00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3b
/  Genomgångar nationella prov Ma3b

Kvadratrötter - Roten ur

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Här lär du dig vad kvadratrötter är och hur du använder dig av kvadratroten ur. Detta kallas oftast för roten ur.

Vad är kvadratroten ur eller roten ur?

När du drar kvadratroten ur ett tal så får du ett tal som resultat. Om du multiplicerar talet du fick med sig själv, det man kallar för att kvadrera, blir resultatet exakt det talet du drog kvadratroten ur till att börja med. Det är vad en kvadratrot är.

roten ur ett tal

Man definierar det på en snitsigt vis som att

Kvadratroten ur ett tal aaa är det icke-negativa tal bbb vars kvadrat är lika med aaa.

Med symboler skriver vi meningen som a2=ba^2=ba2=b och man betecknar kvadratroten med en symbol som ser ut så här,   \sqrt{\text{ }} .

Här kommer några vanliga exempel på kvadratrötter som är bra att lära sig utan till.

 4=2\sqrt{4}=24=2  eftersom att  22=42^2=422=4 

 9=3\sqrt{9}=39=3  eftersom att  32=93^2=932=9 

 16=4\sqrt{16}=416=4  eftersom att  42=164^2=1642=16

 25=5\sqrt{25}=525=5  eftersom att  52=255^2=2552=25  

 36=6\sqrt{36}=636=6  eftersom att  62=366^2=3662=36  

 49=7\sqrt{49}=749=7  eftersom att  72=497^2=4972=49  

 64=8\sqrt{64}=864=8  eftersom att  82=648^2=6482=64  

 81=9\sqrt{81}=981=9  eftersom att  92=819^2=8192=81  

 100=10\sqrt{100}=10100=10  eftersom att  102=10010^2=100102=100  

 121=11\sqrt{121}=11121=11  eftersom att  112=12111^2=121112=121  

 144=12\sqrt{144}=12144=12  eftersom att  122=14412^2=144122=144  

När du beräkna kvadratroten ur ett tal så får du alltså det positiva tal som multiplicerat med sig självt som blir talet. 

Viktigt att notera här är att när du tar roten ur ett tal så ges alltså endast ett positivt tal, inte ett negativt tal. När du löser en andragradsekvation kan dock en lösning till en ekvation vara negativ.

Roten ur beräknas i prioriteringsreglerna i samma ordning som parenteser, dvs före multiplikation och division.Det kan vara bra att i samband med denna lektion att också lära sig om potenser och potenslagarna då roten ur är en form av potens. Roten ur används i en mängd olika beräkningar och för att lösa ekvationer. Bland annat är det viktigt för att kunna använda sig av pythagoras sats.

Exempel

Exempel 1

Beräkna följande
a) 36\sqrt{36}36 
b) 144\sqrt{144}144 
c) 1\sqrt{1}1 
d) 2,25\sqrt{2,25}2,25

Lösning:

a)
Här söker vi det tal multiplicerat med sig självt som blir 363636. Det talet är 666 då 66=366\cdot6=366·6=36.
Alltså gäller att 36=6\sqrt{36}=636=6.

a)
Här söker vi det tal multiplicerat med sig självt som blir 144144144 . Det talet är 121212 då 1212=14412\cdot12=14412·12=144 .
Alltså gäller att 144=12\sqrt{144}=12144=12 .

a)
Här söker vi det tal multiplicerat med sig självt som blir 111. Det talet är 11111=11\cdot1=11·1=1.
Alltså gäller att 1=1\sqrt{1}=11=1 .

a)
Här söker vi det tal multiplicerat med sig självt som blir 2,252,252,25. Det är lite svårare att beräkna utan en räknare.
Slår vi det på miniräknaren får vi 2,25=1,5\sqrt{2,25}=1,52,25=1,5.

Exempel 2

Beräkna 49244\cdot\sqrt{9}-2\cdot\sqrt{4}4·92·4 

Lösning:

Vi börjar med att beräkna roten ur.

 4924=43224\cdot\sqrt{9}-2\cdot\sqrt{4}=4\cdot3-2\cdot24·92·4=4·32·2

Nu beräknar vi multiplikationen och avslutar med subtraktion

  4322=124=84\cdot3-2\cdot2=12-4=84·32·2=124=8 

Lösa ekvationer med roten ur

Ett viktigt användningsområde för kvadratrötter är att lösa andragradsekvationer. Då roten ur är motsatsen till kvadraten (upphöjt till) så är det ett sätt att lösa ut den okända variabeln. Det är viktigt att känna till att det då kan finnas två lösningar även om roten ur ett tal alltid är positivt.

Om du exempelvis har ekvationen x2=16x^2=16x2=16 så har den lösningarna x=±4x=\pm4x=±4 då 42=164^2=1642=16 och (4)2=16\left(-4\right)^2=16(4)2=16

Exempel 3

Lös ekvationen x2=32+42x^2=3^2+4^2x2=32+42 

Lösning:

Vi börjar med att  räkna ut högerledet

 x2=32+42x^2=3^2+4^2x2=32+42 
 x2=9+16x^2=9+16x2=9+16 
 x2=25x^2=25x2=25 

Nu tar vi roten ur bägge sidor av ekvationen

 x2=25\sqrt{x^2}=\sqrt{25}x2=25 
 x=±5x=\pm5x=±5 

Tänk här på att detta är en ekvation och att vi då har två lösningar även om roten ur ett ett tal alltid är positivt.

Roten ur som en potens

Kvadratroten ur ett tal är samma sak som att upphöja talet till en halv, dvs a=a12\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}a=a12 .

Det går alltså skriva roten ur som en potens med en exponent som är ett bråktal (rationellt tal). Detta hänger samman med potensreglerna och är viktigt att förstå för att kunna lösa en del typer av ekvationer, t.ex. potensekvationer.

Exempel 4

Skriv 3\sqrt{3}3 som en potens.

Lösning:

Vi använder potensregeln a=a12\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}a=a12  och skriver 3=312\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}3=312 .