Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
Exponentialfunktioner skrivs på formen y=C⋅axy=C·ax . De kännetecknas av att ha variabeln i exponenten.
De är mycket användbara när du vill beräkna och beskriva upprepade procentuella förändringar.
Exponentialfunktioner
En funktion där variabeln återfinns i exponenten kallas för en exponentialfunktion.
Definition
En exponentialfunktion skrivs på formen
y=C⋅axy=C·ax
där CC och aa är konstanter och a>0a>0.
Skillnaden på en exponentialfunktion och en linjära funktion
Tillskilland från en linjär funktion, som ökar eller minskar konstant, eller med andra ord lika mycket hela tiden, så ökar eller minskar exponentialfunktionen procentuellt lika mycket hela tiden. Det ledet till att vi inte får en graf som är en rät linje utan böjd, ungefär som en som en skidbacke, uppåt eller neråt.
Vi kommer i denna lektion fokusera på att lära oss teckna och känna igen exponentialfunktioner.
Exempel 1
Ni har fått i uppgift att ange vilka av exemplen nedan som kan beskrivas med en exponentialfunktion respektive en linjär funktion.
A. Aktien minskade i värde med lika många procent varje år.
B. Antalet invånare ökar med lika många personer per år.
C. Priset på godiset är proportionellt mot viken.
D. Smittspridningen ökade procentuellt lika mycket varje dag under en vecka.
Lösning
Om antalet ökar eller minskar med lika många varje gång har vi en så kallad linjära förändring.
Om antalet ökar eller minskar med lika många procent varje gång har vi en så kallad exponentiell förändring.
A. Aktien minskade i värde med lika många procent varje år. – En exponentiell förändring
B. Antalet invånare ökar med lika många personer per år. – En linjär förändring
C. Priset på godiset är proportionellt mot viken. – Alla proportionella förhållande är linjära förändringar
D. Smittspridningen ökade procentuellt lika mycket varje dag under en vecka. – En exponentiell förändring
Variabeln i basen eller exponenten
Exponentialfunktionen är en icke-linjär funktion. Det innebär som sagt att förändringen, tillskillnad från linjära funktioner, inte är konstant. Du kan avgöra vilken av dessa funktioner det är genom att undersöka om variabeln är en bas eller exponent.
- Om variabeln är i basen är det en potensfunktion.
- Om variabeln är i exponenten är det en exponentialfunktion.
Som du ser är detta snarlika skrivningar med en stor skillnad: variabelns placering!
De linjära funktionerna är en av flera olika potensfunktioner. Vi titta närmre på dessa i en kommande lektion.
Tillämpningar exponentialfunktioner
Många tillämpningar med exponentialfunktioner baseras på upprepade procentuella förändringar. Därför är det viktigt att du känner till begreppet förändringsfaktor. De olika variablerna och konstanterna i funktionen betyder oftast följande.
yy motsvarar funktionsvärdet
CC motsvarar startvärdet, funktionens värde när x=0x=0
aa motsvarar förändringsfaktorn
xx motsvarar ofta antalet förändringar
Notera igen att CC och aa är konstanter i funktioner. Det vill säga det har ett numeriskt värde, tillexempel 100100 eller 1,341,34. Det är bara xx och yy som är variabler.
Vi tittar nu på ett exempel på upprepad procentuell förändring som effektivast kan beräknas med en exponentialfunktion.
Exempel 2
Du sätter in 50005000 kronor på ett bankkonto med räntan 2,5 %2,5 % per år.
a) Teckna en exponentialfunktion som beskriver hur kapitalet yy kr på kontot förändras, där xx är tiden räknat i år .
b) Använd funktionen och bestäm hur mycket pengar du har på kontot efter 12 år, om du inte satt in eller tagit ut några pengar.
Lösning
a) Vårt startvärde är 50005000 kronor.
Räntan är 2,5 %2,5 % vilket motsvarar förändringsfaktorn 1,0251,025 eftersom att det är du får räntan när du lånar av banken.
