Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik Högstadiet
/ Procent
Upprepade procentuella förändringar
Innehåll
Beräkningar av upprepade procentuella förändringar
När något ökar eller minskar med en viss procent upprepade gångar används förändringsfaktorn för att göra dessa beräkningar så enkla som möjligt. Utan användning av förändringsfaktorn blir dessa beräkningar längre och mindre effektiva. Följande likhet gäller vid upprepad procentuell förändring.
$\text{Ursprungligt värde} = \text{Förändringsfaktorn}^\text{Antal förändringar}$
Vi börjar här att visa ett exempel på där förändringsfaktorn används för att beräkna en upprepad procentuell förändring.
Exempel 1
Tove sätter in $15 000\, kr$ på ett bankkonto med årsräntan $2,5\,\%$.
Hur mycket pengar finns på kontot efter 10 år?
Lösning
Om vi först skulle beräkna förändringen i procent och addera denna till det ursprungliga priset så skulle vi få göra detta 10 gånger för att få reda på hur mycket pengar det finns på kontot efter 10 år. Detta är mycket tidskrävande så istället kan vi använda oss av förändringsfaktorn $ 1,025 $.
Pengarna kommer att utveckla sig på följande vis:
År 0: $15 000\, kr$
År 1: $15 000⋅1,025$
År 2: $15 000⋅1,025⋅1,025=15 000⋅1,025^2$
År 3: $15 000⋅1,025⋅1,025⋅1,025=15 000⋅1,025^3$
Här kan vi se ett mönster. Om det har gått 3 år så kan vi upphöja förändringsfaktorn med 3 och multiplicera med ursprungsvärdet för att få värdet år 3.
Så om vi söker värdet det 10:e året så beräknar vi
År 10: $15 000⋅1,025^{10}≈19201\,kr$
Efter 10 år finns det alltså $19201\,kr$ på kontot.
Samma mönster som i exemplet här ovan kan användas vid upprepade procentuella minskningar. Skillnaden här är bara att förändringsfaktorn är mindre än 1.
Exempel 2
Priset på en bilmodell minskar med 12 % per år i 6 år. När bilen var ny kostade den 260 000 kr.
Vad kostar den efter 6 år?
Lösning
Priset sänks med $12\,\%$ per år och vi kan då räkna med förändringsfaktorn $ 1-0,12=0,88 $.
För att få priset efter 6 år så beräknar vi
$ 260000⋅0,88^6≈120745\,kr $
Flera olika förändringar
Det är inte helt ovanligt att förändringarna inte upprepas, utan förändras över tid. Alltså att ett värde alltid ökar eller minskar med samma procent varje år.
För att bestämma den totala förändringen efter ett antal olika förändringar underlättar det om man kan sina förändringsfaktorer. Följande gäller nämligen.
De nya värdet ges av att det ursprungliga värdet multipliceras med alla de förändringsfaktorer som motsvarar var förändring.
$\text{Nytt värde} =\text{Ursprungligt värde}\cdot FF_1\cdot FF_2\cdot…\cdot FF_n$
där $FF_n$ motsvarar den $n$n :te förändringen.
Här följer ett exempel på olika förändringar över tid.
Exempel 3
Gun samlar på antika tallrikar. En av hennes dyrgripar köpte hon in för $2\text{ }300$2 300 kr. Tallrikens värde har förändras enligt följande mönster.
År ett ökande värdet med $5\%$5% .
År två ökande värdet med ytterligare $10\%$10%.
År tre minskade värdet med $15\%$15%.
Vad är Guns tallrik värd nu?
Avrunda till hela kronor.
Lösning
Först ökar priset med förändringsfaktorn $1,05$1,05, sedan med förändringsfaktorn $1,1$1,1 och slutligen med förändringsfaktorn $0,85$0,85.
Man kan beräkna en total förändringsfaktor genom att multiplicera alla förändringar med varandra. Multiplicerar vi den med ursprungsvärdet får vi fram värdet efter alla förändringar.
Slutpriset kan alltså beräknas genom $2\text{ }300\cdot1,05\cdot1,1\cdot0,85\approx2\text{ }258$2 300·1,05·1,1·0,85≈2 258 kronor.
Observerar att Guns tallrik blivit mindre värd än från början. Detta trots att den först gick upp med $5\%$5% och sedan $10\%$10% för att efter det minska med $15\%$15%. Man skulle kunna frestas att tro att priset skulle landa på det samma som det ursprungliga priset. Varför blir det inte så?
Detta beror på att procent på procent, alltså $10\%$10% på $5\%$5% blir lika med $1,05\cdot1,1=1,155$1,05·1,1=1,155, vilket motsvarar en ökning på $15,5\%$15,5% och inte $15\%$15% vilket man skulle kunna frestas att tänka. Tallrikens värde efter två år är alltså $2\text{ }300\cdot1,155=2656,5$2 300·1,155=2656,5 kr.
Vi ökar alltså med mer än $15\%$15%. När vi efter det ska beräkna minskningen med $15\%$15% har vi ett större tal än det ursprungliga, vilket gör att andelen vi ska minska blir större än andelen vi skulle öka.
Exempel i videon
- Jennie har 150 000 kronor på ett bankkonto med räntan 2 %. Hur mycket pengar finns på kontot efter 3 år?
- Ett företag säljer turer i en luftballong. År 2010 genomförde de 120 turer. Till 2011 ökade antalet turer med 20 % och 2012 ökade turerna med ytterligare 25 %. Hur många turer genomförde de år 2012?
- Priset på ett RAM minne till en dator var 450 kr i augusti 2014. Sedan minskade priset med 3,42 % per månad. Vad var priset i augusti 2015?
