Punkter, koordinatsystem och koordinataxlar

Ett koordinatsystem består av två stycken tallinjer som placerats vinkelrätt mot varandra. Tallinjerna kallas i detta sammanhang för koordinataxlar. Den horisontellt placerade tallinjen motsvarar vad vi kallar $x$x-axeln och den lodräta $y$y-axeln.

Tallinjen för $x$x-axeln pekar vanligtvis åt höger och $y$y-axeln uppåt.

Den punkt som har både $x$x-koordinaten och $y$y-koordinaten noll kallas för origo och återfinns där $x$x-axeln skär $y$y-axeln. Denna punkt skrivs som $(0,0)$.

För att lättare kunna hitta och beskriva olika punkter i koordinatsystemet delar vi upp det i så kallade kvadranter.

I första kvadranten är värdena för både $x$x- och $y$y-koordinaten positiva.
I andra kvadranten är $x$x-koordinaten negativ, medan $y$y-koordinaten är positiv.
I tredje kvadranten är värdena för både $x$x- och $y$y-koordinaten negativa.
I fjärde kvadranten är $x$x-koordinaten positiv, medan $y$y-koordinaten är negativ.

I stället för att vara begränsad till punkter på en linje, ger denna kombination ett oändligt antal punkter i ett plan. Koordinatsystemet möjliggör beräkningar inte bara i en dimension, utan i två. Något förenklat kan vi tänka oss skillnaden som att vi tidigare endast kunnat rita på ett snöre, men att vi nu ges möjlighet att också rita på ett papper. Möjligheterna för mer komplexa avbildningar ökar.

Koordinataxlar kan vid matematiska tillämpningar motsvara olika värden och tilldelas då andra variabler. Exempelvis är det vanligt att $x$x-axeln tilldelas variabeln $t$ och motsvarar då tid, medan $y$y-axeln betecknas $s$ och beskriver då en sträcka.

Koordinatsystem används inom mängder av olika områden, alltifrån att visualisera statistik och ekonomiska förlopp till att rita ut grafer till funktioner. Det är därför mycket viktigt att känna till grunderna i koordinatsystem, koordinater, hur vi läser av ett koordinatsystem och hur vi markerar ut punkter.

För att kunna ange en specifik punkt i ett koordinatsystem har varje punkt en så kallad $x$x-koordinat och en $y$y-koordinat. Dessa bestäms av punktens placering i förhållande till $x$x-axeln och $y$y-axeln.

För att beteckna en punkt matematiskt använder vi oss av $x$x-värdet och $y$y-värdet med kommatecken emellan, inskrivet i en parentes, så här $(x, y)$.

Vi skriver alltid $x$x-koordinaten först, följt av kommatecknet och därefter $y$y-värdet, allt inom en parentes. Ett tips för att minnas är att koordinaterna kommer i bokstavsordning: x, y.

Genom att dra en rät linje från punkten lodrätt ner mot $x$x-axeln kan vi läsa av $x$x-koordinaten för punkten.

För att läsa av $y$y-koordinaten drar vi en horisontell rät linje från punkten mot $y$y-axeln och avläser $y$y-värdet.

Ju längre åt höger från $y$y-axeln punkten befinner sig, desto större positiva värden antar den för $x$x. Till vänster om $y$y-axeln motsvaras $x$x-koordinaten av negativa värden.

Punkter ovanför $x$x-axeln har positiva $y$y-koordinater, medan de är negativa om punkten befinner sig under $x$x-axeln.

Punktens koordinater härstammar från rörelsen från origo. För att komma från origo till punkten $\left(1,\text{ }3\right)$(1, 3) måste vi flytta oss ett steg i positivt $x$x-led och tre steg i positivt $y$y-led.

Innehåller koordinaterna decimaler kan vi använda semikolon som skiljetecken för att undvika missförstånd. Exempelvis är det omöjligt att läsa av punkten $\left(3,2,5\right)$(3,2,5) entydigt. Är $x$x-värdet $3$3 eller $3,5$3,5?

För att undvika detta skriver vi då i stället $\left(3;\text{ }2,5\right)$(3; 2,5) vilket ger att koordinaternas värde är $x=3$x=3 och $y=2,5$y=2,5.

En del väljer att alltid använda semikolonet, men i svensk litteratur är det ganska vanligt att välja kommatecknet vid heltalskoordinater.

• Rita ut punkterna $(2, 3), (-2, 2), (-1, -3), (0,5; 0,5)$ i ett koordinatsystem.
• Beräkna arean för rektangeln som bildas om punkterna $ (-2,4), \,(1,-2), \,(-2,-2), \,(1,4) $ binds samman med linjer till en rektangel.