Rotekvationer

Exempel 1

Lös ekvationen  $\sqrt{x}=12$√x=12

Lösning

Kvadrera bägge leden för att eliminera rottecknet.

$\left(\sqrt{x}\right)^2=12^2$(√x)²=12²

$x=144$x=144

Exempel 2

Lös ekvationen  $\sqrt{12x+13}=x$√12x+13=x

Lösning

Kvadrera båda leden för att eliminera rottecknet. 

$12x+13=x^2$12x+13=x²

Subtrahera med $12x$12x  och  $13$13 

$x^2-12x-13=0$x²−12x−13=0

Pq formeln

$x=6\pm\sqrt{36+13}=6\pm\sqrt{49}=6\pm7$x=6±√36+13=6±√49=6±7

Detta ger oss lösningarna  $x_1=13$x₁=13 och  $x_2=-1$x₂=−1

Nu måste vi även pröva att lösningarna stämmer

$x_1=13$x₁=13:  $VL=\sqrt{12·13+13}=13$VL=√12·13+13=13 och  $HL=13$HL=13 Stämmer!

$x_2=-1$x₂=−1 :  $VL=\sqrt{12·\left(-1\right)+13}=\sqrt{1}=1$VL=√12·(−1)+13=√1=1 och  $HL=-1$HL=−1 Stämmer inte!

Vi har endast lösningen  $x=13$x=13

Exempel 3

Lös ekvationen  $x+\sqrt{x-1}=3$x+√x−1=3 

Lösning

Flytta först om så att du har rottecknet ensamt i VL genom att subtrahera  $x$x 

 $\sqrt{x-1}=3-x$√x−1=3−x  Kvadrera båda leden, (i HL med hjälp av andra kvadreringsregeln)

 $x-1=9-6x+x^2$x−1=9−6x+x²   Vi skriver om så vi kan använda p-q-formeln genom att subtrahera  $x$x och addera  $1$1 

  $x^2-7x+10=0$x²−7x+10=0 

Pq formeln

 $x=3,5\pm\sqrt{3,5^2-10}=3,5\pm\sqrt{2,25}=3,5\pm1,5$x=3,5±√3,5²−10=3,5±√2,25=3,5±1,5 

Detta ger oss lösningarna  $x_1=5$x₁=5 och  $x_2=-1$x₂=2

Nu måste vi även pröva att lösningarna stämmer

$x_1=5$x₁=5:  $VL=5+\sqrt{5-1}=7$VL=5+√5−1=7 och  $HL=3$HL=3 Stämmer inte!

$x_2=-1$x₂=2 :  $VL=2+\sqrt{2-1}=3$VL=2+√2−1=3 och  $HL=-1$HL=3 Stämmer!

Vi har endast lösningen  $x=13$x=2