...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova gratis Skaffa Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 2
 /   Geometri

Randvinkelsatsen

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Randvinkelsatsen beskriver förhållandet mellan en medelpunktsvinkel och en randvinkel i en cirkel. Den säger att medelpunktsvinkeln är dubbelt så stor som randvinkeln. Vi börjar med att definiera dessa begrepp innan vi presenterar satsen.

Randvinkeln i en cirkel är en vinkeln mellan två kordor som träffar varandra i en punkt som ligger på cirkeln.

Medelpunktsvinkeln är vinkeln i cirkelns medelpunkt mellan radierna till två punkter på cirkelns periferi.

 Utifrån dessa två begrepp kan vi nu definiera randvinkelsatsen som beskriver ett enkelt samband mellan dessa.

Randvinkelsatsen

Figur randvinkelsatsen

Sambandet mellan medelpunktsvinkeln $y$y och randvinkeln $x$x är att

 $y=2x$y=2x

Medelpunktsvinkeln är alltså alltid dubbelt så stor som randvinkeln, om de tillhör samma cirkelbåge.

Följden av randvinkelsatsen blir därför att randvinkeln $x$x är hälften så stor som medelpunktsvinkeln $y$y. Det kan vi skriva så här.

 $x=\frac{y}{2}$x=y2 

Ett viktigt villkor

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium?
Förnya ditt betalkonto hos din skola här.
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova gratis i 14 dagar. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
89 kr för 6 månader
Ingen bindningstid. Betala 1 gång.

Vi vill göra dig uppmärksam på att randvinkelsatsens samband bara gäller för vinklar som utgår från samma cirkelbåge. Med det menas de vinklar vars vinkelbenen utgår från samma punkter på cirkeln.

Dess utom gäller att en randvinkeln alltid återfinns på den del av cirkeln som inte ingår i cirkelbågen.

Exempel 1

Exempel 1 randvinkelsatsen

Bestäm vinkeln $y$y.

Lösning

Randvinkelsatsen säger att

 $y=2\cdot32^{\circ}=64^{\circ}$y=2·32=64 

Olika sätt att rita ut Randvinkelsatsen – Olika fall

Man kan rita ut dessa vinklar på cirkeln på lite olika vis. För alla fall så gäller randvinkelsatsen. Det kan dock vara bra att du har sett dessa fall för att känna igen att randvinkelsatsen gäller.

Randvinkelsatsens olika fall

I alla figurer gäller att $y=2x$y=2x.

Figur 1

I figur 1 har vi det klassiska fallet av randvinkelsatsen. Bägge vinklars ben utgår från samma punkter på cirkeln.

Figur 2

I figur 2 sammanfaller randvinkelns- och medelpunktsvinkeln ena ben med varandra.

Figur 3

I figur 3 skär två av benen varandra.

Figur 4

I figur 4 så befinner sig medelpunktsvinkeln ”på andra sidan”. Randvinkelsatsen kan där inte gälla på samma vinkelsida som i övriga figurer. Detta för att randvinkeln befinner sig på den sidans cirkelbåge. Sambandet gäller dock fortfarande men på det sättet som det är utritat i figuren.

Exempel 2

Exempel 2 randvinkelsatsen

Bestäm vinklarna $x$x och $z$z.

Lösning

Här gäller att $x$x och $z$z har samma medelpunktsvinkel som är $110^{\circ}$110.

Dvs  $x=z=\frac{110}{2}=55^{\circ}$x=z=1102 =55 

Exempel 3

Exempel 3

Bestäm vinklarna $x$x och $y$y.

Lösning

 $x$x är inte medelpunktsvinkel till y.

Istället kan vi använda att ett helt varv på cirkeln är $360^{\circ}$360.

