Vinkelsumma i triangeln och fyrhörningen

Vinkelsumman i en triangel är $180°$ och vinkelsumman i en fyrhörning är $360°$. I den här lektionen härleder vi varför det är på det viset och tar några exempel.

Förkunskaper för den här lektionen är att förstå Vad en triangel är samt hur vinklarna i en triangel hänger ihop. Återvänd till lektionerna i de tidigare kurserna om du känner dig osäker.

En sak gäller alltid för alla trianglar oavsett hur de ser ut.

Du kan se en visuell förklaring varför vinkelsumman är $180°$180° i videon till denna lektion samt i bilden nedan.

På liknade vis gäller en sak alltid för fyrhörningar.

För att förstå varför vinkelsumman är $360°$360° kan vi dela in fyrhörningen i två trianglar.

Då vi vet att en triangel har vinkelsumman $180°$180° samt att vi har två trianglar i en fyrhörning så gäller att vinkelsumman är $2\cdot180°=360°$2·180°=360°.

Det finns en mängd olika typer av fyrhörningar som har särskilda namn. Nedan listas dessa. Alla dessa fyrhörningar har vinkelsumman $360°$360°.

Kvadrat

I en kvadrat är alla sidor lika lång och alla vinklar är $90°$90°.

Rektangel

I en rektangel är alla vinklar $90°$90°. Bas och höjd kan vara olika långa.

Romb

I en romb är alla sidor lika långa, men vinklarna behöver inte vara $90^{\circ}$90^∘. Motstående vinklar är dock alltid lika stora. 

Parallellogram

I en parallellogram är höjdsidorna och bassidorna parallella och parvis lika långa, men vinklarna behöver inte vara $90^{\circ}$90^∘. Motstående vinklar är dock alltid lika stora. 

Parallelltrapets

I en parallelltrapets är bassidorna parallella.

Andra former

En fyrhörning kan också se ut enligt bilden här ovan och då finns inget specifikt namn för denna typ av form.

Vi påminner nedan om två centrala kunskaper i arbetet med vinklar från tidigare kurser.

För att förtydliga att olika vinklar eller längder i en figur är lika stora är det vanligt att man markera dem. Detta görs genom att man drar små streck på lika stora vinklar eller sidor. Vinklar markerade med samma antal sträck, ger att vinklarna är lika stora. Sidor markerade med samma antal streck, ger att sidorna är lika långa. 

I figuren är vinkel $B$B och $C$C lika stora. Sidan  $AB$AB  och sidan  $AC$AC är lika långa.

Om en vinkel är markerad med ett streck och en annan med två innebär det inte att vinkel två är dubbelt så stor. Bara att de har olika storlek.

En sida och en vinkel som är markerade med samma antal streck är inte lika stora.

När två sidor i en triangel är lika långa säger man att triangeln är likbent.

Vid beräkningar kan det ibland varar av intresse att använda sig av en bisektris. Bisektriser är en rät linjen som delar en vinkel i två lika stora delar. Följande gäller för bisektriser.

En inskriven cirkel är en cirkel vars periferi, alltså omgivande linje/omkrets, tangerar (”snuddar vid”), triangels tre sidor.

Här följer ett exempel med bisektriser.

• Bestäm storleken av vinkeln v i en triangel där vi känner till två vinklar.
• Bestäm storleken av vinkeln v i en månghörning där vi känner till tre vinklar.