Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik Högstadiet
/ Sannolikhetslära och statistik – Högstadiet
Median, Medelvärde och Typvärde
Innehåll
Medelvärde, median och typvärde är tre olika lägesmått som alla är till för att lättare kunna jämföra olika datamängder.
Kalkylator för Medelvärde, Median och typvärde
Skriv i en lista på tal där du separerar talen med semi-kolon ”;”. Kalkylatorn räknar därefter ut medelvärde, median och typvärde. Observera att det framförallt fungerar med mindre listor av tal.
Hur ska man kunna jämföra olika statistiska resultat?
I det samhälle vi lever, finns ett stort fokus på att jämföra och analysera allt. Varför det? Framför allt för att kunna optimera olika områden i samhället. Därför har den gren inom matematiken som kallas statistik stor utbredning i vårt samhälle.
Statistik sysslar nämligen med att samla in, utvärdera och analysera den värd vi lever i. Utvärderingar och analyser används sedan för att försöka förutspå eller dra slutsatser kring olika saker. Exempelvis kring hur vi ska fördela statens och kommunernas pengar och resurser eller för att avgöra vad som är bättre eller sämre på olika vis.
För att underlätta jämförandet mellan olika datamängder, har man tagit fram ett antal olika så kallade lägesmått. Vi ska nu titta närmre på lägesmåtten medelvärde, median och typvärde.
Förståelsen av de olika lägesmåtten underlättas om du kan begreppen datamängd, observationsvärde och frekvens. Därför är det bra att repetera dessa begrepp om du inte känner dig säker på dem. Exempelvis med hjälp av lektionen Diagram och tabeller.
Vilket lägesmått är bäst?
Ofta tar man fram alla de tre lägesmåtten medelvärde, median och typvärde vid analys av en datamängd. Däremot är olika lägesmått mer eller mindre intressanta vid olika tillfällen. Därför väljer man ibland att bara presentera eller fokusera mer på ett eller två av dem. Vilka man väljer beror på vad det är man vill understryka med sin redovisning av undersökningen. Det finns nämligen tillfällen då ett visst lägesmått kan bli något missvisande.
Vi börjar med ett exempel.
Exempel 1
Du och din vän har bestämt att ni ska försöka spendera lite mindre pengar på godis under en vecka. Därför antecknar ni alla era köp under en vecka. Efter det träffas ni för att utvärdera hur det gått och har då båda bestämt ert medelvärde, median och typvärde på era utgifter på godis under veckan.
Ditt typvärde och median är båda noll. Din väns typvärde och median är båda tio. Trots det påstår din vän att du spenderat mer pengar på godis under veckan. Studera tabellen och undersök om din vän har rätt eller fel.
Lägesmått | Din väns resultat | Ditt resultat |
Typvärde | $10$10 kr | $0$0 kr |
Median | $10$10 kr | $0$0 kr |
Medelvärde | $15$15 kr | $20$20 kr |
Lösning
Efter som att undersökningen pågått i sju dagar, kan vi beräkna hur mycket pengar ni var och en lagt på godis totalt under veckan. Det gör vi genom att multiplicera medelvärdena med antalet dagar, sju.
Din väns utgifter på godis under veckan.
$15\cdot7=105$15·7=105 kr.
Dina utgifter på godis under veckan.
$20\cdot7=140$20·7=140 kr.
Vi ser då att du spenderat mer pengar på godis under veckan, trots att både ditt typvärde och median har lägre värde än din väns. Med andra ord har din vän rätt.
Hur kan detta gå ihop? Vi går nu igenom hur man beräknar det olika värdena steg för steg.
Medelvärde
Vid vissa undersökningar är det intressant att kunna jämföra de olika observationerna med ett så kallat medelvärde. Medelvärdet anger datamängdens genomsnittliga värde. Det är alltså ett mått som gör det möjligt att jämföra om en viss observation är större eller mindre än det genomsnittliga värdet. Man beräknar medelvärdet på följande vis.
$\text{Medelvärde}=$Medelvärde= $\frac{\text{Summan av alla observationsvärden}}{\text{Antal observationer}}$Summan av alla observationsvärdenAntal observationer
Medelvärdet är bara möjligt att beräkna då din datamängd innehåller numeriska värden, alltså tal.
Exempel 2
Beräkna medelvärdet för hur mycket pengar per dag du och din vän spenderat på godis under veckan. Använd tabellen.
Din vän | Du | |
Måndag | $10$10 kr | $0$0 kr |
Tisdag | $10$10 kr | $0$0 kr |
Onsdag | $10$10 kr | $0$0 kr |
Torsdag | $10$10 kr | $0$0 kr |
Fredag | $10$10 kr | $0$0 kr |
Lördag | $45$45 kr | $140$140 kr |
Söndag | $10$10 kr | $0$0 kr |
Lösning
Vi beräknar medelvärdet genom att först summera alla observationer. Efter det delar vi med frekvensen, alltså antalet observationer.