Tiden xx beskriver antalet år efter att vi satt in pengarna.
Vi kan beskriva hur pengarna yy kr ökar på kontot med funktionen
y=5000⋅1,025xy=5000·1,025x
b) För att ta reda på hur mycket pengar vi har på kontot efter 1212 år, sätter vi in x=12x=12 i funktionsuttrycket och beräknar yy
y(12)=5000⋅1,02512≈6 724y(12)=5000·1,02512≈6 724
Kapitalet har växt till ca 6 7236 723 kronor på kontot efter 12 år.
I modellen ovan är startvärdet C=5000C=5000 kr och förändringsfaktorn a=1,025a=1,025. Du ska nu själv få undersöka hur olika värden på konstanterna CC och aa påverkar utseendet på exponentialfunktionens graf.
Undersök exponentialfunktionens graf
Undersök grafens utseende genom att dra i reglagen för CC och aa.
Hur förändras grafens utseende då CC ökar eller minskar?
Hur förändras grafens utseende då aa ökar eller minskar?
Sammanfattningsvis kan vi konstatera att för en exponentialfunktion där både CC och a>1a>1 motsvarar en graf som är växande. Det innebär att när värdet på xx ökar, ökar även yy-värdet. Förändringsfaktorn motsvarar då en procentuell ökning. Väldigt skissartat skulle den kunna se ut på följande vis.
Om däremot CC är positivt och 0<0< a<1a<1 kommer motsvarar en graf som är avtagande. Det innebär att när xx-värdet ökar, minska yy-värdet. Förändringsfaktorn motsvarar då en procentuell minskning. Lika skissartat skulle den kunna se ut på följande vis.
Om CC däremot är ett negativa tal kommer grafen speglas i xx -axeln.
Exempel 3
Är exponentialfunktionen y=100⋅1,05xy=100·1,05x växande eller avtagande?
Lösning
Om vi ritar grafen till exponentialfunktionen så se den ut på följande vis.
Kurvan skär yy-axeln i y=100y=100, det som benämns konstanten CC ovan och kallas för startvärdet. Eftersom att ju större xx-värdet blir, ju större blir också yy -värdet så är kurvan exponentiellt växande. Det innebär att funktionens värde ökar hela tiden. Detta inträffar när förändringsfaktorn a>1a>1.
Exempel 4
Är exponentialfunktionen y=100⋅0,5xy=100·0,5x växande eller avtagande?
Lösning
Om vi ritar grafen till exponentialfunktionen så se den ut på följande vis.
Notera återigen att kurvan skär yy-axeln i y=100y=100, men den här funktionen är exponentiellt avtagande eftersom att ju större xx blir, blir funktionsvärde yy mindre och mindre. Exponentialfunktionen där förändringsfaktorn finns i intervallet 0<0< a<1a<1 kommer alltid vara avtagande för alla värden på xx. Alltså funktionens värde minskar och minskar ju större xx -värden funktionen antar.
Ju större värdet på aa är, ju snabbare förändring. Det innebär att en graf som sticker iväg väldigt snabb uppåt jämfört med en graf som ökar långsamt har ett större aa-värde.
Så löser du en exponentialekvation grafiskt
I Matematik 1 använder vi grafisk lösning när vi löser exponentialekvationer. Det gör vi genom att se VL och HL som två olika funktioner och tar fram deras skärningspunkt. Ekvationens lösning motsvaras av skärningspunktens xx -värdet.
Enklast är att först skriva om ekvationen så att du endast har en konstant i ena ledet. Där efter ritar du upp dem och läser av skärningspunktens xx-värde.
Exempel 5
En mobils värde yy kan beskrivas med formeln y=3 800⋅0,52xy=3 800·0,52x där xx är tiden i år efter inköpet.
Hur många år tar det innan mobilen bara är värd 1 0001 000 kr enligt formeln?
Lösning
Vi ska lösa ekvationen 1 000=3 800⋅0,52x1 000=3 800·0,52x Vi ritar upp VL och HL som två olika funktioner.
