...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 1
 /   Sannolikhetslära

Komplementhändelser

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

En händelse som motsvarar alla utfall som inte ingår i en given händelse kallas för komplementhändelse. Om Aᶜ är komplementhändelsen till A så gäller att P(A)+P(Aᶜ) = 1.

Komplementhändelser

Komplementhändelse

Om  $A^c$Ac är komplementhändelse till händelsen $A$A gäller att

$P\left(A\right)+P\left(A^c\right)=1$P(A)+P(Ac)=1

Med hjälp av komplementhändelsen kan vi beräkna sannolikheten för en händelse genom att subtrahera $1$1 med komplementhändelsen, alltså  $P\left(A^c\right)=1-P\left(A\right)$P(Ac)=1P(A).

En händelse som motsvarar alla utfall som inte ingår i en given händelse kallas för komplementhändelse.

Om sannolikheten att det regnar är $20\text{ }\%$20 %, så är sannolikheten att det inte regnar $80\text{ }\%$80 %.

Därför att antingen regnar det eller så regnar det inte. Händelserna utesluter varandra och det är $100\text{ }\%$100 % sannolikhet att någon av de två händelserna inträffar.

På liknande vis gäller att om sannolikheten för vinst i en casino-app är $5\text{ }‰$5 ‰, så är sannolikheten att du förlorar $995\text{ }‰$995 ‰, det vill säga $99,5\text{ }\%$99,5 % risk.

Eftersom att sannolikheten för hela utfallsrummet, det vill säga alla utfall för en händelse, är lika med $1$1, får vi att summan av den gynnsamma händelsen och alla de som inte är gynnsamma är lika med $1$1. Detta kan vi utnyttja.

Exempel 1

Mats hör på radion att sannolikheten för regn på förmiddagen är $20\text{ }\%$20 %.

a) Vad är komplementhändelsen till $P\left(\text{Regn}\right)$P(Regn)?

b) Bestäm sannolikheten för komplementhändelsen.

Lösning

a) Komplementhändelsen till $P\left(\text{Regn}\right)$P(Regn) är $P\left(\text{Inte regn}\right)$P(Inte regn). Frestas inte att tro att det innebär att solen kommer skina! De kan lika gärna vara molnigt, snöa eller hagla.

Händelsen anger endast regn vilket ger att summan av alla andra väder har det gemensamma att det inte regnar.

b) Då sannolikheten för $P\left(\text{Regn}\right)=0,2$P(Regn)=0,2  är komplementhändelsens sannolikhet $P\left(\text{Inte regn}\right)=1-P\left(\text{Regn}\right)$P(Inte regn)=1P(Regn). Vi får att

$1-0,2=0,8$10,2=0,8

Så sannolikheten för att det inte kommer regna på förmiddagen uppskattas till $80\text{ }\%$80 %.

Effektivisera din beräkning

Om uppgiften kräver att du behöver beräkna sannolikheten för flera olika utfall och grenar för att hitta ditt svar kan det vara effektivare att beräkna komplementhändelsen.

Exempel 2

I en byrålåda ligger röda, vita och blå sockor. Totalt finns det 19 stycken sockor varav 10 stycken är vita. Det finns dubbelt så många röda som blå sockor.

Vilken är sannolikheten att man får upp en blå eller röd socka om man slumpmässigt tar ur en socka ur lådan?

Lösning

I stället för att beräkna sannolikheten för att få en blå socka eller en röd socka och addera dessa, kan vi använda komplementhändelsen och spara lite arbete.

Händelsen ”Inte få en blå eller röd socka” är komplementhändelse till händelsen ”Få en blå eller röd socka”. Men i detta exempel är det samma händelse som ”Få en vit socka” eftersom att det inte finns några andra sockor.

Vi får då att

$P\left(\text{Få en vit socka}\right)=$P(Få en vit socka)=$\frac{10}{19}$1019 

Och då summan av en händelse och komplementhändelsen är lika med $1$1 får vi att

$1-P\text{(Få en vit socka) }=P\text{(Få en blå eller röd socka) }$1P(Få en vit socka) =P(Få en blå eller röd socka)

vilket ger oss sannolikheten

$1-$1 $\frac{10}{19}=\frac{19}{19}-\frac{10}{19}=\frac{9}{19}\approx$1019 =1919 1019 =919  $0,47$0,47

Detta motsvarar ca $47\text{ }\%$47 % chans att få en blå eller röd socka.

Låt oss återvända till ett tidigare exempel. Vi söker sannolikheten att få åtminstone en fyra då vi kastade två tärningar. Som vi sa, så är det endast en gren som inte är gynnsam. Nämligen grenen som motsvarar att vi inte får någon fyra alls.