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (11)
-
1. Premium
Priset på en dator var $12\text{ }600$12 600 kronor år 2013. Priset går sedan ner med $30\%$30% per år.
Vilket är priset år 2015?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
2. Premium
En tågbiljett mellan Stockholm och Umeå kostar $600$600 kronor. Efter sommaren höjs priset med $12\%$12%. Du ska åka till Umeå och fira jul, och hittar då ett kampanjpris där du får $20\%$20% rabatt.
Hur mycket får du betala för biljetten?
Avrunda till hela kronor.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: förändringsfaktor Matematik 1 Matematik Högstadiet ProcentRättar... -
-
3. Premium
Ett träd som är $100$100 cm högt ökar med $10$10 % två år i rad. Hur högt är trädet efter de två åren?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
4. Premium
Din vän satte in $30\text{ }000$30 000 kr på ett konto för en tid sedan. Värdet av hur de insatta pengarna har ökat kan beskrivas med uttrycket $30000\cdot1,04^{22}$30000·1,0422 där årsräntan var $4\text{ }\%$4 %.
Hur många år har din vän haft sina pengar på bankkontot enligt uttrycket?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
5. Premium
$20000$20000 kr som ökar på ett bankkonto under $5$5 år kan beskrivas med hjälp av uträkningen $20000\cdot1,056^5$20000·1,0565
Vilken är räntan på bankkontot?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
6. Premium
Margareta har tagit ett lån på $10000$10000 kr och räntan är $6\%$6% .
Hon vill ta reda på hur mycket hennes lån kommer att öka om hon inte betalar räntan eller amorterar, alltså betalar av på lånet, på $4$4 år. Hon gör sina beräkning så här.Förändringsfaktorn blir $1+0,06=1,06$1+0,06=1,06
År $0$0 är lånet $10$10 $000$000 och sedan ökar det $6\%$6% varje år fyra gånger.$1,06\cdot10000=10600$1,06·10000=10600 kronor
$1,06\cdot10600=11236$1,06·10600=11236 kronor
$1,06\cdot11236=11910$1,06·11236=11910 kronor
$1,06\cdot11910=12625$1,06·11910=12625 kronorMitt lån kommer då att vara $12625$12625 kronor efter fyra år.
Vilket tips tycker du är bra att ge till Margareta för att förenkla hennes beräkningar?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
7. Premium
Du börjar på ett nytt jobb och får en månadslön på $24$24 $000$000 kr. Chefen säger att de höjer alla löner med $2,3\%$2,3% varje år.
Vad kommer din månadslön vara efter fem år?
Svara i hela kronor.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
8. Premium
Värdet på en bil går ner med $8\%$8% varje år. Du köper en bil för $260$260 $000$000 kronor.
Vad är bilens värde efter $8$8 år?Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
9. Premium
Värdet på Amirs aktier ökar med $13\%$13% det första året. Året därpå sjunker värdet med $15\%$15% . Hur stor är den procentuella minskningen efter två år jämfört med ursprungsvärdet?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
10. Premium
Stans biograf höjer priset på en biljett med $20\%$20% på höstterminen. På våren höjer de priset ytterligare $9\%$9%. Vad kostar biljetten efter de två prishöjningarna, om det ursprungliga priset var $80$80 kr?
Svaret avrundas till hela kronor.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: förändringsfaktor procentuell förändringRättar... -
-
11. Premium
Radien r i cirkeln ökar med $0,5\%$0,5% per timme. Hur lång är radien efter $\text{ }10$ 10 timmar?
Avrunda till två decimalers noggrannhet.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
c-uppgifter (3)
-
12. Premium
Roger säger att om ett pris först ökar med $25\%$25% och sedan minskar med $20\%$20% så kommer priset att vara oförändrat från det ursprungliga priset. Lisa säger att det kommer att öka och José att det istället kommer att minska.
Vem har rätt?
Träna på att motivera ditt svar.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Förändringsfaktor - År 9Liknande uppgifter: förändringsfaktor Matematik 1 Matematik Högstadiet ProcentRättar... -
13. Premium
I en auktion där utropspriset är för en tavla är $12600$12600 kr ökar priset i $3$3 bud.
I det första budet ökar priset med $5\%$5% .
I det andra budet ökar priset med $10\%$10% från första budet.
I det tredje budet ökar priset med $12\%$12% från andra budet.Vilket blir slutpriset?
Avrunda till heltal.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Förändringsfaktor - År 9Liknande uppgifter: förändringsfaktor Matematik 1 Matematik Högstadiet ProcentRättar... -
14. Premium
Priset på en mobiltelefon minskades i tre omgångar. Först med $20\%$20%, sedan med ytterligare $30\%$30% två gånger. Vilket är priset efter sänkningarna om det från början var $6400$6400 kr?
Avrunda till hela kronor.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
Jacob Söderman
Vad menar ni med att
ursprungsvärdet skulle vara lika med förändringsfaktorn upphöjt till antal förändringar?
Menar ni något med ”total” förändringsfaktor eller vad menar ni?
Simon Rybrand (Moderator)
Antal förändringar som antalet omgångar som något förändras med en viss procentuell ökning eller minskning. Vanligt är att det är tid, t.ex. timmar, dagar, månader och år.
Elena Bengtsson
Mycket svårt att räkna utan mimiräknare. Uppgift 9 var mycket svårt för mig. Mycket bra att det finns en förklaring.
Anna Admin (Moderator)
Elena,
du får gärna använda räknare på uppgifterna. Har du sett att det finns en inbyggd räknare på Eddler? Du får fram den genom att klicka på ikonen som ser ut som en räknare lite nere till höger.
Men visst, det är bra att hålla igång och träna på huvudräkningen också!
Lycka till!
Endast Premium-användare kan kommentera.