...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik Högstadiet
 /   Geometri – Högstadiet

Kvadratrötter - Roten ur

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Här lär du dig vad kvadratrötter är och hur du använder dig av kvadratroten ur. Detta kallas oftast för roten ur.

Vad är kvadratroten ur eller roten ur?

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

När du drar kvadratroten ur ett tal så får du ett tal som resultat. Om du multiplicerar talet du fick med sig själv, det man kallar för att kvadrera, blir resultatet exakt det talet du drog kvadratroten ur till att börja med. Det är vad en kvadratrot är.

roten ur ett tal

Man definierar det på en snitsigt vis som att

Kvadratroten ur ett tal $a$a är det icke-negativa tal $b$b vars kvadrat är lika med $a$a.

Med symboler skriver vi meningen som $a^2=b$a2=b och man betecknar kvadratroten med en symbol som ser ut så här,  $\sqrt{\text{ }}$  .

Här kommer några vanliga exempel på kvadratrötter som är bra att lära sig utan till.

 $\sqrt{4}=2$4=2  eftersom att  $2^2=4$22=4 

 $\sqrt{9}=3$9=3  eftersom att  $3^2=9$32=9 

 $\sqrt{16}=4$16=4  eftersom att  $4^2=16$42=16

 $\sqrt{25}=5$25=5  eftersom att  $5^2=25$52=25  

 $\sqrt{36}=6$36=6  eftersom att  $6^2=36$62=36  

 $\sqrt{49}=7$49=7  eftersom att  $7^2=49$72=49  

 $\sqrt{64}=8$64=8  eftersom att  $8^2=64$82=64  

 $\sqrt{81}=9$81=9  eftersom att  $9^2=81$92=81  

 $\sqrt{100}=10$100=10  eftersom att  $10^2=100$102=100  

 $\sqrt{121}=11$121=11  eftersom att  $11^2=121$112=121  

 $\sqrt{144}=12$144=12  eftersom att  $12^2=144$122=144  

När du beräkna kvadratroten ur ett tal så får du alltså det positiva tal som multiplicerat med sig självt som blir talet. 

Viktigt att notera här är att när du tar roten ur ett tal så ges alltså endast ett positivt tal, inte ett negativt tal. När du löser en andragradsekvation kan dock en lösning till en ekvation vara negativ.

Roten ur beräknas i prioriteringsreglerna i samma ordning som parenteser, dvs före multiplikation och division.Det kan vara bra att i samband med denna lektion att också lära sig om potenser och potenslagarna då roten ur är en form av potens. Roten ur används i en mängd olika beräkningar och för att lösa ekvationer. Bland annat är det viktigt för att kunna använda sig av pythagoras sats.

Exempel

Exempel 1

Beräkna följande
a) $\sqrt{36}$36 
b) $\sqrt{144}$144 
c) $\sqrt{1}$1 
d) $\sqrt{2,25}$2,25

Lösning:

a)
Här söker vi det tal multiplicerat med sig självt som blir $36$36. Det talet är $6$6 då $6\cdot6=36$6·6=36.
Alltså gäller att $\sqrt{36}=6$36=6.

a)
Här söker vi det tal multiplicerat med sig självt som blir $144$144 . Det talet är $12$12 då $12\cdot12=144$12·12=144 .
Alltså gäller att $\sqrt{144}=12$144=12 .

a)
Här söker vi det tal multiplicerat med sig självt som blir $1$1. Det talet är $1$1$1\cdot1=1$1·1=1.
Alltså gäller att $\sqrt{1}=1$1=1 .

a)
Här söker vi det tal multiplicerat med sig självt som blir $2,25$2,25. Det är lite svårare att beräkna utan en räknare.
Slår vi det på miniräknaren får vi $\sqrt{2,25}=1,5$2,25=1,5.

Exempel 2

Beräkna $4\cdot\sqrt{9}-2\cdot\sqrt{4}$4·92·4 

Lösning:

Vi börjar med att beräkna roten ur.

 $4\cdot\sqrt{9}-2\cdot\sqrt{4}=4\cdot3-2\cdot2$4·92·4=4·32·2

Nu beräknar vi multiplikationen och avslutar med subtraktion

  $4\cdot3-2\cdot2=12-4=8$4·32·2=124=8 

Lösa ekvationer med roten ur

Ett viktigt användningsområde för kvadratrötter är att lösa andragradsekvationer. Då roten ur är motsatsen till kvadraten (upphöjt till) så är det ett sätt att lösa ut den okända variabeln. Det är viktigt att känna till att det då kan finnas två lösningar även om roten ur ett tal alltid är positivt.

Om du exempelvis har ekvationen $x^2=16$x2=16 så har den lösningarna $x=\pm4$x=±4 då $4^2=16$42=16 och $\left(-4\right)^2=16$(4)2=16

Exempel 3

Lös ekvationen $x^2=3^2+4^2$x2=32+42 

Lösning:

Vi börjar med att  räkna ut högerledet

 $x^2=3^2+4^2$x2=32+42 
 $x^2=9+16$x2=9+16 
 $x^2=25$x2=25 

Nu tar vi roten ur bägge sidor av ekvationen

 $\sqrt{x^2}=\sqrt{25}$x2=25 
 $x=\pm5$x=±5 

Tänk här på att detta är en ekvation och att vi då har två lösningar även om roten ur ett ett tal alltid är positivt.

Roten ur som en potens

Kvadratroten ur ett tal är samma sak som att upphöja talet till en halv, dvs $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$a=a12 .

Det går alltså skriva roten ur som en potens med en exponent som är ett bråktal (rationellt tal). Detta hänger samman med potensreglerna och är viktigt att förstå för att kunna lösa en del typer av ekvationer, t.ex. potensekvationer.

Exempel 4

Skriv $\sqrt{3}$3 som en potens.

Lösning:

Vi använder potensregeln $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$a=a12  och skriver $\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}$3=312 .

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $\sqrt{64}$64 utan räknare.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $\sqrt{144}$144 utan räknare.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $10\cdot\sqrt{100}\cdot\sqrt{1}$10·100·1 utan räknare

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $\frac{\sqrt{10000}}{100}$10000100  utan räknare

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $\sqrt{\sqrt{81}}$81 utan räknare

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $\sqrt{3}$3 med miniräknare och avrunda till tre decimaler.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $2\cdot\sqrt{9}-8+4\cdot\sqrt{49}$2·98+4·49 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{2,25}+0,5}+3$642,25+0,5 +3 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se