00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik Högstadiet
/  Procent
Procent

Upprepade procentuella förändringar

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Beräkningar av upprepade procentuella förändringar

När något ökar eller minskar med en viss procent upprepade gångar används förändringsfaktorn för att göra dessa beräkningar så enkla som möjligt. Utan användning av förändringsfaktorn blir dessa beräkningar längre och mindre effektiva. Följande likhet gäller vid upprepad procentuell förändring.

Ursprungligt va¨rde=Fo¨ra¨ndringsfaktornAntal fo¨ra¨ndringar\text{Ursprungligt värde} = \text{Förändringsfaktorn}^\text{Antal förändringar}

Vi börjar här att visa ett exempel på där förändringsfaktorn används för att beräkna en upprepad procentuell förändring.

Exempel 1

Tove sätter in 15000 kr15 000\, kr på ett bankkonto med årsräntan 2,5 %2,5\,\%.

Hur mycket pengar finns på kontot efter 10 år?

Lösning

Om vi först skulle beräkna förändringen i procent och addera denna till det ursprungliga priset så skulle vi få göra detta 10 gånger för att få reda på hur mycket pengar det finns på kontot efter 10 år. Detta är mycket tidskrävande så istället kan vi använda oss av förändringsfaktorn 1,025 1,025 .

Pengarna kommer att utveckla sig på följande vis:

År 0: 15000 kr15 000\, kr
År 1: 15000⋅1,02515 000⋅1,025
År 2: 15000⋅1,025⋅1,025=15000⋅1,025215 000⋅1,025⋅1,025=15 000⋅1,025^2
År 3: 15000⋅1,025⋅1,025⋅1,025=15000⋅1,025315 000⋅1,025⋅1,025⋅1,025=15 000⋅1,025^3

Här kan vi se ett mönster. Om det har gått 3 år så kan vi upphöja förändringsfaktorn med 3 och multiplicera med ursprungsvärdet för att få värdet år 3.

Så om vi söker värdet det 10:e året så beräknar vi
År 10: 15000⋅1,02510≈19201 kr15 000⋅1,025^{10}≈19201\,kr

Efter 10 år finns det alltså 19201 kr19201\,kr på kontot.

Samma mönster som i exemplet här ovan kan användas vid upprepade procentuella minskningar. Skillnaden här är bara att förändringsfaktorn är mindre än 1.

Exempel 2

Priset på en bilmodell minskar med 12 % per år i 6 år. När bilen var ny kostade den 260 000 kr.

Vad kostar den efter 6 år?

Lösning

Priset sänks med 12 %12\,\% per år och vi kan då räkna med förändringsfaktorn 1−0,12=0,88 1-0,12=0,88 .

För att få priset efter 6 år så beräknar vi
260000⋅0,886≈120745 kr 260000⋅0,88^6≈120745\,kr

Flera olika förändringar

Det är inte helt ovanligt att förändringarna inte upprepas, utan förändras över tid. Alltså att ett värde alltid ökar eller minskar med samma procent varje år. 

För att bestämma den totala förändringen efter ett antal olika förändringar underlättar det om man kan sina förändringsfaktorer. Följande gäller nämligen. 

De nya värdet ges av att det ursprungliga värdet multipliceras med alla de förändringsfaktorer som motsvarar var förändring. 

Nytt va¨rde=Ursprungligt va¨rde⋅FF1⋅FF2⋅…⋅FFn\text{Nytt värde} =\text{Ursprungligt värde}\cdot FF_1\cdot FF_2\cdot…\cdot FF_n 

där FFnFF_n motsvarar den  nnn :te förändringen.

Här följer ett exempel på olika förändringar över tid.

Exempel 3

Gun samlar på antika tallrikar. En av hennes dyrgripar köpte hon in för  2 3002\text{ }3002 300 kr. Tallrikens värde har förändras enligt följande mönster.

År ett ökande värdet med 5%5\%5% .
År två ökande värdet med ytterligare 10%10\%10%.
År tre minskade värdet med 15%15\%15%. 

Vad är Guns tallrik värd nu?

Avrunda till hela kronor.

Lösning

Först ökar priset med förändringsfaktorn 1,051,051,05, sedan med förändringsfaktorn 1,11,11,1 och slutligen med förändringsfaktorn 0,850,850,85.

Man kan beräkna en total förändringsfaktor genom att multiplicera alla förändringar med varandra. Multiplicerar vi den med ursprungsvärdet får vi fram värdet efter alla förändringar.

Slutpriset kan alltså beräknas genom 2 300⋅1,05⋅1,1⋅0,85≈2 2582\text{ }300\cdot1,05\cdot1,1\cdot0,85\approx2\text{ }2582 300·1,05·1,1·0,85≈2 258 kronor.

Observerar att Guns tallrik blivit mindre värd än från början. Detta trots att den först gick upp med 5%5\%5% och sedan 10%10\%10% för att efter det minska med  15%15\%15%. Man skulle kunna frestas att tro att priset skulle landa på det samma som det ursprungliga priset. Varför blir det inte så?

Detta beror på att procent på procent, alltså 10%10\%10%  på  5%5\%5% blir lika med  1,05⋅1,1=1,1551,05\cdot1,1=1,1551,05·1,1=1,155, vilket motsvarar en ökning på 15,5%15,5\%15,5% och inte 15%15\%15% vilket man skulle kunna frestas att tänka. Tallrikens värde efter två år är alltså  2 300⋅1,155=2656,52\text{ }300\cdot1,155=2656,52 300·1,155=2656,5 kr.

Vi ökar alltså med mer än 15%15\%15%. När vi efter det ska beräkna minskningen med 15%15\%15% har vi ett större tal än det ursprungliga, vilket gör att andelen vi ska minska blir större än andelen vi skulle öka.

Exempel i videon 

  • Jennie har 150 000 kronor på ett bankkonto med räntan 2 %. Hur mycket pengar finns på kontot efter 3 år?
  • Ett företag säljer turer i en luftballong. År 2010 genomförde de 120 turer. Till 2011 ökade antalet turer med 20 % och 2012 ökade turerna med ytterligare 25 %. Hur många turer genomförde de år 2012?
  • Priset på ett RAM minne till en dator var 450 kr i augusti 2014. Sedan minskade priset med 3,42 % per månad. Vad var priset i augusti 2015?
Nästa lektion: Procent och ekvationer

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server