...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 2
 /   Andragradsekvationer

Roten ur - Andragradsekvationer

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Andragradsekvationer som saknar en förstagradsterm kan lösas med kvadratrotsmetoden

$ax^2+c=0$

där $a$ och $c$ är konstanter skilda från noll.

Exempelvis är ekvationen $2x^2-8=0$2x28=0  en mycket lämplig ekvation för att tillämpa kvadratrotsmetoden på.

Roten ut ett positivt tal

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Tänk på att när du drar roten ur ett tal så får du endast ett tal som resultat. Man definierar det på en snitsigt vis som att

Kvadratroten ur ett tal $a$a är det icke-negativa tal $b$b vars kvadrat är lika med $a$a.

Med symboler skriver vi meningen som $a^2=b$a2=b. Känner du dig osäker på vad en kvadratrot är så kan du repetera genom att går till lektionen Kvadratrötter – roten ur. Det är bra att känna sig bekväm mer kvadratroten innan man börjar lösa ekvationer med dem.

Ekvationslösning med kvadratrötter

Vi konstaterade just att  $\sqrt{a}$a endast har ett värde. Men vid ekvationslösning kan det däremot finnas två olika lösningar, nämligen även den negativa roten. Detta eftersom att ett negativt tal upphöjt i två blir ett positivt tal.

Att man kallar värdet $\sqrt{a}$a för just ”kvadratroten ur $a$a” beror på att det  vi kan se det som en lösning till en ekvation. Ekvationens lösning kallas även för en rot. En ekvation av typen  $y=x^2$y=x2, en så kallad kvadratisk ekvation och har två lösningar.

Så nära man säger ”kvadratrot” menar man oftast den positiva lösningen. Och för att få med båda lösningarna till ekvationen, säger man ”den positiva och negativa kvadratroten”. Vi tar nu ett exempel på en sådan ekvation.

Detta är extra viktigt att komma ihåg när du använder räknare för att lösa en andragradsekvation med, eftersom den endast kommer visa den positiva lösningen.

Kvadratrotsmetoden

Kvadratrotsmetoden följer tre steg. Få andragradstermen själv i ena ledet. Fixa till så att koefficienten är lika med ett. Dra därefter kvadratroten ur båda leden, för att få dina två lösningar till ekvationen.

Exempel 1

Lös ekvationen $ x^2 = 81 $

Lösning

Vi förbereder genom att kontrollera att andragradstermen står själv i ena ledet och att koefficienten är lika med ett. Båda villkoren är redan uppfyllda i vår ekvation. Därmed kan vi dra roten meddetsamma.

$ x^2 = 81 $        Dra roten ur båda leden

$x= \pm\sqrt{81} $

$ x = \pm 9 $

Vi kan också skriva svaret som

$\begin{cases} x_1=9 \\ x_2=-9  \end{cases}$

Vi understryker igen att  $\sqrt{81}=9$81=9 medan ekvationens lösning motsvarar både den positiva kvadratroten $9$9 och den negativa kvadratroten $-9$9

Nu ett exempel som kräver lite mer jobb för att hitta sin lösning.

Exempel 2

Lös ekvationen $ 100x^2 = 10\,000 $

Lösning

Vid kontroll av att andragradstermen står själv i ena ledet och att koefficienten är lika med ett, upptäcker vi att koefficienten är lika med hundra. Detta måste vi börja med att fixa till.

$ 100x^2 = 10\,000 $      Dividera båda leden med $100$

$ x^2 = 100 $                Dra roten ur båda leden

$x = \pm 10 $

Vi kan också ange rötterna som

$\begin{cases} x_1=10 \\ x_2=-10  \end{cases}$

Kvadratrotsmetoden som en del av lösningen

Vid lösningen av vissa ekvationer krävs att man kombinerar olika metoder. Här kommer ett sådant exempel.

Exempel 3

Lös ekvationen $ (x-10)^2 = 49 $

Lösning

Andragradstermen står själv i ena ledet och koefficienten är lika med ett. Därmed kan vi dra roten meddetsamma.

$ (x-10)^2 = 49 $        Dra roten ur båda leden

$ (x-10) = \pm 7 $

Då basen består av termer får vi två olika fall.

Fall 1

Antingen är  $ x-10 = 7 $  vilket ger att
$x = 7+10=17$

Fall 2

Eller är $ x-10 = -7 $ vilket ger att
$x = -7+10=3$

Vi ange rötterna med en klammer.

$\begin{cases} x_1=3 \\ x_2=17  \end{cases}$

I kommande lektioner tar vi oss en titt på hur vi ska lösa ekvationer som innebär att vi måste dra roten ur ett negativ tal. Det ingår i Ma2c. Men mer om det då.

Exempel i videon

  • Lös ekvationen $x^2=16$
  • Beräkna $\sqrt{16}$
  • Lös ekvationen $ 10x^2=100 $
  • Lös ekvationen $2x^2-8=0$
  • Lös ekvationen $(x+4)^2=100$

Kommentarer

Marcus

Är det inte okej på fråga 1 att svara med ”3, -3”? Tänkte att eftersom genomgången la lite tryck på det hela så var det relevant.

Lukas Klasson

tycker ni borde ta bort play-symbolen som hamnar mitt i videofönstret på era filmer, störande när man pausar för att läsa exemplet.

    David Admin (Moderator)

    Hej Lukas.

    Tack för din feedback. Detta är något vi kollat på redan och och det är på gång. Vi hade bara någon mer justering vi ville göra innan vi la ut den nya videospelaren. Men jag meddelar utvecklingen att detta bör prioriteras upp. Genast!

Christian Vittaniemi

Det ska stå x² = 100 i Exempel 2.
Efter att man har delat båda leden med 100. Det var nog det Ahmad menade.
10000/100 = 100
Sedan roten ur 100 = ±10

    Simon Rybrand (Moderator)

    Ja det skall det förstås stå, vi har korrigerat detta!

Raqiya Qasin

ahmed det är 10000/100 ej 1000/100 kolla noggrant en gång till.

ahmad kahwi

Hej , på exempel nr 2 , hur kan 1000/100 ger 100?? Det borde vara 10 sedan dra roten ur 10 istället för roten ur 100 eller ?
Tack på förhand

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du sade till, vi korrigerar detta!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna talet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $x^2=9$x2=9 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $x^2=25$x2=25 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $x^2=169$x2=169.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $x^2-4=12$x24=12 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $36x^2=324$36x2=324 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $5x^{^2}-44=100+x^2$5x244=100+x2

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $2x\left(3+x\right)=2\left(5x+10\right)-4\left(x-3\right)$2x(3+x)=2(5x+10)4(x3) 

    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $10(x-9)^2=90$10(x9)2=90 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm ett positivt $a$a så att $(ax)^2=16$(ax)2=16 har en lösning $x=2$x=2.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $ax^2+b=0$ax2+b=0 

    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se