Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 2b
/ Andragradsekvationer
Roten ur - Andragradsekvationer
Innehåll
Andragradsekvationer som saknar en förstagradsterm kan lösas med kvadratrotsmetoden.
På allmän form kan alla dessa andragradsekvationers utseende sammanfattas så här.
$ax^2+c=0$
där $a$ och $c$ är konstanter och $a$a är skilt från noll.
Exempelvis är ekvationen $2x^2-8=0$2x2−8=0 en mycket lämplig ekvation för att tillämpa kvadratrotsmetoden på.
Längre ner i denna text ser vi även hur vi effektivt löser ekvationer som $\left(x-2\right)^2=25$(x−2)2=25 med kvadratrotsmetoden.
Roten ur ett positivt tal
Tänk på att när vi drar roten ur ett tal får vi endast ett tal som resultat. Vi definierar det på ett snyggt vis som att
Kvadratroten ur ett tal $a$a är det icke-negativa tal $b$b vars kvadrat är lika med $a$a.
Med symboler skriver vi meningen som $b^2=a$b2=a. Är vi osäkra på vad en kvadratrot är kan vi repetera genom att gå till lektionen Kvadratrötter - roten ur. Det är bra att känna sig bekväm med kvadratroten innan vi börjar lösa ekvationer med dem.
Ekvationslösning med kvadratrötter
Vi konstaterade just att $\sqrt{a}$√a endast har ett värde. Vid ekvationslösning kan det däremot finnas två olika lösningar, nämligen även den negativa roten. Detta eftersom ett negativt tal upphöjt till två blir ett positivt tal.
Att vi kallar värdet $\sqrt{a}$√a för just "kvadratroten ur $a$a" beror på att vi kan se det som en lösning till en ekvation. Ekvationens lösning kallas även för en rot. En ekvation av typen $y=x^2$y=x2, en så kallad kvadratisk ekvation, har två lösningar.
När vi säger "kvadratrot" menar vi oftast den positiva lösningen. Och för att få med båda lösningarna till ekvationen säger vi "den positiva och negativa kvadratroten". Vi tar nu ett exempel på en sådan ekvation.
Detta är extra viktigt att komma ihåg när vi använder räknare för att lösa en andragradsekvation med, eftersom den endast kommer att visa den positiva lösningen.
Kvadratrotsmetoden
Kvadratrotsmetoden följer tre steg. Få andragradstermen själv i ena ledet. Fixa till så att koefficienten är lika med ett. Dra därefter kvadratroten ur båda leden, för att få de två lösningarna till ekvationen.
Exempel 1
Lös ekvationen $ x^2 = 81 $
Lösning
Vi förbereder genom att kontrollera att andragradstermen står själv i ena ledet och att koefficienten är lika med ett. Båda villkoren är redan uppfyllda i vår ekvation. Därmed kan vi dra roten med detsamma.
$ x^2 = 81 $ Dra roten ur båda leden
$x= \pm\sqrt{81} $
$ x = \pm 9 $
Vi kan också skriva svaret som
$\begin{cases} x_1=9 \\ x_2=-9 \end{cases}$
Vi understryker igen att $\sqrt{81}=9$√81=9 medan ekvationens lösning motsvarar både den positiva kvadratroten $9$9 och den negativa kvadratroten $-9$−9.
Nu ett exempel som kräver lite mer arbete för att hitta sin lösning.
Exempel 2
Lös ekvationen $ 100x^2 = 10\,000 $
Lösning
Vid kontroll av att andragradstermen står själv i ena ledet och att koefficienten är lika med ett, upptäcker vi att koefficienten är lika med hundra. Detta måste vi börja med att fixa till.
$ 100x^2 = 10\,000 $ Dividera båda leden med $100$
$ x^2 = 100 $ Dra roten ur båda leden
$x = \pm 10 $
Vi kan också ange rötterna som
$\begin{cases} x_1=10 \\ x_2=-10 \end{cases}$
Kvadratrotsmetoden som en del av lösningen
Vid lösningen av vissa ekvationer krävs att vi kombinerar olika metoder. Här kommer ett sådant exempel.
