00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 1b
/  Algebra
Ekvationer

Potensekvationer

Författare:Simon Rybrand Anna Karp
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Vad är en potensekvation

En potensekvation är en ekvation där minst ett av leden innehåller en potens med variabeln i basen.

Potensekvation vad är det

Exempelvis är x5=7 x^5 = 7 en potensekvation där vi har den okända variabeln xxx i basen i vänsterledet.

I den här lektionen går vi igenom hur man löser potensekvationer med hjälp av roten ur och potenslagarna.

Vill du repetera potenslagarna så återvänd till lektionen Potenser och potenslagarna.

Definition av Potensekvation

Potensekvation

En potensekvation är en ekvation på formen

kxn=akx^n=akxn=a

där k, nk,\text{ }nk, n  och aaa är kända tal och xxx  en variabel.

Potenslagar

För att kunna lösa potensekvaitoner utan räknare är det nödvändigt att använda sig av potenslagarna. Vi repeterar dem kort här.


am⋅an=am+n a^m \cdot a^n = a^{m + n}

aman=am–n \frac{a^m}{a^n} = a^{m – n}

(am)n=am⋅n (a^m)^n = a^{m \cdot n}

(a⋅b)x=ax⋅bx (a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x

a0=1 a^0 = 1

a−x=1ax a^{-x} = \frac{1}{a^x}

a12=a a^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{a}

a1x=ax a^{ \frac{1}{x} } = \sqrt[x]{a}

Vill du se bevisen för de olika lagarna så återvänd till lektionen Potenser och potenslagarna.

Lösa potensekvationer med roten ur

Att lösa potensekvationer går ut på att få exponenten som den okända variabeln upphöjs till en etta. En av metoderna för att lyckas med det är att genomföra ”roten ur” beräkningar.  Enligt definition gäller att

ann=a\sqrt[n]{a^n}=an√an=a

Vi använder ”samma” roten ur som exponenten. Om den okända variabeln upphöjs till 555 tar vi alltså 55:e roten ur bägge led  för att lösa ekvationen.

Exempel 1

Lös ekvationen x5=7x^5=7x5=7

Lösning

Vi löser ekvationen med femte roten

 x5=7x^5=7x5=7        vi drar femte roten ur båda leden

x=75≈1,476x=\sqrt[5]{7}\approx1,476x=5√7≈1,476

Om den okända variabeln upphöjs till nnn tar vi alltså nn:e roten ur bägge led för att lösa ekvationen.

Denna lösningsmetod är effektiv om du har tillgång till en räknare. Men om så inte är fallet behöver du även kunna en annan metod. Den använder sig av potenslagarna.

Lösa potensekvationer med potenslagarna

Vi vill skriva om ekvationen så att exponenten i potensekvationen till en etta. Få då har vi löst ekvationen. För att lyckas med det utnyttjar vi potenslagarna. Vi vet att  (ax)y=ax⋅y(a^x)^y=a^{x\cdot y}(ax)y=ax·y  vilket leder till följande.

(an)1n\left(a^n\right)^{\frac{1}{n}}(an)1n  =a=a=a

Det är detta vi vill utnyttja. Om den okända variabeln upphöjs till nnn så upphöjer vi båda leden med exponentens invers, vilket är 1n\frac{1}{n}1n .

Exempel 2

Lös ekvationen x5=7x^5=7x5=7

Lösning

Vi löser ekvationen med potenslagarna

x5=7x^5=7x5=7        upphöj med en femtedel i båda leden

x=71/5≈1,476x=7^{1/5}\approx1,476x=71/5≈1,476

Detta eftersom att  (x5)15=x5⋅15=x1=x\left(x^5\right)^{\frac{1}{5}}=x^{5\cdot\frac{1}{5}}=x^1=x(x5)15 =x5·15 =x1=x

Dess båda sätt att lösa potensekvationer är likvärdiga. För vi vet att följande gäller.

 a1n=ana^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}a1n =n√a 

Antal lösningar till potensekvationer

På grund av att ett negativt tal gånger sig självt ett jämt antal gånger alltid ger ett positivt resultat kommer vi få olika antal lösningar på ekvationen beroende på om exponenten är jämn eller udda.

