...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik Högstadiet
 /   Koordinatsystem, Grafer och funktioner

Proportionalitet

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

I den här lektionen lär du dig vad proportionalitet är och hur du kan se att ett samband är proportionellt.

Definition av proportionalitet

Variabeln $y$ är proportionell mot variabeln $x$, om det finns en konstant $k$ skild från $0$, så att

$ y=kx $

Konstanten $k$ kallas för en proportionalitetskonstant.

Proportionalitet

Vi börjar med ett exempel där mängden godis är $x$x hg och kostnaden för godiset $y$y kr. Om du exempelvis idag köper dubbelt så mycket godis som i går så kommer även priset för ditt godisinköp att dubbleras, eftersom att då $x$x dubbleras, så kommer även $y$ att dubbleras.

Om du i stället köper en tredjedel så mycket godis kommer inköpet landa på en tredjedel av kostnaden, eftersom att så $x$x blir tre gånger så litet, blir även $y$y bli tre gånger så litet.

Proportionalitet gäller mellan två variabler om den ena variabeln motsvarar en konstant multipel av den andra. Alltså om deras förhållande är konstant.

Grafen går alltid genom origo

I exemplet med kostnaden för godiset ovan gäller även en annan av proportionalitetens regler, nämligen att det turligt nog inte finns någon fast kostnad, en så kallad startavgift, för att köpa godis. Du betalar endast för hur mycket godis som du köper och kostnaden är en multipel av mängden godis. Ett sådant här samband kallas för ett proportionellt samband.

Nedan följer ett antal exempel på där proportionella samband beskrivs med text och med grafer.

Exempel 1

En datorkonsult som hjälper företag att utveckla hemsidor tar $550$ kr per timme. Beskriv sambandet med en formel och med en graf.

Lösning

Här kan vi beskriva kostnaden $y$ kr för utveckling i $x$ timmar med

$y=550x$

Detta samband är proportionellt med proportionalitetskonstanten $550$. Vi kan beskriva sambandet med följande graf.

proportionalitet-exempel-1

Notera här att grafen går genom origo och är en rät linje.

Det är ganska lätt att känna igen en proportionell linjär funktion. Två kriterier ska uppfyllas.

Linjära samband

För grafen till ett proportionellt samband gäller alltid att grafen går genom origo och är en rät linje.

Så genom att kolla dessa två kriterier kan man bestämma om den linjära funktionen är proportionell. 

Exempel 2

Vilken av följande tre grafen beskriver en proportionalitet?

proportionalitet-exempel2

Lösning

Här är det endast graf C som är en rät linje och som går genom origo, så endast graf C beskriver en proportionalitet.

Genom att undersöka om funktionen kan skrivas på formen $y=kx$y=kx kan man avgöra om den har ett proportionellt samband mellan sin oberoende och beroende variabel.

Exempel 3

blå-kombi

Harrys biluthyrning AB ger följande två prisexempel på hyreskostnaden.

  • $5$ timmar kostar $1500$ kr
  • $8$ timmar kostar $2400$ kr

Är kostnaden proportionell mot antalet timmar som bilen hyrs?

Lösning

$5$ timmar kostar $1500$ kr vilket ger en timkostnad på $\frac{1500}{5}=$15005 =$300$300 kr 

$8$ timmar kostar $2400$ kr vilket ger en timkostnad på $\frac{2400}{8}=$24008 =$300$300 kr 

Alltså gäller att kostnaden är proportionell mot antalet timmar som bilen hyrs ut. Det gäller eftersom att kostnaden är en multipel av antalet hyrtimmar och kan därmed beskrivas med $y=300x$y=300x.

Proportionalitet i fysiken

Bra att känna till är att variabeln $x$x i detta sammanhang kan motsvarar vilken funktion som helst. Det måste alltså inte vara en linjära funktion utan ett proportionellt samband kan lika gärna vara ett samband mellan en konstant och en potensfunktion. Exempelvis kommer du i fysiken på gymnasiet stöta på detta i samband med så kallad kinetisk energi och beräkningar av krafter.

Den kinetiska energin $E_k$Ek för en punktformig kropp med massan $m$m och hastigheten $v$v är  $E_k=$Ek=$\frac{mv^2}{2}$mv22 .
Energin är alltså proportionell mot hastigheten i kvadrat, det vill säga $v^2$v2 och proportionalitetskonstanten är här massan delat på två, $\frac{m}{2}$m2 .

