Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 1b
/ Förberedande Aritmetik
Kvadratrötter - Roten ur
Innehåll
Här lär du dig vad kvadratrötter är och hur du använder dig av kvadratroten ur. Detta kallas oftast för roten ur.
Vad är kvadratroten ur eller roten ur?
När du drar kvadratroten ur ett tal så får du ett tal som resultat. Om du multiplicerar talet du fick med sig själv, det man kallar för att kvadrera, blir resultatet exakt det talet du drog kvadratroten ur till att börja med. Det är vad en kvadratrot är.
Man definierar det på en snitsigt vis som att
Kvadratroten ur ett tal $a$a är det icke-negativa tal $b$b vars kvadrat är lika med $a$a.
Med symboler skriver vi meningen som $a^2=b$a2=b och man betecknar kvadratroten med en symbol som ser ut så här, $\sqrt{\text{ }}$√ .
Här kommer några vanliga exempel på kvadratrötter som är bra att lära sig utan till.
$\sqrt{4}=2$√4=2 eftersom att $2^2=4$22=4
$\sqrt{9}=3$√9=3 eftersom att $3^2=9$32=9
$\sqrt{16}=4$√16=4 eftersom att $4^2=16$42=16
$\sqrt{25}=5$√25=5 eftersom att $5^2=25$52=25
$\sqrt{36}=6$√36=6 eftersom att $6^2=36$62=36
$\sqrt{49}=7$√49=7 eftersom att $7^2=49$72=49
$\sqrt{64}=8$√64=8 eftersom att $8^2=64$82=64
$\sqrt{81}=9$√81=9 eftersom att $9^2=81$92=81
$\sqrt{100}=10$√100=10 eftersom att $10^2=100$102=100
$\sqrt{121}=11$√121=11 eftersom att $11^2=121$112=121
$\sqrt{144}=12$√144=12 eftersom att $12^2=144$122=144
När du beräkna kvadratroten ur ett tal så får du alltså det positiva tal som multiplicerat med sig självt som blir talet.
Viktigt att notera här är att när du tar roten ur ett tal så ges alltså endast ett positivt tal, inte ett negativt tal. När du löser en andragradsekvation kan dock en lösning till en ekvation vara negativ.
Det kan vara bra att i samband med denna lektion att också lära sig om potenser och potenslagarna då roten ur är en form av potens. Roten ur används i en mängd olika beräkningar och för att lösa ekvationer. Bland annat är det viktigt för att kunna använda sig av pythagoras sats.
Exempel
Exempel 1
Beräkna följande
a) $\sqrt{36}$√36
b) $\sqrt{144}$√144
c) $\sqrt{1}$√1
d) $\sqrt{2,25}$√2,25
Lösning
a) Här söker vi det tal multiplicerat med sig självt som blir $36$36. Det talet är $6$6 då $6\cdot6=36$6·6=36.
Alltså gäller att $\sqrt{36}=6$√36=6.
b) Här söker vi det tal multiplicerat med sig självt som blir $144$144 . Det talet är $12$12 då $12\cdot12=144$12·12=144 .
Alltså gäller att $\sqrt{144}=12$√144=12 .
c) Här söker vi det tal multiplicerat med sig självt som blir $1$1. Det talet är $1$1 då $1\cdot1=1$1·1=1.
Alltså gäller att $\sqrt{1}=1$√1=1 .
d) Här söker vi det tal multiplicerat med sig självt som blir $2,25$2,25. Det är lite svårare att beräkna utan en räknare.
Slår vi det på miniräknaren får vi $\sqrt{2,25}=1,5$√2,25=1,5.
Exempel 2
Beräkna $4\cdot\sqrt{9}-2\cdot\sqrt{4}$4·√9−2·√4
Lösning
Vi börjar med att beräkna roten ur.
$4\cdot\sqrt{9}-2\cdot\sqrt{4}=4\cdot3-2\cdot2$4·√9−2·√4=4·3−2·2
Nu beräknar vi multiplikationen och avslutar med subtraktion
$4\cdot3-2\cdot2=12-4=8$4·3−2·2=12−4=8
Lösa ekvationer med roten ur
Ett viktigt användningsområde för kvadratrötter är att lösa andragradsekvationer. Då roten ur är motsatsen till kvadraten (upphöjt till) så är det ett sätt att lösa ut den okända variabeln. Det är viktigt att känna till att det då kan finnas två lösningar även om roten ur ett tal alltid är positivt.
