...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik Högstadiet
 /   Sannolikhetslära och statistik – Högstadiet

Median, Medelvärde och Typvärde

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Medelvärde, median och typvärde är tre olika lägesmått som alla är till för att lättare kunna jämföra olika datamängder.

Medelvärde, median och typvärde

Video till lektionen läggs till inom kort /Eddler, 20-08-03

Hur ska man kunna jämföra olika statistiska resultat?

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

I det samhälle vi lever, finns ett stort fokus på att jämföra och analysera allt. Varför det? Framför allt för att kunna optimera olika områden i samhället. Därför har den gren inom matematiken som kallas statistik stor utbredning i vårt samhälle.

Statistik sysslar nämligen med att samla in, utvärdera och analysera den värd vi lever i. Utvärderingar och analyser används sedan för att försöka förutspå eller dra slutsatser kring olika saker. Exempelvis kring hur vi ska fördela statens och kommunernas pengar och resurser eller för att avgöra vad som är bättre eller sämre på olika vis. 

För att underlätta jämförandet mellan olika datamängder, har man tagit fram ett antal olika så kallade lägesmått. Vi ska nu titta närmre på lägesmåtten medelvärde, median och typvärde.

Förståelsen av de olika lägesmåtten underlättas om du kan begreppen datamängd, observationsvärde och frekvens. Därför är det bra att repetera dessa begrepp om du inte känner dig säker på dem. Exempelvis med hjälp av lektionen Diagram och tabeller.

Vilket lägesmått är bäst?

Ofta tar man fram alla de tre lägesmåtten medelvärde, median och typvärde vid analys av en datamängd. Däremot är olika lägesmått mer eller mindre intressanta vid olika tillfällen. Därför väljer man ibland att bara presentera eller fokusera mer på ett eller två av dem. Vilka man väljer beror på vad det är man vill understryka med sin redovisning av undersökningen. Det finns nämligen tillfällen då ett visst lägesmått kan bli något missvisande. 

Vi börjar med ett exempel. 

Exempel 1


Du och din vän har bestämt att ni ska försöka spendera lite mindre pengar på godis under en vecka. Därför antecknar ni alla era köp under en vecka. Efter det träffas ni för att utvärdera hur det gått och har då båda bestämt ert medelvärde, median och typvärde på era utgifter på godis under veckan.

Ditt typvärde och median är båda noll. Din väns typvärde och median är båda tio. Trots det påstår din vän att du spenderat mer pengar på godis under veckan. Studera tabellen och undersök om din vän har rätt eller fel.

LägesmåttDin väns resultatDitt resultat
Typvärde $10$10 kr $0$0  kr
Median $10$10  kr $0$0 kr
Medelvärde $15$15  kr $20$20  kr
 
Lösning

Efter som att undersökningen pågått i sju dagar, kan vi beräkna hur mycket pengar ni var och en lagt på godis totalt under veckan. Det gör vi genom att multiplicera medelvärdena med antalet dagar, sju.

Din väns utgifter på godis under veckan.

 $15\cdot7=105$15·7=105 kr.

Dina utgifter på godis under veckan.

 $20\cdot7=140$20·7=140 kr.

Vi ser då att du spenderat mer pengar på godis under veckan, trots att både ditt typvärde och median har lägre värde än din väns. Med andra ord har din vän rätt.

Hur kan detta gå ihop? Vi går nu igenom hur man beräknar det olika värdena steg för steg.

Medelvärde

Vid vissa undersökningar är det intressant att kunna jämföra de olika observationerna med ett så kallat medelvärde. Medelvärdet anger datamängdens genomsnittliga värde. Det är alltså ett mått som gör det möjligt att jämföra om en viss observation är större eller mindre än det genomsnittliga värdet. Man beräknar medelvärdet på följande vis.

 $\text{Medelvärde}=$Medelvärde=  $\frac{\text{Summan av alla observationsvärden}}{\text{Antal observationer}}$Summan av alla observationsvärdenAntal observationer  

Medelvärdet är bara möjligt att beräkna då din datamängd innehåller numeriska värden, alltså tal.

Exempel 2


Beräkna medelvärdet för hur mycket pengar per dag du och din vän spenderat på godis under veckan. Använd tabellen.

 Din vänDu
Måndag $10$10 kr $0$0 kr
Tisdag $10$10 kr $0$0 kr
Onsdag $10$10 kr $0$0 kr
Torsdag $10$10 kr $0$0 kr
Fredag $10$10 kr $0$0 kr
Lördag $45$45  kr $140$140 kr
Söndag $10$10  kr $0$0 kr
 
Lösning

Vi beräknar medelvärdet genom att först summera alla observationer. Efter det delar vi med frekvensen, alltså antalet observationer.