Genom att läsa av xx -värdet för grafernas skärningspunkt kan vi lösa ekvationen ungefärligt, alltså en så kallad approximativ lösning, eftersom att det är det värde på xx som ger samma värde på yy för de två funktionerna, i detta fall y=1000y=1000.
Vi ser att de skär varandra där x≈2x≈2 vilket ger oss lösningen till ekvationen.
Efter ca två år är telefonen enligt modellen bara värd 1 0001 000 kr.
En grafisk lösning genomförs alltså genom att avläsa xx -värdet på skärningspunkten. I lektionen GeoGebra och grafisk lösning tittar vi på hur vi gör det med hjälp av ett digital hjälpmedel.
I matematik 2 lär vi oss om logaritmer för att lösa exponentialekvationer algebraiskt. Men fram till dess gör vi alltså det grafiskt.
Exempel i videon
- En dator kostar 10 000 kr och priset höjs med 12 %, vilket blir det nya priset?
- En dator kostar 10 000 kr och priset sänks med 20 %, vilket blir det nya priset?
- 9000 kr sätts in på banken, ställ upp ett samband för hur värdet på pengarna ökar om räntan är x %.
- Du sätter in 9000 kr på banken med räntan 5 %, hur mycket pengar har du efter x år?
Kommentarer
e-uppgifter (16)
1.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilken förändringsfaktor motsvarar en ökning med 14%14%?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 1,14(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilken förändringsfaktor motsvarar en sänkning med 23%23%?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 0,77(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: Förändringsfaktor - År 9Rättar...3.
(2/0/0)E C A B 1 P PL M 1 R K Vilken procentuell ökning motsvarar förändringsfaktorn i exponentialfunktionen y=300⋅1,2xy=300·1,2x ?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 20%(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: Förändringsfaktor - År 9Rättar...4. Premium
(2/0/0)NPE C A B 1 P PL M 1 R K Adam köper en begagnad moped. Formeln y=10 000⋅0,8xy=10 000·0,8x beskriver mopedens värde yy kronor xx år senare.
Hur stor är värdeminskningen i procent per år?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 20 %(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Ange startvärdet för exponentialfunktionen y=3⋅0,01xy=3·0,01x
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 3(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: Förändringsfaktor - År 9Rättar...6. Premium
(2/0/0)E C A B 1 P PL M 1 R K Vilken procentuell förändring motsvarar exponentialfunktionen y=3⋅0,01xy=3·0,01x ?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Minskning med 99%(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: Förändringsfaktor - År 9Rättar...7. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Ange en approximativ lösning till ekvationen 100=50⋅1,26x100=50·1,26x med hjälp av graferna i figuren.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x≈3(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: GeoGebra och Grafisk lösningRättar...8. Premium
(1/0/0)E C A B P PL M 1 R K Lisa sätter in 50005000 kr på ett sparkonto med en fast årlig ränta på 2,1 %2,1 % .
Vilken funktion kan beskriva ökningen av pengar på kontot?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...9. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilken av följande matematiska modeller är en exponentialfunktion, då xx är en oberoende variabel och alla andra variabler motsvarar givna konstanter?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...10. Premium
(1/0/0)E C A B P PL M 1 R K Du köper en bil för 26 00026 000 kr. Vilken matematisk modell ger dig möjlighet att beräkna hur många år det tar innan bilens värde sjunkit till 50005000 kr, om värdet beräknas ha en konstant procentuell minskning på 23%23% per år?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...11. Premium
(1/0/0)E C A B P PL M 1 R K Stig har ärvt en del aktier och har försökt sätta upp en matematisk modell som beskriver sambandet mellan aktiens startvärde 1 0001 000, förändringsfaktorn som motsvarar aktiens procentuella förändring per månad, 1,0131,013, antal månader han ägt aktien, tt, samt det aktuella värdet på aktien V(t)V(t).