Om du exempelvis har ekvationen $x^2=16$x2=16 så har den lösningarna $x=\pm4$x=±4 då $4^2=16$42=16 och $\left(-4\right)^2=16$(−4)2=16.
Exempel 3
Lös ekvationen $x^2=3^2+4^2$x2=32+42
Lösning
Vi börjar med att beräkna högerledet
$x^2=3^2+4^2$x2=32+42
$x^2=9+16$x2=9+16
$x^2=25$x2=25
Nu tar vi roten ur bägge sidor av ekvationen
$\sqrt{x^2}=\sqrt{25}$√x2=√25
$x=\pm5$x=±5
Tänk här på att detta är en ekvation och att vi då har två lösningar även om roten ur ett ett tal alltid är positivt.
Roten ur som en potens
Kvadratroten ur ett tal är samma sak som att upphöja talet till en halv, dvs $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$√a=a12 .
Det går alltså skriva roten ur som en potens med en exponent som är ett bråktal (rationellt tal). Detta hänger samman med potensreglerna och är viktigt att förstå för att kunna lösa en del typer av ekvationer, t.ex. potensekvationer.
Exempel 4
Skriv $\sqrt{3}$√3 som en potens.
Lösning
Vi använder potensregeln $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$√a=a12 och skriver $\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}$√3=312 .
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (12)
-
1. Premium
Beräkna $\sqrt{9}$√9 utan räknare.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: kvadratroten ur kvadratrötter roten urRättar... -
-
2. Premium
Beräkna $\sqrt{64}$√64 utan räknare.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: kvadratroten ur kvadratrötter roten urRättar... -
-
3. Premium
Beräkna $\sqrt{1}$√1 utan räknare.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: kvadratroten ur kvadratrötter roten urRättar... -
-
4. Premium
Beräkna $\sqrt{144}$√144 utan räknare.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: kvadratroten ur kvadratrötter roten urRättar... -
-
5. Premium
Beräkna $\sqrt{900}$√900 utan räknare.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: kvadratroten ur kvadratrötter roten urRättar... -
-
6. Premium
Beräkna $\sqrt{3}$√3 med miniräknare och avrunda till tre decimaler.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: kvadratroten ur roten urRättar... -
-
7. Premium
Beräkna $\sqrt{8,644}$√8,644 med miniräknare och avrunda till tre decimaler.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: kvadratroten ur roten urRättar... -
-
8. Premium
Beräkna $10\cdot\sqrt{100}\cdot\sqrt{1}$10·√100·√1 utan räknare
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: kvadratroten ur kvadratrötter roten urRättar... -
-
9. Premium
Beräkna $\frac{\sqrt{10\text{ }000}}{100}$√10 000100 utan räknare.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: kvadratroten ur kvadratrötter roten urRättar... -
-
10. Premium
Beräkna $\sqrt{\sqrt{81}}$√√81 utan räknare.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: kvadratroten ur roten urRättar... -
-
11. Premium
Lös ekvationen $x^2=9$x2=9
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvation roten urRättar... -
12. Premium
Beräkna $2\cdot\sqrt{9}-8+4\cdot\sqrt{49}$2·√9−8+4·√49
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Prioriteringsreglerna roten urRättar... -
c-uppgifter (2)
-
13. Premium
Bestäm utan räknare om $3\sqrt{6}$3√6 eller $6\sqrt{3}$6√3 är störst, eller om de är lika stora.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Kvadratrötter - Roten urLiknande uppgifter: aritmetik kvadratrötterRättar... -
14. Premium
Beräkna $\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{2,25}+0,5}+$√64√2,25+0,5 +$3$3 utan räknare.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: kvadratrot prioriteringsregler roten urRättar... -
Oscar
Hej.
I exempel 8 så får jag inte riktigt ihop det.
Enligt eran lösning så räknar ni först roten ur 64 och 2,25.
Och innan ni delar 8 med 1,5 så adderar ni 2.25 med 0.5
Skall man inte dividera först innan man adderar ?
Simon Rybrand (Moderator)
Nej där behöver du först räkna ut det som står över och under delat med tecknet.
Endast Premium-användare kan kommentera.