 $\text{Din väns medelvärde}$Din väns medelvärde  $=\frac{10+10+10+10+10+45+10}{7}=\frac{105}{7}=$=10+10+10+10+10+45+107 =1057 =$15$15 

 $\text{Ditt medelvärde}$Ditt medelvärde $=\frac{0+0+0+0+0+140+0}{7}=\frac{140}{7}=$=0+0+0+0+0+140+07 =1407 =$20$20 

Som ett resultat ser vi att din vän har ett lägre medelvärde än dig. 

I denna uppgift, precis som för all annan statistik, behöver man reflektera kring vad medelvärdet egentligen visar. Du har i genomsnitt spenderat $5$5 kronor mer per dag under veckan, vilket i sig är ett intressant resultat utifrån att ni ville sänka era utgifter på godis. Det är ett faktiskt resultat, även om det i verkligheten är så att du alla dagar utom en dag spenderat $10$10 kr mindre än din vän på godis.

Sammanfattningsvis kan vi konstatera att det finns tillfällen där medelvärdet är mer intressant än annars. Till exempel är det vanligt att ta fram ett medelvärde på en klass provresultat eller en arbetslags lön för att kunna jämföra vad som kan vara en rimlig nivå på ett godkänt resultat eller ok lön.

Median

Vid vissa undersökningar är det intressant att kunna jämföra hur de olika observationerna för håller sig till varandra. Medianen motsvarar datamängdens mittobservation, då den står i storleksordning. Det är alltså ett mått som gör det möjligt att jämföra om en observation är större eller mindre än värdet i mitten.

 $\text{Median}$Median 

Mittenvärdet i datamängden när den står i storleksordning. Vid jämnt antal värden blir medianvärdet medelvärdet av de två mittersta värdena.

Vi titta nu på hur man kan bestämma medianen utifrån vårt tidigare exempel kring utgifterna på godis.

Exempel 3


Beräkna medianen för hur mycket pengar per dag du och din vän spenderat på godis under veckan. Använd tabellen.

 Din vänDu
Måndag $10$10 kr $0$0 kr
Tisdag $10$10 kr $0$0 kr
Onsdag $10$10 kr $0$0 kr
Torsdag $10$10 kr $0$0 kr
Fredag $10$10 kr $0$0 kr
Lördag $45$45  kr $140$140 kr
Söndag $10$10  kr $0$0 kr
 
Lösning

Vi ordnar till att börja med datamängden i storleksordning.

Din väns datamängd

 $10,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }\text{ }45$10, 10, 10, 10, 10, 10, 45 

Vi ser att observationsvärdet $10$10 är det mittersta talet, vilket då motsvarar medianen.

Din egen datamängd

 $0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }140$0, 0, 0, 0, 0, 0, 140 

Vi ser att observationsvärdet $0$0 är det mitterst talet, vilket då motsvarar medianen.

Sammanfattningsvis är din medians värde lägre än din väns. 

På liknande vis som med medelvärdet behöver man reflektera kring vad medianen egentligen visar. Din median är $10$10 kronor lägre, med hur intressant är det utifrån att ni ville sänka era utgifter på godis? Det är ett faktiskt resultat, även om det i verkligheten är så att du totalt spenderat mer pengar på godis under veckan, än din vän.

Beräkna median med ett jämt antal observationer

När du har ett udda antal observationer kan du med enkelhet plocka ut medianen, eftersom att det motsvarar det mittersta värdet.

Men när du har ett jämt antal observationer i din datamängd, beräknar du medianen genom att först addera det två mittersta observationerna. Efter det delar du på två. Du beräknar alltså medelvärdet på det två mittobservationerna.

Exempel 4

Ange medianen i datamängden nedan.

 $2,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }8,\text{ }10,\text{ }10$2, 5, 6, 8, 10, 10 

Lösning

Datamängden står redan i storleksordning. Eftersom att vi har ett jämt antal observationer, plockar vi ut de två mittvärdena och bestämmer medelvärdet på dem för att bestämma medianen. Vi ser att observationsvärdena $6$6 och $8$8 är de aktuella värdena.

 $\text{Median}$Median  $=\frac{6+8}{2}=$=6+82 = $7$7 

Medelvärdet av de två mittersta talen är $7$7. Därför är medianen $7$7.

Typvärde

Vid vissa undersökningar är det intressant att veta vilket observationsvärde som är det vanligaste. Därför har man tagit fram lägesmåttet typvärde. Det ange helt enkelt det observationsvärde med högst frekvens.