Teckna en matematisk modell som beskriver ett korrekt samband mellan just dessa värden och variabler.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: V(t)=1 000⋅1,013t(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...12. Premium
(4/0/0)ME C A B 1 P 1 PL 1 M 1 R K En mobils värde yy kan beskrivas med formeln y=3 800⋅0,52xy=3 800·0,52x där xx är tiden i år efter inköpet.
a) Hur mycket kostade mobilen när den köptes?
b) Hur många procent minskar mobilens värde per år?
c) Hur mycket antas mobilen vara värd efter fem år enligt formeln?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: a) 3 800 kr b) Minskar med 48 % per år. c) Ca 150 kr.(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...13. Premium
(2/0/0)ME C A B 1 P PL M 1 R K Para ihop respektive graf med rätt funktionsuttryck.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: A - f, B - h, C - g och D - p(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: ExponentialfunktionerRättar...14. Premium
(2/1/0)E C A B P 1 PL 1 1 M R K En speciell blomarts höjd ökar under en månad med ca 30 %30 % av höjden vid månadens start. Detta upprepar sig varje månad.
I början av april är en blomma 1010 cm hög. Hur hög är den i början av september?
Svara avrundat till heltal.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 37 cm(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...15. Premium
(2/0/0)E C A B P 1 PL 1 M R K
Priset på en liter mjölk är 99 kr. De senaste åren har priset höjts med ca 3%3% varje år. Hur mycket kostade mjölken i så fall för tre år sedan?Ange svaret i hela ören med enheten kr/l
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 8,24 kr/l(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...16. Premium
(3/2/1)M NPE C A B 1 1 P 1 1 1 PL 1 M R K På ett äppelträd växer det ett år 3030 äpplen. Ett år senare växer det 3535 stycken.
a) Hur många äpplen kommer det att växa på äppelträdet efter ytterligare 99 år om antalet äpplen ökar med lika många varje år?
b) Om antalet äpplen i stället varje år skulle öka med lika många procent som under det första året, hur många äpplen kommer det då att växa efter de ytterligare 99 åren?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: a) 80 äpplen b) 140 äpplen(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (9)
17. Premium
(0/2/0)E C A B 1 P 1 PL M R K Jane har satt in 25 00025 000 kronor på ett bankkonto med hög årsränta på 5,5%5,5%. Hur mycket har hon på sitt konto efter 1010 år?
Svara i hela kronor.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 42 704 kr(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...18. Premium
(1/1/0)ME C A B P 1 PL M R 1 K Rita graferna till f(x)=0,5xƒ (x)=0,5x, g(x)=2xg(x)=2x och h(x)=3,1xh(x)=3,1x i samma koordinatsystem.
a) Vilken likhet ser du mellan funktionernas grafer?
b) Vad är det som ger denna likhet?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: a) Alla graferna skär y-axeln i punkten (0,1) b) Det beror på att alla funktionerna har startvärdet C=1.(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: ExponentialfunktionerRättar...19. Premium
(1/1/0)ME C A B 1 P PL M 1 R K Para ihop respektive graf med rätt funktionsuttryck.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: f- Blå, g -Röd, h-Lila, p-orange, q-grön(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: ExponentialfunktionerRättar...20. Premium
(1/1/0)M NPE C A B P 1 PL 1 M R K a) Vilket är värdet efter tre år, enligt diagrammet, om den procentuella minskningen är 15 %15 % per år?
b) Ungefär hur mycket längre tid krävs för att värdet ska halveras när den procentuella minskningen är 10 %10 % i stället för 15 %15 % per år?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: a) 60 000−62 000kr b) 2−3år(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: ExponentialfunktionerRättar...21. Premium
(0/3/0)E C A B 1 P PL 1 M 1 R K Freddy sparar pengar för kunna resa efter studenten. Målet är att det ska finnas 15 00015 000 kr på kontot om tre år. En fond lovar 2,8%2,8% i årlig tillväxt.