Eftersom att summan av alla grenarna i träddiagrammet är lika med $1$1 får vi att $1-P\left(\text{Ingen fyra}\right)=P\left(\text{Åtminståne en fyra.}\right)$1P(Ingen fyra)=P(Åtminståne en fyra.)

Vi beräknar exemplet om fyrorna ingen, fast nu med komplementhändelsen.

Exempel 3

Kasta två tärningar. Hur stor är sannolikheten att få åtminstone en fyra?

Lösning

Då  $P\left(\text{Ingen fyra}\right)$P(Ingen fyra) är komplementhändelse åt vår sökta händelse $P\left(\text{Åtminstone en fyra}\right)$P(Åtminstone en fyra) använder vi oss av komplementhändelsen för att beräkna uppgiften.

Vi ritar ett träddiagram för att åskådliggöra komplementhändelsen.

Komplementhändelse träddiagram

$P\left(\text{Ingen fyra}\right)$P(Ingen fyra)  $=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$=56 ·56 =2536 

Vi kan med hjälp av detta nu beräkna sannolikheten för åtminstone en fyra med hjälp av att vi vet att summan av dessa händelser ska vara lika med ett.

$1-$1   $P\left(\text{Ingen fyra}\right)=1-$P(Ingen fyra)=1 $\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{11}{36}$56 ·56 =1136 

I exemplet ovan är det inte så stor skillnad i jobbet som krävs om man använder komplementhändelsen eller ej. Men i andra fall blir det avgörande med denna kunskap för att kunna lösa uppgiften eller undvika att trassla in sig i stora komplicerade träddiagram.

Spara tid med komplementhändelser

När vi beräknar sannolikheter med hjälp av träddiagram kan vi upptäcka händelser där de grenar som inte är gynnsamma är mycket färre än de gynnsamma. Detta leder till att det ibland är enklare och mer effektivt att beräkna sannolikheten för de utfall som inte är gynnsamma.

Exempel 4

Fröken är lite oroad över att eleverna slarvar lite med att komma i tid och inte har med sig det de behöver för att kunna arbeta vid lektionen. Hon börjar därför föra statistik över hur stor andel av eleverna som kommer i tid och har med sig en penna och bok till lektionen.

Resultatet efter en veckas undersökning visas i de tre diagrammen.

Statistik och sannolikhet

Fröken har nu gjort en överenskommelse med eleverna. Den dagen alla har med sig penna och bok och kommer i tid till lektionen ska hon bjuda alla på glass. Men de dagar en eller flera elever inte har med sig penna eller bok eller kommer försent får fröken lotta mellan de eleverna om vem som istället ska bjuda henne på glass.

Hur stor är sannolikheten att hon en slumpvis vald dag blir bjuden på glass kommande vecka, förutsatt att eleverna inte ändrar sitt beteende alls?

Lösning

Fröken blir bjuden på glass alla de dagar någon glömt en penna eller bok eller kommer försent. Att göra ett träddiagram som motsvarar kombinationen av de tre händelserna och alla olika utfall och sedan beräkna sannolikheten för alla gynnsamma grenar är ett omfattande jobb.

Men med hjälp av komplementhändelsen kan vi förenkla denna beräkning för sannolikheten eftersom att komplementhändelsen till $P\left(\text{Någon kommer försent och/eller saknar penna och/eller saknar bok}\right)$P(Någon kommer försent och/eller saknar penna och/eller saknar bok) är sannolikheten för att $P\left(\text{Alla har med penna och bok och är i tid}\right)$P(Alla har med penna och bok och är i tid).

Med hjälp av komplementhändelsen kan vi sedan beräkna sannolikhet för att en elev åtminstone missar en av sakerna, vilket leder till att läraren blir bjuden på glass!

Sannolikheten $P\left(\text{Har boken med sig}\right)=$P(Har boken med sig)= $\frac{1}{5}=$15 =$0,2$0,2  eftersom att det är en dag, tisdag, av fem möjliga som alla eleverna haft med sig boken. Vi läser av de andra sannolikheterna till

$P\left(\text{Penna med sig}\right)=0,91$P(Penna med sig)=0,91 eftersom att $91\%$91%  av eleverna alltid har med sig penna.

$P\left(\text{Kommer i tid}\right)=0,88$P(Kommer i tid)=0,88  eftersom att $88\%$88%  av eleverna alltid kommer i tid.

Med multiplikationsprincipen får vi sannolikheten för att alla dessa tre utfall inträffar samma dag.