Ekvationen kxn=akx^n=akxn=a  där a, ka,\text{ }ka, k och nnn är konstanter och ak≥0\frac{a}{k}\ge0ak ≥0, har

en reell lösning då nnn är ett udda tal och

två reella lösningar då nnn är ett jämt tal. 

Det innebär att ekvationerna  x3=27, 4x11=5x^3=27,\text{ }4x^{11}=5x3=27, 4x11=5  och  0,4x31=20,4x^{31}=20,4x31=2 alla har en lösning var eftersom att exponenterna är udda tal, medan ekvationerna   x2=25, 12x8=144x^2=25,\text{ }12x^8=144x2=25, 12x8=144  och x245=\frac{x^{24}}{5}=x245 =333 alla har två lösningar var. En positiv och en negativ rot. 

Så löser du svårare potensekvationer

En hel del av de potensekvationer du förväntas kunna lösa i denna kurs behöver bearbetas innan vi använder någon av metoderna ovan. Observera detta. Du måste först förenkla uttrycket så att potensen med variabeln i inte har någon koefficient. Ett exempel på det är följande ekvation.

Exempel 3

Lös ekvationen  12x8=14412x^8=14412x8=144

Lösning

Dividera först båda leden med 121212

 12x812=14412\frac{12x^8}{12}=\frac{144}{12}12x812 =14412  

x8=12x^8=12x8=12

Nu tar vi åttonderoten ur båda leden för att få xxx självt i VL

x88=128\sqrt[8]{x^8}=\sqrt[8]{12}8√x8=8√12

 x≈1,364x\approx1,364x≈1,364 

I det här fallet så är även en lösning  x=−128≈−1,364x=-\sqrt[8]{12}\approx-1,364x=−8√12≈−1,364  eftersom att xxx är upphöjt till ett jämnt tal och därmed har två lösningar.

Det gäller eftersom att (1,364)8=(−1,364)8\left(1,364\right)^8=\left(-1,364\right)^8(1,364)8=(−1,364)8.

Självklart kan du även upphöja med en åttondel för att få fram samma lösning till ekvationen.

 x=±121/8≈±1,364x=\pm12^{1/8}\approx\pm1,364x=±121/8≈±1,364 

Steg för steg

1 6x5−2=16x^5-2=16x5−2=1 Börja med att addera med 2 i bägge leden
2 6x5−2+2=1+26x^5-2+2=1+26x5−2+2=1+2  
3 6x5=36x^5=36x5=3 Dela med 6
4  6x56=36\frac{6x^5}{6}=\frac{3}{6}6x56 =36    
5 x5=0,5x^5=0,5x5=0,5  
6 x55=0,55\sqrt[5]{x^5}=0,5^55√x5=0,55 Femte roten ur
Lösning x≈0,87x\approx0,87x≈0,87  

Lös potensekvationer med GeoGebra

På GeoGebra hittar du roten genom att klicka på nere i vänstra hörnet, då öppnar sig tangentbordet.

 

Klicka på f(x)f\left(x\right)ƒ (x) för att komma åt symbolen och fyll i den övre rutan med den rot du vill ta och gå med piltangenterna till under rottecknet och skriv i talet du ska dra roten ur och klicka enter.

Exempel 4

Lös ekvationen  x6=912x^6=912x6=912  och svara med två decimalers noggrannhet.

Endast svar krävs.

Lösning

Öppna GeoGebra. Klicka på nere i vänstra hörnet. Klicka på f(x)f\left(x\right)ƒ (x) för att komma åt symbolen .

Fyll i den övre rutan med en femma och gå med piltangenterna till under rottecknet och skriv i talet 912912912 och klicka enter.