Hur mycket pengar behöver sättas in nu på fondkontot, för att det ska finnas ungefär 15 00015 000 kr om tre år, om allt sätts in nu på en gång?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 13 800kr(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: Förändringsfaktor - År 9Rättar...22. Premium
(0/2/1)NPE C A B 1 P 1 1 PL M R K Frida tar ett sms-lån på 1 0001 000 kr. Lånet ska betalas tillbaka efter en månad och den procentuella månadsräntan är 20 %20 %. När månaden är slut har Frida inte råd att betala sin skuld.
För att betala skulden tar hon ett nytt sms-lån på hela det belopp hon är skyldig. Det nya lånet har samma procentuella månadsränta.
Frida fortsätter att låna på samma sätt varje månad.
Hur stor är Fridas skuld ett år efter att hon har tagit sitt första sms-lån?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 8916 kr(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: ExponentialfunktionerRättar...23. Premium
(0/2/1)M NPE C A B P 1 PL M R 1 1 K Figuren visar graferna till exponentialfunktionerna fƒ och gg där f(x)=axƒ (x)=ax och g(x)=bxg(x)=bx
En av graferna kan användas för att lösa ekvationen 3⋅2x=93·2x=9
a) Utred vilken av graferna som kan användas för att lösa ekvationen 3⋅2x=93·2x=9
b) Använd figuren och lös ekvationen 3⋅2x=93·2x=9
Svar:Ditt svar:Rätt svar: a)g(x) b) x≈1,6(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...24. Premium
(0/2/1)ME C A B P PL M 1 1 R 1 K Studera följande tre fall. Skriv upp en matematisk modell för vart och en av fallen när du läser igenom dem.
Fall 1: Ann vill beräkna tt stycken tröjors totala kostnad, yy kr, efter att en rabatt på x%x% har dragits av från det ursprungliga priset CC kr. Sätt upp en matematisk modell som hjälp för att beräkna den totala kostnaden y kr.
Fall 2: Zoe vill beräkna hur lång tid, tt timmar, det tar innan kaffet har temperaturen y°Cy°C om temperaturen förändras med förändringsfaktorn xx varje timme och hade starttemperaturen C °CC °C. Sätt upp en matematisk modell som hjälp för att beräkna antalet timmar innan temperaturen är y °Cy °C.
Fall 3:Max vill beräkna förändringsfaktorn xx som motsvarar den konstanta procentuella ökning som hans aktier behöver hålla för att han ska ha dubblat sin insats CC kronor efter tt månader. Sätt upp en matematisk modell som hjälp för att beräkna den procentuella ökningen.
Vilket eller vilka av fallen kan matematiskt beskrivas med en exponentialfunktion?
Träna även på att motivera ditt svar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Fall 2.(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...25. Premium
(0/2/0)E C A B 1 P PL 1 M R K Du planerar en stor resa efter din utbildning och vill spara pengar i en fond. Om fem år vill du att det ska finnas 20 00020 000 kr i fonden. Du hittar en fond som lovar 5,1%5,1% i årlig tillväxt.
Hur mycket pengar behöver du sätta in nu på kontot, för att det ska finnas 20 00020 000 kr om fem år?
Svara i jämnt hundratal.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 15 600kr(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
a-uppgifter (2)
26. Premium
(1/1/1)NPE C A B P PL 1 1 M 1 R K Enligt en prognos beräknas hyran för en lägenhet öka med 4 %4 % per år. Med hur många procent beräknas hyran öka under en sjuårsperiod enligt prognosen?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 31,6 %(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...27. Premium
(0/0/2)E C A B P PL 1 M R 1 K En grupp forskare studerar en särskild bakterieodling. De har upptäckt att den hela tiden ökar med lika många procent.
Hur lång tid tar det innan odlingen har uppnått den mängd bakterier, som är en miljard gånger fler än den ursprungliga, om det under de tre första dygnen blivit tusen gånger fler bakterier, än vid starten av mätningarna?
Svara i antal hela dygn.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 9 dygn(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Endast Premium-användare kan kommentera.