$\text{Din väns medelvärde}$Din väns medelvärde $=\frac{10+10+10+10+10+45+10}{7}=\frac{105}{7}=$=10+10+10+10+10+45+107 =1057 =$15$15
$\text{Ditt medelvärde}$Ditt medelvärde $=\frac{0+0+0+0+0+140+0}{7}=\frac{140}{7}=$=0+0+0+0+0+140+07 =1407 =$20$20
Som ett resultat ser vi att din vän har ett lägre medelvärde än dig.
I denna uppgift, precis som för all annan statistik, behöver man reflektera kring vad medelvärdet egentligen visar. Du har i genomsnitt spenderat $5$5 kronor mer per dag under veckan, vilket i sig är ett intressant resultat utifrån att ni ville sänka era utgifter på godis. Det är ett faktiskt resultat, även om det i verkligheten är så att du alla dagar utom en dag spenderat $10$10 kr mindre än din vän på godis.
Sammanfattningsvis kan vi konstatera att det finns tillfällen där medelvärdet är mer intressant än annars. Till exempel är det vanligt att ta fram ett medelvärde på en klass provresultat eller en arbetslags lön för att kunna jämföra vad som kan vara en rimlig nivå på ett godkänt resultat eller ok lön.
Median
Vid vissa undersökningar är det intressant att kunna jämföra hur de olika observationerna för håller sig till varandra. Medianen motsvarar datamängdens mittobservation, då den står i storleksordning. Det är alltså ett mått som gör det möjligt att jämföra om en observation är större eller mindre än värdet i mitten.
$\text{Median}$Median
Mittenvärdet i datamängden när den står i storleksordning. Vid jämnt antal värden blir medianvärdet medelvärdet av de två mittersta värdena.
Vi titta nu på hur man kan bestämma medianen utifrån vårt tidigare exempel kring utgifterna på godis.
Exempel 3
Beräkna medianen för hur mycket pengar per dag du och din vän spenderat på godis under veckan. Använd tabellen.
Din vän | Du | |
Måndag | $10$10 kr | $0$0 kr |
Tisdag | $10$10 kr | $0$0 kr |
Onsdag | $10$10 kr | $0$0 kr |
Torsdag | $10$10 kr | $0$0 kr |
Fredag | $10$10 kr | $0$0 kr |
Lördag | $45$45 kr | $140$140 kr |
Söndag | $10$10 kr | $0$0 kr |
Lösning
Vi ordnar till att börja med datamängden i storleksordning.
Din väns datamängd
$10,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }\text{ }45$10, 10, 10, 10, 10, 10, 45
Vi ser att observationsvärdet $10$10 är det mittersta talet, vilket då motsvarar medianen.
Din egen datamängd
$0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }140$0, 0, 0, 0, 0, 0, 140
Vi ser att observationsvärdet $0$0 är det mitterst talet, vilket då motsvarar medianen.
Sammanfattningsvis är din medians värde lägre än din väns.
På liknande vis som med medelvärdet behöver man reflektera kring vad medianen egentligen visar. Din median är $10$10 kronor lägre, med hur intressant är det utifrån att ni ville sänka era utgifter på godis? Det är ett faktiskt resultat, även om det i verkligheten är så att du totalt spenderat mer pengar på godis under veckan, än din vän.
Beräkna median med ett jämt antal observationer
När du har ett udda antal observationer kan du med enkelhet plocka ut medianen, eftersom att det motsvarar det mittersta värdet.
Men när du har ett jämt antal observationer i din datamängd, beräknar du medianen genom att först addera det två mittersta observationerna. Efter det delar du på två. Du beräknar alltså medelvärdet på det två mittobservationerna.
Exempel 4
Ange medianen i datamängden nedan.
$2,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }8,\text{ }10,\text{ }10$2, 5, 6, 8, 10, 10
Lösning
Datamängden står redan i storleksordning. Eftersom att vi har ett jämt antal observationer, plockar vi ut de två mittvärdena och bestämmer medelvärdet på dem för att bestämma medianen. Vi ser att observationsvärdena $6$6 och $8$8 är de aktuella värdena.
$\text{Median}$Median $=\frac{6+8}{2}=$=6+82 = $7$7
Medelvärdet av de två mittersta talen är $7$7. Därför är medianen $7$7.
Typvärde
Vid vissa undersökningar är det intressant att veta vilket observationsvärde som är det vanligaste. Därför har man tagit fram lägesmåttet typvärde. Det ange helt enkelt det observationsvärde med högst frekvens.
$\text{Typvärde}$Typvärde
Typvärdet är det vanligast förekommande observationsvärdet i en datamängd.
Vilket belopp var det vanligaste du och din vän spenderade per dag i godisexemplet?
Exempel 5
Beräkna typvärdet för hur mycket pengar per dag du och din vän spenderat på godis under veckan. Använd tabellen.