Observera att GeoGebra bara ger den positiva roten trots att lösningen på ekvationen är x1=3,11x_1=3,11x1=3,11 och x2=−3,11x_2=-3,11x2=−3,11 .

Lös potensekvationer med räknaren

Det är inte alltid helt enkelt att veta hur man beräkna tex sjätteroten ur 64 ( 646\sqrt[6]{64}6√64 ) på en räknare. Det brukar vara lite olika kombinationer av knapptryckningar och ibland är det smidigt och ibland är det svårt. Då är det viktigt att känna till potensregeln att

an=a1/n\sqrt[n]{a}=a^{1/n}n√a=a1/n

På det här viset kan du alltid beräkna tex 641664^{\frac{1}{6}}6416 .

  1. På exempelvis Texas grafritande räknare beräkna du n:te roten ur något på följande vis:
  2. Skriv n, tex om du skall beräkna sjätteroten ur så skriver du siffran 6.
  3. Tryck på knappen MATH och välj x√
  4. Nu står det 6x√(
  5. Fyll på med a, dvs skall du beräkna sjätteroten ur 64 skriver du 64 och slutparentes.
  6. Nu skall det stå 6x√(64)
  7. Tryck enter, klart!

Vanliga fel och tips

1. Att glömma att göra variabeltermen ensam innan man tar roten ur

Typexempel:
3x5=103x^5=103x5=10
x=1013≈2,15x=10^{\frac{1}{3}}\approx2,15x=1013 ≈2,15

I steg 1 här ovan behöver man först dela med 333 så att vi får

3x53=103\frac{3x^5}{3}=\frac{10}{3}3x53 =103  

x5=3,333x^5=3,333x5=3,333

Nu kan vi upphöja med 15\frac{1}{5}15  (femterotenur)

x=3,33315≈1,27x=3,333^{\frac{1}{5}}\approx1,27x=3,33315 ≈1,27

Potensekvationer på nationella prov

Har sammanfattar vi det som du behöver kunna om detta området innan det nationella provet i Matematik 1. Vi löser också en nationella prov uppgift på området.

  • Du behöver kunna lösa potensekvationer av typen xn=ax^n=axn=a, ibland även utan att använda räknaren.
  • På de publika nationella proven har det inte förekommit längre problemuppgifter där potensekvationer används som en del av lösningen

Exempel från HT 16, uppgift 4 (del B utan räknare)

Lös ekvationen 4x3=324x^3=324x3=32

Lösning

4x3=324x^3=324x3=32

Börja att dividera båda sidor med 444

x3=8x^3=8x3=8

Nu vet vi att vi får svaret genom

x=83x=\sqrt[3]{8}x=3√8

Dvs det tal som upphöjd med 3 blir 8. Detta tal är 2 då 23=82^3=823=8.

 x=2x=2x=2 

Exempel från VT 12, uppgift 7 (del I utan räknare)

Lös ekvationen x12=9x^{\frac{1}{2}}=9x12 =9

Detta är också en typ av potensekvation men där vi istället har fått ekvationen med x12x^{\frac{1}{2}}x12  vilket är samma sak som x\sqrt{x}√x.

Här kan vi istället upphöja bägge leden med 222 så att vi får

(x12)2=92\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2=9^2(x12 )2=92

x=81x=81x=81

Här använder vi alltså inte den vanliga metoden för att lösa potensekvationer utan får tänka efter vad x12x^{\frac{1}{2}}x12  egentligen innebär.

Exempel i videon

  1. Lös ekvationen x2=16x^2=16x2=16 
  2. Lös ekvationen x3=27x^3=27x3=27 
  3. Lös ekvationen x5=15x^5=15x5=15 
  4. Lös ekvationen 5x7=855x^7=855x7=85 
  5. Lös ekvationen x53−6=12\frac{x^5}{3}-6=12x53 −6=12 
Nästa lektion: GeoGebra och ekvationslösning

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server