...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 2
 /   Andragradsekvationer

Träna mera på PQ-formeln

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

I denna lektion fördjupar vi med ett antal exempel hur man löser andragradsekvationer med pq-formeln.

Andragradsekvation

$ ax^2 + bx + c = 0 $

där $a,b$ och $c$ är konstanter och $a≠0$.

Lösningsformeln

Andragradsekvationen  $x^2+px+q=0$x2+px+q=0  har lösningarna

 $x_{1,2}=$x1,2= $-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$p2 ±(p2 )2q 

Men om andragradsekvationen inte är lika med noll?

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

En andragradsekvation kan behöva skrivas om innan man kan använda lösningsformeln. Den måste nämligen så på en sådan form att andragradstermens koefficient är lika med ett och att ett av leden är lika med noll. Vi tar ett exempel.

Exempel 1

Lös andragradsekvationen  $24x=27-3x^2$24x=273x2 

Lösning

Vi börjar med att subtrahera båda leden med  $24x$24x för att få noll i ena ledet

$0=27-3x^2-24x$0=273x224x 

Nu dividerar vi med $-3$3  för att få koefficienten framför andragradstermen lika med ett

 $0=x^2+8x-9$0=x2+8x9 

Nu står ekvationen på rätt form och vi kan använda oss av pq-formeln för att lösa ut de bägge rötterna.

 $x=$x=  $-\frac{8}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^{^2}-\left(-9\right)}$82 ±(82 )2(9) 

 $x=-4\pm\sqrt{4^2+9}$x=4±42+9 

 $x=-4\pm\sqrt{16+9}$x=4±16+9

 $x=-4\pm\sqrt{25}$x=4±25  

$x=-4\pm5$x=4±5

$ \begin{cases} x_1 = 1 \\ x_2 = -9 \end{cases} $

Diskriminant

I kommande genomgångar kommer vi studera grafer till andragradspolynom. Hur dessa ser ut kommer bland annat påverkas av värdet under rottecknet i pq-formeln. För att lättare kunna förklara olika skeenden är det därför bra att känna till att  $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$(p2 )2q kallas för ekvationens diskriminant.

Värdet på diskriminanten kommer avgöra hur många reella lösningar som andragradsekvationen har. Men mer om det i lektionen om andragradsfunktionens nollställen.

PQ-formeln och tredjegradsekvationer

I matematik 2 krävs det inte att du skall kunna lösa alla tredjegradsekvationer. Men genom att använda de kunskaper vi har i faktorisering i kombination med nollproduktmetoden, kvadratrotsmetoden och lösningsformen kan vi lösa ekvationer som till en början ser riktigt besvärliga ut. Vi tar två exempel här.

Exempel 2

Lös tredjegradsekvationen  $x^3+4x^2=5x$x3+4x2=5x

Lösning

Vi börjar med att subtrahera med i $5x$5x båda leden

$x^3+4x^2-5x=0$x3+4x25x=0

Nu bryter vi ut $x$x ur varje term.

$x\left(x^2+4x-5\right)=0$x(x2+4x5)=0

Enligt nollproduktmetoden så kan vi här se att vi har en lösning $x_1=0$x1=0. De andra två lösningarna får vi om vi löser ekvationen i parentesen.

$x^2+4x-5=0$x2+4x5=0

 $x_{_{2,3}}=$x2,3= $-\frac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^{^2}-\left(-5\right)}$42 ±(42 )2(5)  

 $x_{_{2,3}}=-2\pm\sqrt{2^{^2}+5}$x2,3=2±22+5 

 $x_{_{2,3}}=-2\pm\sqrt{4+5}=-2\pm3$x2,3=2±4+5=2±3 

 $x_{_{2,3}}=-2\pm3$x2,3=2±3  

$ \begin{cases}  x_2 = -2-3=-5 \\ x_3 =-2+3= 1 \end{cases} $

Ekvationens tre lösningar är därmed

$ \begin{cases} x_1 = 0 \\ x_2 = -5 \\ x_3 = 1 \end{cases} $

I detta fall har vi alltså tre olika värden på  $x$x  som ger att likheten mellan VL och HL stämmer.

Exempel i videon

  • Lös ekvationen $3x^2 – 39 + 36x = 0$.
  • Lös ekvationen $8x^2 – 54 = 48x + 2x^2$.
  • Lös ekvationen $x^2 + \frac{x}{2} – \frac{3}{16} = 0$

Kommentarer

arre

hej, är inte svaret på exempel 3 i videon att x = -1/4 (+-) roten ur roten ur 7 / roten ur 32..

det känns som att du missar att dividera 3/16 med 2/1 eller har jag fel.. för jag gjorde så på -1/2 och fick det till -1/4 och sen samma sak med 3/16.. kolla gärna videon och så förstår du nog vad jag yrar om…

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej!
    Där skall vi inte dividera 3/16 med något alls. Vi behöver inte dela eller multiplicera med någon innan vi tillämpar pq-formeln. Däremot så är det ju en hel del att hålla reda på med bråktalen och roten ur där 😉

Erik Åblad

Hej!
I fråga 3 står att man ska fylla i vad som står i ”den tomma rutan”. Det är två tomma rutor, säkerligen uppenbart för de flesta men kanske bör ändras till: de två tomma rutorna.
mvh

Hugo Elfner

Hej, på uppgift 5 får jag fram svaret -1 och -3 istället för 1 och 3,
hur kommer det sig?
Båda jag och flera vänner har fått samma svar och vi vet inte varför svaret är positivt, gör vi något fel eller är det fel på frågan? Tack mvh Hugo

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det var fel på frågan och det är korrigerat nu, tack för att du sade till.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Ännu en olycka! Hjälp din vän att ange vad som ska stå under kaffefläcken.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken metod är mest lämplig för att lösa ekvationen  $x^2-10x=10$x210x=10 ?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen  $x^2+4x+3=0$x2+4x+3=0

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/0)
    ECA
    B
    P11
    PL
    M
    R
    K

    Lös andragradsekvationen  $x^2-x+\frac{5}{36}=0$x2x+536 =0 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL11
    M
    R1
    K

    Du är på besök i Paris och är uppe i Eiffeltornet. Tornet är $324$324 m högt men som turist kommer man inte riktigt ända upp på toppen, utan som högst $276$276 m upp. Du har med dig en boll som du kastar ut. Du vet att bollens rörelse kan beskrivas med formeln $h\left(t\right)=276-16t-4t^2$h(t)=27616t4t2, där $h$h är bollens höjd efter $t$t sekunder.

    Hur många sekunder tar det innan bollen når marken?

    Ange svaret med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $4x^2+16x+12=0$4x2+16x+12=0

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös andragradsekvationen $51=54x-3x^2$51=54x3x2 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Vilket värde ska $q$q ha för att ekvationen $x^2+2x+q=0$x2+2x+q=0 endast får en lösning?

    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se