$P\left(\text{Alla har med penna och bok och är i tid}\right)=0,2\cdot0,91\cdot0,88\approx0,16$P(Alla har med penna och bok och är i tid)=0,2·0,91·0,880,16

Sannolikheten för att någon elev åtminstone missar en av sakerna är då

$P\left(\text{Någon kommer försent och/eller saknar penna och/eller saknar bok}\right)=$P(Någon kommer försent och/eller saknar penna och/eller saknar bok)=$1-P\left(\text{Alla har med penna och bok och är i tid}\right)=$1P(Alla har med penna och bok och är i tid)= $1-0,16=0,84$10,16=0,84  vilket motsvarar $84\%$84%  chans. 

Detta exempel bygger på experimentell sannolikhet. Och statistiken bygger på en väldigt liten mängd data, nämligen en veckas beteende. Detta medför att chansen att elevernas beteende ändras är stor, extra då det finns glass med i bilden. Och det i sin tur kommer förändra sannolikheten för de olika utfallen och därmed kanske öka risken att fröken får bjuda på glass.

Men det gör hon säkert gärna bara alla kommer i tid, har med sig boken och en penna!

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Bil

    Vad är sannolikheten att det är grönt vid ett övergångsställe om sannolikheten att det inte är grönt är $0,25$0,25?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad är summan av $P\left(A\right)+P\left(B\right)$P(A)+P(B) om händelserna $A$A och $B$B är komplementhändelser?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad är komplementhändelsen till händelsen  $P\text{ (En etta)}$P (En etta) om du kastar en vanlig tärning? 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Sannolikheten för händelse $A$A är $P\left(A\right)=0,35$P(A)=0,35 

    Vilken händelse skulle kunna vara en komplementhändelse till $A$A?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Beräkna sannolikheten att Mia hinner med bussen till skolan fem dagar i rad om
     $P\text{(Mia missar bussen)}=0,27$P(Mia missar bussen)=0,27.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R1
    K

    Georg spelar rollspel med sina kompisar och skall slå ett färdighetsslag för ett uppdrag. Om han slår en $1:\text{a}$1:a på en $20$20-sidig tärning två gånger i rad, betyder det att han klarar av att balansera över en bottenlös avgrund på en smal spång.

    Hur stor är sannolikheten att Georg ramlar ner i avgrunden?

    Svara med två decimalers noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Just den dag som Piff och Puff ska köpa ett överaskningsägg med en leksak i, råkar sannolikheten för att få en blå bil i överraskningsägget vara $4\%$4%. Sannolikheten för en grön bil är $\text{P(grön bil)}=$P(grön bil)=$\frac{11}{25}$1125  och en rosa $\text{P(rosa bil)}=$P(rosa bil)=$\frac{10}{25}$1025     

    Piff påstår att komplementhändelsen till $\text{P(en blå bil)}$P(en blå bil), när man köper ett ägg, är $\text{P(en grön eller en rosa bil)}$P(en grön eller en rosa bil). Puff säger att det inte stämmer.

    Håller du med Piff, Puff, båda eller ingen?

    Träna på att motivera ditt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/2)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K1

    spader_ess

    Vilken är sannolikheten att du får minst två spaderkort när fyra stycken kort slumpmässigt dras ur en kortlek med $52$52 kort? 

    Rita ett träddiagram som hjälp för att lösa uppgiften.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    ECA
    B1
    P
    PL1
    M
    R1
    K

    På en skolgård spelar barnen kula. Barnen kastar kulor mot pyramider som består av fyra kulor. Följande spelregler gäller:

    Sannolikhet

    Camilla har under en dag observerat sin lillebror Niklas när han kastar kula. Av 150 kast har Niklas träffat pyramiden 15 gånger och missat 135 gånger.

    Hur stor är sannolikheten att Niklas ”går plus” med minst en kula i en spelomgång?

    Besvara frågan utifrån spelreglerna och Camillas observationer av hur ofta Niklas träffar eller missar.

    (Variant NP Ma1abc ht16)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (3)

  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R1
    K

    På en skolgård spelar barnen kula. Barnen kastar kulor mot pyramider som består av fyra kulor. Följande spelregler gäller:

    Sannolikhet

    Camilla har under en dag observerat sin lillebror Niklas när han kastar kula. Av 150 kast har Niklas träffat pyramiden 15 gånger och missat 135 gånger.

    Hur stor är sannolikheten att Niklas ”går minus” med minst en kula i en spelomgång? 

    Besvara frågan utifrån spelreglerna och Camillas observationer av hur ofta Niklas träffar eller missar.

    (Variant NP Ma1abc ht16)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R1
    K

    Tabellen visar antalet barn födda i Sverige under $90$90-talet.

    Tabell

    En morfar fick $14$14 barnbarn under $90$90-talet. Hur stor är sannolikheten att minst två av barnbarnen var flickor?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Kusin Vitamin har gjort ett lyckohjul.

    Vad är chansen att få två stjärnträffar på fyra försök?

    Ange exakt svar i bråkform.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se