination med nollproduktmetoden, kvadratrotsmetoden och lösningsformen kan vi lösa ekvationer som till en början ser riktigt besvärliga ut. Vi tar två exempel här.
Exempel 2
Lös tredjegradsekvationen $x^3+4x^2=5x$x3+4x2=5x
Lösning
Vi börjar med att subtrahera med i $5x$5x båda leden
$x^3+4x^2-5x=0$x3+4x2−5x=0
Nu bryter vi ut $x$x ur varje term.
$x\left(x^2+4x-5\right)=0$x(x2+4x−5)=0
Enligt nollproduktmetoden så kan vi här se att vi har en lösning $x_1=0$x1=0. De andra två lösningarna får vi om vi löser ekvationen i parentesen.
$x^2+4x-5=0$x2+4x−5=0
$x_{_{2,3}}=$x2,3= $-\frac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^{^2}-\left(-5\right)}$−42 ±√(42 )2−(−5)
$x_{_{2,3}}=-2\pm\sqrt{2^{^2}+5}$x2,3=−2±√22+5
$x_{_{2,3}}=-2\pm\sqrt{4+5}=-2\pm3$x2,3=−2±√4+5=−2±3
$x_{_{2,3}}=-2\pm3$x2,3=−2±3
$ \begin{cases} x_2 = -2-3=-5 \\ x_3 =-2+3= 1 \end{cases} $
Ekvationens tre lösningar är därmed
$ \begin{cases} x_1 = 0 \\ x_2 = -5 \\ x_3 = 1 \end{cases} $
I detta fall har vi alltså tre olika värden på $x$x som ger att likheten mellan VL och HL stämmer.
Exempel i videon
- Lös ekvationen $3x^2 – 39 + 36x = 0$.
- Lös ekvationen $8x^2 – 54 = 48x + 2x^2$.
- Lös ekvationen $x^2 + \frac{x}{2} – \frac{3}{16} = 0$
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (3)
-
1. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P PL M R 1 K Ännu en olycka! Hjälp din vän att ange vad som ska stå under kaffefläcken.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
2. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B 1 P PL M R K Vilken metod är mest lämplig för att lösa ekvationen $x^2-10x=10$x2−10x=10 ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
3. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen $x^2+4x+3=0$x2+4x+3=0
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
c-uppgifter (5)
-
4. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/1/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 1 PL M R K Lös andragradsekvationen $x^2-x+\frac{5}{36}=0$x2−x+536 =0
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
5. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/2/0)M NP INGÅR EJE C A B P PL 1 1 M R 1 K Du är på besök i Paris och är uppe i Eiffeltornet. Tornet är $324$324 m högt men som turist kommer man inte riktigt ända upp på toppen, utan som högst $276$276 m upp. Du har med dig en boll som du kastar ut. Du vet att bollens rörelse kan beskrivas med formeln $h\left(t\right)=276-16t-4t^2$h(t)=276−16t−4t2, där $h$h är bollens höjd efter $t$t sekunder.
Hur många sekunder tar det innan bollen når marken?
Ange svaret med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer: PQ – formelnRättar...6. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/1/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen $4x^2+16x+12=0$4x2+16x+12=0
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...7. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/2/0)M NP INGÅR EJE C A B P 2 PL M R K Lös andragradsekvationen $51=54x-3x^2$51=54x−3x2
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...8. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/2/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R 1 K Vilket värde ska $q$q ha för att ekvationen $x^2+2x+q=0$x2+2x+q=0 endast får en lösning?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
arre
hej, är inte svaret på exempel 3 i videon att x = -1/4 (+-) roten ur roten ur 7 / roten ur 32..
det känns som att du missar att dividera 3/16 med 2/1 eller har jag fel.. för jag gjorde så på -1/2 och fick det till -1/4 och sen samma sak med 3/16.. kolla gärna videon och så förstår du nog vad jag yrar om…
Simon Rybrand (Moderator)
Hej!
Där skall vi inte dividera 3/16 med något alls. Vi behöver inte dela eller multiplicera med någon innan vi tillämpar pq-formeln. Däremot så är det ju en hel del att hålla reda på med bråktalen och roten ur där 😉
Erik Åblad
Hej!
I fråga 3 står att man ska fylla i vad som står i ”den tomma rutan”. Det är två tomma rutor, säkerligen uppenbart för de flesta men kanske bör ändras till: de två tomma rutorna.
mvh
Hugo Elfner
Hej, på uppgift 5 får jag fram svaret -1 och -3 istället för 1 och 3,
hur kommer det sig?
Båda jag och flera vänner har fått samma svar och vi vet inte varför svaret är positivt, gör vi något fel eller är det fel på frågan? Tack mvh Hugo
Simon Rybrand (Moderator)
Det var fel på frågan och det är korrigerat nu, tack för att du sade till.
Endast Premium-användare kan kommentera.