Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik Högstadiet
/ Geometri – Högstadiet
Vinkelsumma i triangeln och fyrhörningen
Innehåll
Vinkelsumman i en triangel är $180°$ och vinkelsumman i en fyrhörning är $360°$. I den här lektionen härleder vi varför det är på det viset och tar några exempel.
Förkunskaper för den här lektionen är att förstå Vad en triangel är samt hur vinklarna i en triangel hänger ihop. Återvänd till lektionerna i de tidigare kurserna om du känner dig osäker.
Vinkelsumma i en triangel
En sak gäller alltid för alla trianglar oavsett hur de ser ut.
En triangel har tre vinklar och summan av dessa tre vinklar är alltid $180°$180°.
Med andra ord gäller att
$v_1+v_2+v_3=180°$v1+v2+v3=180°
Du kan se en visuell förklaring varför vinkelsumman är $180°$180° i videon till denna lektion samt i bilden nedan.
Exempel trianglar
Exempel 1
Räkna ut storleken av vinkeln $v$v.
Lösning
Vinkelsumman i en triangel är $180°$180° så vi kan subtrahera de andra vinklarna från vinkelsumman för att räkna ut $v$v.
$v=180°-75°-50°=55°$v=180°−75°−50°=55°
Vinkelsumma i fyrhörningar
På liknade vis gäller en sak alltid för fyrhörningar.
En fyrhörning har fyra vinklar och summan av dessa fyra vinklar är alltid $360^{\circ}$360∘ .
Med andra ord gäller att
$v_1+v_2+v_3+v_4=360°$v1+v2+v3+v4=360°
För att förstå varför vinkelsumman är $360°$360° kan vi dela in fyrhörningen i två trianglar.
Då vi vet att en triangel har vinkelsumman $180°$180° samt att vi har två trianglar i en fyrhörning så gäller att vinkelsumman är $2\cdot180°=360°$2·180°=360°.
Olika typer av fyrhörningar
Det finns en mängd olika typer av fyrhörningar som har särskilda namn. Nedan listas dessa. Alla dessa fyrhörningar har vinkelsumman $360°$360°.
Kvadrat
I en kvadrat är alla sidor lika lång och alla vinklar är $90°$90°.
Rektangel
I en rektangel är alla vinklar $90°$90°. Bas och höjd kan vara olika långa.
Romb
I en romb är alla sidor lika långa, men vinklarna behöver inte vara $90^{\circ}$90∘. Motstående vinklar är dock alltid lika stora.
Parallellogram
I en parallellogram är höjdsidorna och bassidorna parallella och parvis lika långa, men vinklarna behöver inte vara $90^{\circ}$90∘. Motstående vinklar är dock alltid lika stora.
Parallelltrapets
I en parallelltrapets är bassidorna parallella.
Andra former
En fyrhörning kan också se ut enligt bilden här ovan och då finns inget specifikt namn för denna typ av form.
Exempel fyrhörningar
Exempel 2
Räkna ut storleken av vinkeln $v$v.
Lösning:
Vinkelsumman i en fyrhörning är $360°$360° så vi kan subtrahera de andra vinklarna från vinkelsumman för att räkna ut $v$v.
$v=360°-92°-30°-210°=28°$v=360°−92°−30°−210°=28°
Vi påminner nedan om två centrala kunskaper i arbetet med vinklar från tidigare kurser.
Markering av lika stora vinklar och sidor
För att förtydliga att olika vinklar eller längder i en figur är lika stora är det vanligt att man markera dem. Detta görs genom att man drar små streck på lika stora vinklar eller sidor. Vinklar markerade med samma antal sträck, ger att vinklarna är lika stora. Sidor markerade med samma antal streck, ger att sidorna är lika långa.
I figuren är vinkel $B$B och $C$C lika stora. Sidan $AB$AB och sidan $AC$AC är lika långa.
Om en vinkel är markerad med ett streck och en annan med två innebär det inte att vinkel två är dubbelt så stor. Bara att de har olika storlek.
En sida och en vinkel som är markerade med samma antal streck är inte lika stora.
Exempel 3
a) Bestäm vinkel $C$C då vinkel $B$B är lika med $65^{\circ}$65∘.
b) Bestäm längden $AB$AB då $AC$AC är $5$5 cm.