Din vän | Du | |
Måndag | $10$10 kr | $0$0 kr |
Tisdag | $10$10 kr | $0$0 kr |
Onsdag | $10$10 kr | $0$0 kr |
Torsdag | $10$10 kr | $0$0 kr |
Fredag | $10$10 kr | $0$0 kr |
Lördag | $45$45 kr | $140$140 kr |
Söndag | $10$10 kr | $0$0 kr |
Lösning
Till att börja med ordnar vi datamängden i storleksordning. Som ett resultat blir det är lättare att se vilket observationsvärde som är vanligast.
Din väns datamängd
$10,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }10,10,\text{ }\text{ }45$10, 10, 10, 10, 10,10, 45
Vi ser att observationsvärdet $10$10 är det vanligaste talet, vilket då motsvarar typvärdet.
Din egen datamängd
$0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }140$0, 0, 0, 0, 0, 0, 140
Vi ser att observationsvärdet $0$0 är det vanligaste talet, vilket då motsvarar typvärdet.
Med andra ord har du ett lägre typvärde än din vän.
Hur intressant är typvärdet i denna uppgift? Vad är det typvärdet egentligen visar? Ditt typvärde är $10$10 kronor lägre än din väns. Men som vi sett betyder det inte att du har lägre utgifter på godis än din vän. Däremot är det kanske mer intressant utifrån ett hälsoperspektiv.
Enligt min tandläkare är det bättre att äta mycket godis en gång i veckan än lite hela tiden. Men huruvida du och din vän ätit lite godis varje dag eller ej kan vi inte utläsa ur datamängden. Den anger endast hur mycket pengar ni spenderat per dag. Om ni delat upp ätandet på fler dagar, ätit allt själv eller bjudit på andra anger inte undersökningen.
Sammanfattningsvis kan vi konstatera att hur statistiskt material ska tolkas och presenteras så att det blir begripbar är en hel vetenskap. På Statistikmyndigheten SCB kan du hitta en massa intressant statistik att analysera och granska. Efter att du jobbat en del med statistik kommer du se att man kan dra lite olika slutsatser utifrån samma undersökning. Dessutom kan man välja att redovisa sina mätvärden på olika vis. Inget av det behöver var fel. Det finns nämligen många korrekta varianter. Men vissa slutsatser kanske är mer tvivelaktiga än andra. Vi kommer att titta mer på detta i lektionen Vilseledande statistik.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (8)
-
1. Premium
Din vän kastar tärningen fem gånger. Bestäm medelvärdet då tärningens resultatet av de fem kasten är $1,\text{ }3,\text{ }6,\text{ }2,\text{ }3$1, 3, 6, 2, 3 .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Repetition StatistikLiknande uppgifter: medelvärde statistikRättar...2. Premium
Simon och hans kompisar spelar rollspel och använder en tjugosidig tärning. Simon som älskar statistik kollar vilka tal som slås och antecknar dem. Här är resultatet.
$1,\text{ }3,\text{ }15,\text{ }14,\text{ }20,\text{ }3,\text{ }16,\text{ }18,\text{ }9$1, 3, 15, 14, 20, 3, 16, 18, 9.
Vilket är typvärdet?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Repetition StatistikRättar...3. Premium
Vad är medianen i följande datamängd?
$1,\text{ }3,\text{ }15,\text{ }14,\text{ }20,\text{ }3,\text{ }16,\text{ }18,\text{ }9$1, 3, 15, 14, 20, 3, 16, 18, 9
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Repetition StatistikRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Bestäm medianen för följande datamängd.
$4,\text{ }7,\text{ }2,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }2,\text{ }8,\text{ }9$4, 7, 2, 5, 6, 2, 8, 9
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: lägesmått medelvärde statistikRättar...5. Premium
Tabellen visar temperaturen på dagen och på natten under fem sommardagar i Göteborg.
Vilken är medianen för temperaturen på dagen?
Rättar...6. Premium
Stapeldiagrammet visar hur många poäng de olika deltagarna fick vid en tävling.
Vilket är typvärdet?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: frekvens lägesmått spridningsmått stapeldiagram statistik typvärdeRättar...7. Premium
Stapeldiagrammet visar hur många poäng de olika deltagarna fick vid en tävling.
Hur många deltagare hade tävlingen?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: frekvens lägesmått spridningsmått stapeldiagram statistik typvärdeRättar...8. Premium
Tabellen visar temperaturen på dagen och på natten under fem sommardagar i Göteborg.
Beräkna medeltemperaturen för de fem nätterna.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: lägesmått medelvärde statistikRättar...a-uppgifter (1)
-
9. Premium
Du vet hur stor medelåldern är för tre vuxna personer. Vilka av följande frågor kan man då besvara korrekt?
A. Hur gammal är var och en av personerna?
B. Hur stor var medelåldern för dessa personer för exakt två år sedan?
C. Hur stor är medelåldern för två av dessa personer?
D. Hur stor är personernas sammanlagda ålder?Ange bokstäverna för de alternativ som är korrekta. men träna även på att motivera dina svar med beräkningar.
(Äp9Ma13)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: medelvärde statistikRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Endast Premium-användare kan kommentera.