Exempel 3
Lös ekvationen $ (x-10)^2 = 49 $
Lösning
Andragradstermen står själv i ena ledet och koefficienten är lika med ett. Därmed kan vi dra roten med detsamma.
$ (x-10)^2 = 49 $ Dra roten ur båda leden
$ (x-10) = \pm 7 $
Då basen består av termer får vi två olika fall.
Fall 1
Antingen är $ x-10 = 7 $ vilket ger att
$x = 7+10=17$
Fall 2
Eller är $ x-10 = -7 $ vilket ger att
$x = -7+10=3$
Vi anger rötterna med en klammer.
$\begin{cases} x_1=3 \\ x_2=17 \end{cases}$
I en kommande lektion tittar vi närmre på hur vi löser ekvationer som innebär att vi måste dra roten ur ett negativt tal, men mer om det då.
Exempel i videon
- Lös ekvationen $x^2=16$
- Beräkna $\sqrt{16}$
- Lös ekvationen $ 10x^2=100 $
- Lös ekvationen $2x^2-8=0$
- Lös ekvationen $(x+4)^2=100$
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (9)
-
1. Premium
Beräkna talet.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvationer kvadratrot roten urRättar...2. Premium
Lös ekvationen $x^2=9$x2=9
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Lös ekvationen $x^2=25$x2=25
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Lös ekvationen $x^2=169$x2=169
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Lös ekvationen $x^2-81=0$x2−81=0
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvation andragradsekvationer kvadratrotsmetoden roten urRättar...6. Premium
Lös ekvationen $x^2-4=12$x2−4=12
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...7. Premium
Lös ekvationen $36x^2=324$36x2=324
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvationer Andragradsekvationer som löses med roten ur Matematik 2 roten urRättar...8. Premium
Lös ekvationen $5x^{^2}-44=100+x^2$5x2−44=100+x2.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvation roten urRättar...9. Premium
Lös ekvationen $2x\left(3+x\right)=2\left(5x+10\right)-4\left(x-3\right)$2x(3+x)=2(5x+10)−4(x−3)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvation roten urRättar...c-uppgifter (4)
-
10. Premium
Lös ekvationen $(x-2)^2=25$(x−2)2=25
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvation kvadratrotsmetoden roten urRättar...11. Premium
Lös ekvationen $10(x-9)^2=90$10(x−9)2=90
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...12. Premium
Bestäm ett positivt $a$a så att $(ax)^2=16$(ax)2=16 har en lösning $x=2$x=2.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...13. Premium
Lös ekvationen $ax^2+b=0$ax2+b=0
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Joakim Hult
Bör inte svaret vara -7 & 3? Eftersom -2+5=3 och -2-5=-7?
Sara Petrén Olauson
Hej! Prova att sätta in lösningarna i den ursprungliga ekvationen:
$x=7$ ger $(x-2)^2=(7-2)^2=5^2=25$, men
$x=-7$ ger $(x-2)^2=(-7-2)^2=(-9)^2=81$.
Klicka på Förklaring, så ser du en fullständig lösning av ekvationen.
Hoppas att detta hjälper dig vidare!
Anonym
fel svaret ar +- 2 efter 4(x - 3) ar 4x - 12 och inte 4x + 12
Marcus
Är det inte okej på fråga 1 att svara med "3, -3"? Tänkte att eftersom genomgången la lite tryck på det hela så var det relevant.
Lukas Klasson
tycker ni borde ta bort play-symbolen som hamnar mitt i videofönstret på era filmer, störande när man pausar för att läsa exemplet.
Christian Vittaniemi
Det ska stå x² = 100 i Exempel 2.
Efter att man har delat båda leden med 100. Det var nog det Ahmad menade.
10000/100 = 100
Sedan roten ur 100 = ±10
Raqiya Qasin
ahmed det är 10000/100 ej 1000/100 kolla noggrant en gång till.
ahmad kahwi
Hej , på exempel nr 2 , hur kan 1000/100 ger 100?? Det borde vara 10 sedan dra roten ur 10 istället för roten ur 100 eller ?
Tack på förhand
Endast Premium-användare kan kommentera.