Nationellt prov Matematik 2c vt 2014 DEL D

För att kontrollera att alla kanelsnäckor som bakas på ett bageri väger ungefär lika mycket vägs kanelsnäckorna. Det visar sig att vikten är normalfördelad med medelvikten $80$80 gram och standardavvikelsen $3$3 gram.

Hur många kanelsnäckor kan förväntas väga mer än $86$86 gram, om man en dag bakar $400$400 kanelsnäckor?

I figuren nedan är $M$M cirkelns medelpunkt. Punkterna $A,\text{ }B$A, B och $C$C ligger på cirkelns rand.

Bestäm vinkeln $v$v.

Figuren nedan visar grafen till en andragradsfunktion $f$ƒ  där $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax²+bx+c och där $a$a, $b$b och $c$c är konstanter.

a) Bestäm konstanten $c$c med hjälp av figuren. Motivera.

b) Vilket av funktionsvärdena $f\left(-5\right)$ƒ (−5) eller $f\left(10\right)$ƒ (10) är minst? Motivera.

Inom medicin används radioaktiva ämnen för att undersöka kroppens inre organ, till exempel njurar. Det radioaktiva ämne som används i undersökningen sönderfaller relativt fort. Detta medför att ämnet måste användas snabbt efter att det tillverkats så att inte aktiviteten hinner sjunka för mycket. Aktivitet är sönderfall per sekund och har enheten Becquerel (Bq).

Det tar $8,0$8,0 timmar för aktiviteten att minska exponentiellt från $11,5$11,5 MBq till $4,6$4,6 MBq.

a) Med hur många procent avtar aktiviteten per timme?

b) Hur stor är aktiviteten efter ett dygn om den var $11,5$11,5 MBq från början?

En plattläggare gör rektangulära uteplatser genom att lägga kvadratiska trädgårdsplattor enligt ett visst mönster. Han använder grå och svarta plattor, alla med samma storlek.

I figuren nedan visas uteplats $A$A och uteplats $B$B som plattläggaren lagt. För uteplats $A$A är den totala kostnaden för plattorna $1422$1422 kr. För uteplats $B$B är den totala kostnaden för plattorna $1000$1000 kr.

a) Beräkna priset för en grå respektive en svart platta.

Plattläggaren vill snabbt kunna göra kostnadsberäkningar för plattor vid beställning av uteplatser. Han betecknar antalet plattor utmed uteplatsens ena sida med $x$x och antalet plattor utmed uteplatsens andra sida med $y$y, se figur nedan.

b) Visa att den totala kostnaden för plattorna kan bestämmas med formeln  $K_{\text{tot}}=52x+52y+31,80xy-104$K_tot=52x+52y+31,80xy−104 för alla rektangulära uteplatser som är möjliga att lägga. Uteplatserna innehåller alltid både svarta och grå plattor där de svarta plattorna ligger som en ram.

Demy och Oskar diskuterar hur mycket pengar i kontanter ungdomar i deras egen ålder har med sig till skolan. De bestämmer sig för att göra en undersökning i en klass. Demy och Oskar lämnar ut en lapp med frågan ”Hur mycket pengar har du med dig idag?” och får svar från alla 19 eleverna i klassen. Resultatet redovisar de i lådagrammet nedan.

Undersök i vilket/vilka intervall A-D medelvärdet $M$M kan ligga. Motivera.

A.  $0\le M<6$0≤M<6

B.  $6\le M<20$6≤M<20 

C.  $20\le M<31$20≤M<31 

D.  $31\le M<112$31≤M<112 

Figuren nedan visar graferna till två funktioner $f$ƒ  och  $g$g där  $f\left(x\right)=-x^2+5x$ƒ (x)=−x²+5x och  $g\left(x\right)=-2x+15$g(x)=−2x+15 

a) Avståndet $A$A mellan kurvorna i $y$y-led är beroende av värdet av $x$x.
    Bestäm $A$A som funktion av $x$x.

b) Bestäm det minsta avståndet mellan kurvorna i $y$y-led.

I en likbent triangel dras en linje så att linjen delar triangeln i en topptriangel och ett parallelltrapets. Topptriangelns bas blir gemensam med en av sidorna i parallelltrapetset och får längden $9,0$9,0 cm. Topptriangelns andra två sidor blir då $8,0$8,0 cm vardera.

Beräkna längden av parallelltrapetsets sidor om topptriangeln har lika stor omkrets som parallelltrapetset.