00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2
A
/  Algebra, Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Exponentialfunktioner

Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Exponentialfunktioner skrivs på formen y=Caxy=C\cdot a^xy=C·ax . De kännetecknas av att ha variabeln i exponenten.

De är mycket användbara när du vill beräkna och beskriva upprepade procentuella förändringar.

Exponentialfunktioner

En funktion där variabeln återfinns i exponenten kallas för en exponentialfunktion.

Definition

En exponentialfunktion skrivs på formen

y=Caxy=C\cdot a^xy=C·ax

där CCC och aaa är konstanter och a>0a>0a>0.

Skillnaden på en exponentialfunktion och en linjära funktion

Tillskilland från en linjär funktion, som ökar eller minskar konstant, eller med andra ord lika mycket hela tiden, så ökar eller minskar exponentialfunktionen procentuellt lika mycket hela tiden. Det ledet till att vi inte får en graf som är en rät linje utan böjd, ungefär som en som en skidbacke, uppåt eller neråt.

Vi kommer i denna lektion fokusera på att lära oss teckna och känna igen exponentialfunktioner.

Exempel 1

Ni har fått i uppgift att ange vilka av exemplen nedan som kan beskrivas med en exponentialfunktion respektive en linjär funktion.

A. Aktien minskade i värde med lika många procent varje år.

B. Antalet invånare ökar med lika många personer per år.

C. Priset på godiset är proportionellt mot viken.

D. Smittspridningen ökade procentuellt lika mycket varje dag under en vecka.

Lösning

Om antalet ökar eller minskar med lika många varje gång har vi en så kallad linjära förändring.
Om antalet ökar eller minskar med lika många procent varje gång har vi en så kallad exponentiell förändring.

A. Aktien minskade i värde med lika många procent varje år. – En exponentiell förändring

B. Antalet invånare ökar med lika många personer per år. – En linjär förändring

C. Priset på godiset är proportionellt mot viken. – Alla proportionella förhållande är linjära förändringar

D. Smittspridningen ökade procentuellt lika mycket varje dag under en vecka. – En exponentiell förändring

Variabeln i basen eller exponenten

Exponentialfunktionen är en icke-linjär funktion. Det innebär som sagt att förändringen, tillskillnad från linjära funktioner, inte är konstant. Du kan avgöra vilken av dessa funktioner det är genom att undersöka om variabeln är en bas eller exponent.

skillnaden på potensfunktion och Exponentialfunktion

  • Om variabeln är i basen är det en potensfunktion.
  • Om variabeln är i exponenten är det en exponentialfunktion.

Som du ser är detta snarlika skrivningar med en stor skillnad: variabelns placering!

De linjära funktionerna är en av flera olika potensfunktioner. Vi titta närmre på dessa i en kommande lektion.

Tillämpningar exponentialfunktioner

Många tillämpningar med exponentialfunktioner baseras på upprepade procentuella förändringar. Därför är det viktigt att du känner till begreppet förändringsfaktor. De olika variablerna och konstanterna i funktionen betyder oftast följande.

Begrepp

yyy  motsvarar funktionsvärdet
CCC motsvarar startvärdet, funktionens värde när  x=0x=0x=0
aaa motsvarar förändringsfaktorn
xxx  motsvarar ofta antalet förändringar

Notera igen att CCC och aaa är konstanter i funktioner. Det vill säga det har ett numeriskt värde, tillexempel 100100100 eller 1,341,341,34. Det är bara xxx och  yyy som är variabler.

Vi tittar nu på ett exempel på upprepad procentuell förändring som effektivast kan beräknas med en exponentialfunktion.

Exempel 2


Du sätter in 500050005000 kronor på ett bankkonto med räntan 2,5 %2,5\text{ }\%2,5 % per år.

a) Teckna en exponentialfunktion som beskriver hur kapitalet yyy kr på kontot förändras, där xxx är tiden räknat i år .
b) Använd funktionen och bestäm hur mycket pengar du har på kontot efter 12 år, om du inte satt in eller tagit ut några pengar.

Lösning

a) Vårt startvärde är 500050005000 kronor.

Räntan är 2,5 %2,5\text{ }\%2,5 % vilket motsvarar förändringsfaktorn 1,0251,0251,025   eftersom att det är du får räntan när du lånar av banken.

Tiden xxx beskriver antalet år efter att vi satt in pengarna.

Vi kan beskriva hur pengarna yyy kr ökar på kontot med funktionen

y=50001,025xy=5000\cdot1,025^xy=5000·1,025x

b) För att ta reda på hur mycket pengar vi har på kontot efter 121212 år, sätter vi in x=12x=12x=12 i funktionsuttrycket och beräknar  yyy

y(12)=50001,025126 724y\left(12\right)=5000\cdot1,025^{12}\approx6\text{ }724y(12)=5000·1,025126 724

Kapitalet har växt till ca 6 7236\text{ }7236 723 kronor på kontot efter 12 år.