 $\text{Typvärde}$Typvärde

Typvärdet är det vanligast förekommande observationsvärdet i en datamängd.

Vilket belopp var det vanligaste du och din vän spenderade per dag i godisexemplet?

Exempel 5


Beräkna typvärdet för hur mycket pengar per dag du och din vän spenderat på godis under veckan. Använd tabellen.

 Din vänDu
Måndag $10$10 kr $0$0 kr
Tisdag $10$10 kr $0$0 kr
Onsdag $10$10 kr $0$0 kr
Torsdag $10$10 kr $0$0 kr
Fredag $10$10 kr $0$0 kr
Lördag $45$45  kr $140$140 kr
Söndag $10$10  kr $0$0 kr
Lösning

Till att börja med ordnar vi datamängden i storleksordning. Som ett resultat blir det är lättare att se vilket observationsvärde som är vanligast.

Din väns datamängd

 $10,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }10,10,\text{ }\text{ }45$10, 10, 10, 10, 10,10, 45 

Vi ser att observationsvärdet $10$10 är det vanligaste talet, vilket då motsvarar typvärdet.

Din egen datamängd

 $0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }140$0, 0, 0, 0, 0, 0, 140 

Vi ser att observationsvärdet $0$0 är det vanligaste talet, vilket då motsvarar typvärdet.

Med andra ord har du ett lägre typvärde än din vän. 

Hur intressant är typvärdet i denna uppgift? Vad är det typvärdet egentligen visar? Ditt typvärde är $10$10 kronor lägre än din väns. Men som vi sett betyder det inte att du har lägre utgifter på godis än din vän. Däremot är det kanske mer intressant utifrån ett hälsoperspektiv.

Enligt min tandläkare är det bättre att äta mycket godis en gång i veckan än lite hela tiden. Men huruvida du och din vän ätit lite godis varje dag eller ej kan vi inte utläsa ur datamängden. Den anger endast hur mycket pengar ni spenderat per dag. Om ni delat upp ätandet på fler dagar, ätit allt själv eller bjudit på andra anger inte undersökningen.

Sammanfattningsvis kan vi konstatera att hur statistiskt material ska tolkas och presenteras så att det blir begripbar är en hel vetenskap. På Statistikmyndigheten SCB kan du hitta en massa intressant statistik att analysera och granska. Efter att du jobbat en del med statistik kommer du se att man kan dra lite olika slutsatser utifrån samma undersökning. Dessutom kan man välja att redovisa sina mätvärden på olika vis. Inget av det behöver var fel. Det finns nämligen många korrekta varianter. Men vissa slutsatser kanske är mer tvivelaktiga än andra. Vi kommer att titta mer på detta i lektionen Vilseledande statistik.

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Din vän kastar tärningen fem gånger. Bestäm medelvärdet då tärningens resultatet av de fem kasten är  $1,\text{ }3,\text{ }6,\text{ }2,\text{ }3$1, 3, 6, 2, 3 .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Simon och hans kompisar spelar rollspel och använder en tjugosidig tärning. Simon som älskar statistik kollar vilka tal som slås och antecknar dem. Här är resultatet.

     $1,\text{ }3,\text{ }15,\text{ }14,\text{ }20,\text{ }3,\text{ }16,\text{ }18,\text{ }9$1, 3, 15, 14, 20, 3, 16, 18, 9.

    Vilket är typvärdet?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad är medianen i följande datamängd?

     $1,\text{ }3,\text{ }15,\text{ }14,\text{ }20,\text{ }3,\text{ }16,\text{ }18,\text{ }9$1, 3, 15, 14, 20, 3, 16, 18, 9 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Tabellen visar temperaturen på dagen och på natten under fem sommardagar i Göteborg.

    Tabell temperatur

    Vilken är medianen för temperaturen på dagen?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Tabellen visar temperaturen på dagen och på natten under fem sommardagar i Göteborg.

    Tabell temperatur

    Beräkna medeltemperaturen för de fem nätterna.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (1)

  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/1)
    ECA
    B
    P11
    PL
    M
    R
    K

    Du vet hur stor medelåldern är för tre vuxna personer. Vilka av följande frågor kan man då besvara korrekt?

    A. Hur gammal är var och en av personerna?
    B. Hur stor var medelåldern för dessa personer för exakt två år sedan?
    C. Hur stor är medelåldern för två av dessa personer?
    D. Hur stor är personernas sammanlagda ålder?

    Ange bokstäverna för de alternativ som är korrekta. men träna även på att motivera dina svar med beräkningar.

    (Äp9Ma13)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se