Lösning
a) Då vinkel $B$B och $C$C är markerade med samma antal streck, innebär det att de är lika stora. Därmed är även vinkel $C=65^{\circ}$C=65∘
b) Då längderna $AB$AB och $AC$AC, som här motsvarar en triangelns sidor, är markerande med samma antal streck är de lika långa. Det innebär att även $AB=5$AB=5 cm.
När två sidor i en triangel är lika långa säger man att triangeln är likbent.
Bisektriser
Vid beräkningar kan det ibland varar av intresse att använda sig av en bisektris. Bisektriser är en rät linjen som delar en vinkel i två lika stora delar. Följande gäller för bisektriser.
En bisektris delar en av triangelns vinklar i två lika delar.
Bisektriserna skär varandra i en punkt som motsvarar den inskrivna cirkelns centrum.
En inskriven cirkel är en cirkel vars periferi, alltså omgivande linje/omkrets, tangerar (”snuddar vid”), triangels tre sidor.
Här följer ett exempel med bisektriser.
Exempel 4
Bestäm vinkeln $x$x då linjen $AD$AD är en bisektris.
Lösning
Då sträckan $AD$AD är en bisektris innebär det att den delar vinkel $\angle BAC$∠BAC i två lika stora delar. Då vinkel $\angle BAD$∠BAD är $31^{\circ}$31∘ innebär det att vinkel $\angle BAC$∠BAC är dubbelt så stor, alltså $62^{\circ}$62∘.
Då sidorna $AB$AB och $BC$BC är markerade med samma antal streck, innebär det att triangeln är likbent. Därför är vinklarna $\angle BAC$∠BAC och $\angle ACB$∠ACB lika stora, vilket leder till att $x=62^{\circ}$x=62∘
Exempel i videon
- Bestäm storleken av vinkeln v i en triangel där vi känner till två vinklar.
- Bestäm storleken av vinkeln v i en månghörning där vi känner till tre vinklar.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (6)
-
1. Premium
Vilken är vinkelsumman i en romb?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: romb vinkelsummaRättar... -
2. Premium
Räkna ut storleken av vinkeln $v$v
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Vinkelsumma triangelRättar... -
-
3. Premium
Räkna ut storleken av vinkeln $v$v.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Vinkelsumma fyrhörningRättar... -
-
4. Premium
Räkna ut storleken av vinkeln $v$v.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Vinkelsumma fyrhörningRättar... -
-
5. Premium
Vilket påstående stämmer inte.
(Motivera ditt val)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: rak vinkel vinkelsummaRättar... -
6. Premium
Bestäm vinkeln $v$v
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Vinkelsumma i triangeln och fyrhörningenLiknande uppgifter: fyrhörning fyrhörningens vinkelsumma vinkelsummaRättar... -
c-uppgifter (2)
-
7. Premium
Vi vet följande om en fyrhörnings vinklar:
Vinkeln A är rät
Vinkeln B är rät
Vinkeln C är dubbelt så stor som vinkeln D.Bestäm storleken av vinkeln D.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: vinkelsummaRättar... -
-
8. Premium
I en triangel är två vinklar A och B lika stora. Teckna ett så enkelt uttryck som möjligt för storleken av den tredje vinkeln C.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Vinkelsumma triangelRättar...
a-uppgifter (1)
-
9. Premium
Hur stor är vinkelsumman av vinklarna $v_1$v1, $v_2$v2, $v_3$v3 och $v_4$v4?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
Ida Edman
Jag löste den så , tror att den är lättare en den som finns på förklaring:
a = 360° – v1
b = 360° – v2
c = 360° – v3
d = 360° – v4
a+ b+ c+ d= 360+360+360+360 -(v1+v2+v3+v4)
men a + b + c + d = 360°
v1+v2+v3+v4 =1440°-360°
Tommi Ahonen
Själv löste jag uppgift 8 så här:
a = 360° – v1
b = 360° – v2
c = 360° – v3
d = 360° – v4
a + b + c + d = 360°
(360°-v1) + (360°-v2) + (360°-v3) + (360°-v4) = 360°
(4 * 360°)-v1-v2-v3-v4 = 360°
1440°-v1-v2-v3-v4 = 360° |+v1+v2+v3+v4
1440° = 360°+v1+v2+v3+v4 |-360°
1440° – 360° = v1+v2+v3+v4
1080° = v1+v2+v3+v4
Endast Premium-användare kan kommentera.