 $x=360-250=110^{\circ}$x=360250=110 

 $y$y är randvinkel till den medelpunktsvinkeln $250^{\circ}$250

 $y=\frac{250}{2}=125^{\circ}$y=2502 =125

Kommentarer

ruben arwidsson

På uppgift 4 tex. Då vinkel a och d är randvinklar från samma medelpunktsvinkel så bör det vara lika, men dessa vinklar bör även vara hälften så stor som medelpunktsvinkeln (alltså 80). Men den är 75. Hur ska jag tänka?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det stämmer att en medelpunktsvinkel alltid är dubbelt så stor som en randvinkel om, och endast om, de utgår från samma cirkelbåge. En medelpunktsvinkel är en vinkel som har cirkelns radier som vinkelben. De utgår alltså från cirkelns medelpunkt. I denna uppgift är inte x en medelpunktsvinkel, därför är den inte dubbelt så stor som randvinkeln.

Niklas Allansson

Tycker att matematikvideo.se är en väldigt bra sida. Den är perfekt som lite sista repetition innan ett prov. Funkar också väldigt bra om man måste få en sak förklarad en gång till tex när läraren inte är tillgänglig.

Keep up the good work!

Lisa Rahmani

Kan ni inte ha lite svårare frågor? Vill uppnå B i kursen och dessa frågor känns rätt enkla.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi kommer att uppdatera våra geometriavsnitt ganska mycket framåt, bland annat för att visa mer problemlösningsuppgifter på högre nivå. Tack för att du kommenterade din önskan så vet vi om att detta behov finns!

Kicki P

Hej! Måste fråga, ska göra prövning i Ma 2a och när jag går in på mattebokens hemsida står det att ex. Denna övning + många fler inte ingår i ma 2a – stämmer det? Det finns ju hos er men dessa övningar kanske bara gäller B och C inriktningen?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det kan vara lite olika vad som lyfts fram i de olika kurserna och kursböckerna. I ämnesplanen står det
    ”Fördjupning av geometriska begrepp valda utifrån karaktärsämnenas behov”
    så det är lite osäkert kring om du måste kunna randvinkelsatsen och det har endast kommit ut ett np till kursen publikt (där den inte fanns med vad jag minns). Skall kolla lite mer och se vad jag kan hitta om detta.

Challii

Hej! jag skulle bli jätteglad om du kunde gå igenom lite problemlösningar där man använder randvinkelsatsen eller följdsatserna för dessa har jag väldigt svårt att förstå. Det finns flera problemlösningar på t.ex. s.173 i Matematik5000 2b 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, tack för din kommentar.
    Vi tar med oss detta i framtida utveckling av videos och ser om vi kan göra något kring detta!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna vinkel $x$x i figuren.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna vinkeln $y$y.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna vinkel $z$z.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R1
    K

    Beräkna vinkel  $x$x .

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K1

    Hur stor är vinkel $z$z om vinkel $y=46°$y=46° och diametern är rödmarkerad i figuren?

    randvinkelsatsen_bevis1-01

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Fyrhörningen $ABCD$ABCD är inskriven i en cirkel med medelpunkten $M$M .

    NP Ma2c ht12 uppgift 6 del B

    Bestäm vinkeln $x$x.

    NP MA2c ht12

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R1
    K

    Välj vilket alternativ du anser stämmer bäst med avseende på vinklarna $x$x och $y$y då den rödstreckade linjen motsvarar cirkelns diameter.

    randvinkel_2-01

    Träna på att motivera ditt svar med ett bevis. 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Fyrhörningen $ABCD$ABCD är inskriven i en cirkel med medelpunkten $M$M .

    NP Ma2c ht12 uppgift 6 del B

    Bestäm vinkeln $y$y .

    NP MA2c ht12

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Ange hur stor vinkel $x$x är om $y=160°$y=160°?

    .randvinkel_3-01

    Träna på att motivera ditt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K1

    Din lärare gick igenom beviset för randvinkelsatsen förra lektionen och frågar nu vilken linje som användes för att genomföra beviset.

    Välj det alternativ du anser är rätt och försök sedan genomföra beviset själv.

    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.