Och förenklat kan vi säga att kraftens storlek motsvarar

$F=$F= $\frac{k\cdot q_1\cdot q2}{r^2}$k·q1·q2r2  

där $q_1$q1 och $q_2$q2 är partiklarnas laddningar, $r$r avståndet mellan partiklarna och $k$k är det som kallas Coulombs konstant.

Man säger att kraften är omvänt proportionell mot avståndet i kvadrat, det vill säga $r^2$r2 och proportionalitetskonstanten är här Columbuskonstant multiplicerat mer produkten av partiklarna laddning.

Men i denna kursen kommer vi framför allt jobba med proportionalitet med linjära samband.

Exempel i videon

  • I en godisaffär betalar du 5 kr per hg godis. Beskriv denna proportionalitet med en formel och en graf.
  • Vilka av följande 5 grafer visar en proportionalitet?
    proportionalitet
  • Att hyra en festlokal i 4 timmar kostar 2500 kr. Hyran för 8 timmar är 4000 kr. Är hyran proportionell mot antalet timmar?

Kommentarer

Fredrik Klasson

I uppgift 3 finns ingen lösning?

    Anna Admin (Moderator)

    Tack, Fredrik för att du uppmärksammade oss på denna miss. Det är nu tillagt.

    Lycka till med Proportionaliteten!


Endast Premium-användare kan kommentera.

Visa medaljer Visa timer Starta timer automatiskt Lämna in vid tidsslut Rätta en uppgift i taget Redigera övning
Tid kvar
00:00
  • E
    0/0
  • C
    0/0
  • A
    0/0
Totalpoäng
0/0

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Vilken av graferna visar ett proportionellt samband?

    tre grafer

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Dra den punkt A så att linjen visar en proportionalitet.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Dra punkt B så att linjen visar en proportionalitet.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    I en gårdsbutik som säljer ost så kostar osten $ 56\,kr/kg $.

    Är priset proportionellt mot vikten?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M


    I staden Stockborgs simhall betalar man $120$120 kronor i medlemsavgift. Utöver det betalar man $40$40 kronor per timme i simhallen.

    Är priset proportionellt mot mot tiden som du befinner dig i simhallen?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Fatima kan välja mellan två olika betalningsmodeller A och B på en bowlinghall.

    A: ”Betala 560 kronor, sedan kan du bowla hur många gånger du vill.”
    B: Betala 40 kronor per tillfälle.

    Fatima vill endast välja proportionella betalningsmodeller, vilken skall hon då välja?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M 1
    R
    K
    M

    Elin har börjat i en ny skola och behöver åka buss till och från skolan varje dag. Diagrammet visar kostnaden för enkelresor, det vill säga för en resa till eller från skolan.

    Ett månadskort kostar $230$230 kr. Hur många enkelresor måste Elin minst göra för att hon ska tjäna på att köpa ett månadskort?

    NP ht16

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M 1
    R
    K
    M

    När man hyr ett tält på en camping så betalar man $100$100 kronor per dygn för tältplatsen och $250$250 kronor för ett tält per dygn.

    Ställ upp en proportionell formel där priset $y$y är proportionellt mot tiden $x$x dygn, om man ska hyra både tält och tältplats.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/0)
    E C A
    B
    P 1 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Elin har börjat i en ny skola och behöver åka buss till och från skolan varje dag. Diagrammet visar kostnaden för enkelresor, det vill säga för en resa till eller från skolan.

    Vad kostar en enkelresa enligt diagrammet?

    NP ht16

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R 1
    K
    M

    Konsertarrangören Ulrika skall hyra ljudutrustning. Följande timpriser har uthyraren för det som Ulrika behöver.

    2 timmar: 550 kr
    4 timmar:  1100 kr
    16 timmar: 4400 kr

    Är priset proportionellt mot tiden som Ulrika hyr utrustningen?

    Träna på att motivera ditt svar med uträkningar och resonemang.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
Visa medaljer Visa timer Starta timer automatiskt Lämna in vid tidsslut Rätta en uppgift i taget Visa detaljerad matris Redigera övning
Tid kvar
00:00
Totalpoäng
0/0
  • E
    0/0
  • C
    0/0
  • A
    0/0
E C A
Totalt
Dina svar lämnas in automatiskt.