Träna mera på PQ-formeln

Exempel 1

Lös andragradsekvationen  $24x=27-3x^2$24x=27−3x² 

Lösning

Vi börjar med att subtrahera båda leden med  $24x$24x för att få noll i ena ledet

$0=27-3x^2-24x$0=27−3x²−24x 

Nu dividerar vi med $-3$−3  för att få koefficienten framför andragradstermen lika med ett

 $0=x^2+8x-9$0=x²+8x−9 

Nu står ekvationen på rätt form och vi kan använda oss av pq-formeln för att lösa ut de bägge rötterna.

 $x=$x=  $-\frac{8}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^{^2}-\left(-9\right)}$−82 ±√(82 )²−(−9) 

 $x=-4\pm\sqrt{4^2+9}$x=−4±√4²+9 

 $x=-4\pm\sqrt{16+9}$x=−4±√16+9

 $x=-4\pm\sqrt{25}$x=−4±√25  

$x=-4\pm5$x=−4±5

$\begin{cases} x_1 = 1 \\ x_2 = -9 \end{cases}$

Exempel 2

Lös andragradsekvationen  $2x^2+18=-12x$2x²+18=−12x 

Lösning

Vi börjar med att skriv om ekvationen för PQ-formeln.

 $2x^2+18=-12x$2x²+18=−12x            addera båda led med  $12x$12x för att få noll i ena ledet

 $2x^2+12x+18=0$2x²+12x+18=0            dividerar vi med $2$2 för att få koefficienten framför andragradstermen lika med ett

 $x^2+6x+9=0$x²+6x+9=0

Nu står ekvationen på rätt form och vi kan använda oss av pq-formeln för att lösa ut de bägge rötterna $x_1$x₁och $x_2$x₂.

 $x=$x=  $-\frac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^{^2}-9}$−62 ±√(62 )²−9 

 $x=-3\pm\sqrt{3^2-9}$x=−3±√3²−9 

 $x=-3\pm\sqrt{9-9}$x=−3±√9−9 

 $x=-3\pm\sqrt{0}$x=−3±√0  

 $x=-3\pm0$x=−3±0 

$\begin{cases} x_1 = -3 \\ x_2 = -3 \end{cases}$

Ekvationen har en dubbelrot eftersom att $x_1=x_2$x₁=x₂ .

Exempel 3 

Lös andragradsekvationen $2x^2+4x-6=0$2x²+4x−6=0 

Lösning

Vi läser av  $a=2$a=2 , $b=4$b=4  och  $c=-6$c=−6  och sätter in i acb-formeln för att lösa ut de bägge rötterna $x_1$x₁och $x_2$x₂.

 $x_{1,2}=$x_1,2= $\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot2\cdot\left(-6\right)}}{2\cdot2}$−4±√4²−4·2·(−6)2·2  

 $x_{1,2}=$x_1,2= $\frac{-4\pm\sqrt{16+48}}{4}$−4±√16+484  

 $x_{1,2}=$x_1,2= $\frac{-4\pm\sqrt{64}}{4}$−4±√644  

 $x_{1,2}=$x_1,2= $\frac{-4\pm8}{4}$−4±84 

 $x_{1,2}=$x_1,2= $\frac{-4}{4}\pm\frac{8}{2}$−44 ±82  

 $x_{1,2}=-1\pm2$x_1,2=−1±2  

$\begin{cases} x_1 = 1 \\ x_2 = -3 \end{cases}$

Exempel 4

Lös tredjegradsekvationen  $x^3+4x^2=5x$x³+4x²=5x

Lösning

Vi börjar med att subtrahera med i $5x$5x båda leden

$x^3+4x^2-5x=0$x³+4x²−5x=0

Nu bryter vi ut $x$x ur varje term.

$x\left(x^2+4x-5\right)=0$x(x²+4x−5)=0

Enligt nollproduktmetoden så kan vi här se att vi har en lösning $x_1=0$x₁=0. De andra två lösningarna får vi om vi löser ekvationen i parentesen.

$x^2+4x-5=0$x²+4x−5=0

 $x_{_{2,3}}=$x_2,3= $-\frac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^{^2}-\left(-5\right)}$−42 ±√(42 )²−(−5)  

 $x_{_{2,3}}=-2\pm\sqrt{2^{^2}+5}$x_2,3=−2±√2²+5 

 $x_{_{2,3}}=-2\pm\sqrt{4+5}=-2\pm3$x_2,3=−2±√4+5=−2±3 

 $x_{_{2,3}}=-2\pm3$x_2,3=−2±3  

$\begin{cases}  x_2 = -2-3=-5 \\ x_3 =-2+3= 1 \end{cases}$

Ekvationens tre lösningar är därmed

$\begin{cases} x_1 = 0 \\ x_2 = -5 \\ x_3 = 1 \end{cases}$