I modellen ovan är startvärdet  C=5000C=5000C=5000 kr och förändringsfaktorn a=1,025a=1,025a=1,025. Du ska nu själv få undersöka hur olika värden på konstanterna CCC och aaa påverkar utseendet på exponentialfunktionens graf.

Undersök exponentialfunktionens graf

Undersök grafens utseende genom att dra i reglagen för CCC och aaa.

Hur förändras grafens utseende då CCC ökar eller minskar?

Hur förändras grafens utseende då aaa ökar eller minskar?

Sammanfattningsvis kan vi konstatera att för en exponentialfunktion där både CCC och a>1a>1a>1 motsvarar en graf som är växande. Det innebär att när värdet på xxx ökar, ökar även yyy-värdet. Förändringsfaktorn motsvarar då en procentuell ökning. Väldigt skissartat skulle den kunna se ut på följande vis.

Om däremot CCC är positivt och  0<0<0< a<1a<1a<1  kommer motsvarar en graf som är avtagande. Det innebär att när xxx-värdet ökar, minska yyy-värdet. Förändringsfaktorn motsvarar då en procentuell minskning. Lika skissartat skulle den kunna se ut på följande vis.

Om CCC däremot är ett negativa tal kommer grafen speglas i xxx -axeln.

Exempel 3

Är exponentialfunktionen y=1001,05xy=100\cdot1,05^xy=100·1,05x  växande eller avtagande?

Lösning

Om vi ritar grafen till exponentialfunktionen så se den ut på följande vis.

Exponentialfunktion

Kurvan skär yyy-axeln i y=100y=100y=100, det som benämns konstanten CCC ovan och kallas för startvärdet. Eftersom att ju större xxx-värdet blir, ju större blir också yyy -värdet så är kurvan exponentiellt växande. Det innebär att funktionens värde ökar hela tiden. Detta inträffar när förändringsfaktorn a>1a>1a>1.

Exempel 4

Är exponentialfunktionen y=1000,5xy=100\cdot0,5^xy=100·0,5x  växande eller avtagande?

Lösning

Om vi ritar grafen till exponentialfunktionen så se den ut på följande vis.

Avtagande exponentialfunktion

Notera återigen att kurvan skär yyy-axeln i y=100y=100y=100, men den här funktionen är exponentiellt avtagande eftersom att ju större xxx blir, blir funktionsvärde  yyy mindre och mindre. Exponentialfunktionen där förändringsfaktorn finns i intervallet 0<0<0< a<1a<1a<1 kommer alltid vara avtagande för alla värden på xxx. Alltså funktionens värde minskar och minskar ju större  xxx -värden funktionen antar.

Ju större värdet på aaa är, ju snabbare förändring. Det innebär att en graf som sticker iväg väldigt snabb uppåt jämfört med en graf som ökar långsamt har ett större aaa-värde.

 Så löser du en exponentialekvation grafiskt

I Matematik 1 använder vi grafisk lösning när vi löser exponentialekvationer. Det gör vi genom att se VL och HL som två olika funktioner och tar fram deras skärningspunkt. Ekvationens lösning motsvaras av skärningspunktens xxx -värdet.

Enklast är att först skriva om ekvationen så att du endast har en konstant i ena ledet. Där efter ritar du upp dem och läser av skärningspunktens  xxx-värde.

Exempel 5

En mobils värde yyy kan beskrivas med formeln  y=3 8000,52xy=3\text{ }800\cdot0,52^xy=3 800·0,52x  där xxx är tiden i år efter inköpet.

Hur många år tar det innan mobilen bara är värd 1 0001\text{ }0001 000 kr enligt formeln?

Lösning

Vi ska lösa ekvationen  1 000=3 8000,52x1\text{ }000=3\text{ }800\cdot0,52^x1 000=3 800·0,52x  Vi ritar upp VL och HL som två olika funktioner.

Genom att läsa av xxx -värdet för grafernas skärningspunkt kan vi lösa ekvationen ungefärligt, alltså en så kallad approximativ lösning, eftersom att det är det värde på xxx som ger samma värde på yyy för de två funktionerna, i detta fall  y=1000y=1000y=1000.

Vi ser att de skär varandra där  x2x\approx2x2  vilket ger oss lösningen till ekvationen.

Efter ca två år är telefonen enligt modellen bara värd 1 0001\text{ }0001 000 kr.

En grafisk lösning genomförs alltså genom att avläsa xxx -värdet på skärningspunkten. I lektionen GeoGebra och grafisk lösning tittar vi på hur vi gör det med hjälp av ett digital hjälpmedel.

I matematik 2 lär vi oss om logaritmer för att lösa exponentialekvationer algebraiskt. Men fram till dess gör vi alltså det grafiskt.

Exempel i videon

  • En dator kostar 10 000 kr och priset höjs med 12 %, vilket blir det nya priset?
  • En dator kostar 10 000 kr och priset sänks med 20 %, vilket blir det nya priset?
  • 9000 kr sätts in på banken, ställ upp ett samband för hur värdet på pengarna ökar om räntan är x %.
  • Du sätter in 9000 kr på banken med räntan 5 %, hur mycket pengar har du efter x år?