...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 1
 /   Sannolikhetslära

Sannolikheter i flera steg och träddiagram

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Vi är ofta intresserade av att kunna bedöma en chans eller risk för att en kombination av olika händelser sker. Vid beräkningar av sannolikheter i flera steg används multiplikationsprincipen. Den säger att vi beräknar sannolikheter i flera steg genom att multiplicera sannolikheten för respektive utfall med varandra. När flera vägar är möjliga används träddiagram för att visualisera vägarna och förenkla beräkningen.

Så fungerar sannolikheter i flera steg

Sannolikheter i flera steg kan beskrivas med en händelse där flera saker skall ske i följd. Exempelvis att du slår tre ettor i följd när du kastar tärning eller missar bussen två gånger i rad. För att beräkna den totala sannolikheten för att alla gynnsamma händelser som ska inträffa i följd använder vi multiplikationsprincipen.

Multiplikationsprincipen

Om sannolikheten för en första händelse är $P(A)$ och följande händelse är $P(B)$ så är sannolikheten för att de bägge sker i följd $P(A)\cdot P(B) $. 

Vi kan utöka till flera önskade utfall i följd genom att multiplicera alla de gynnsamma utfallens sannolikheter med varandra.

Exempel 1

Ange sannolikheten för att slå tre ettor i följd när du kastar en tärning.

Lösning

Sannolikheten att slå en etta, är $\frac{1}{6}$16 .

Med multiplikationsprincipen får vi sannolikheten för att denna händelse ska upprepa sig tre gånger i följd, genom att multiplicera sannolikheterna för varje kast.

$ P( \text{Tre ettor} ) =$ 

$\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{216}$16 ·16 ·16 =1216  

Med en tärning menar man alltid i dessa sammanhang att det är en helt vanlig tärning och den har sex unika sidor där sannolikheten för att ett visst antal prickar hamnar uppåt alltid är $\frac{1}{6}$16 .

Det är bra att veta att sannolikheten i denna typ av exempel är den samma om man kastar tre tärningar samtidigt eller samma tärning tre gånger. Detta eftersom att varje kast med tärningen är helt oberoende av det föregående kastet. Resultatet för ett tärningskast är obundet till tiden och övriga kast.

Däremot finns det andra händelser där tidpunkt påverkar sannolikheten av utfallet.

Oberoende händelser

Man kan dela upp olika händelser i oberoende och beroende. Och precis som det låter så är varje utfall till en oberoende händelser inte beroende av tidigare utfall. Vanliga exempel på oberoende händelser är att kasta en tärning eller snurra på ett lyckohjul. 

Exempel 2

Du kastar en tärning och får en sexa! Du kastar igen och undrar: ”Har min chans minskat eller ökat nu eftersom att jag fick en sexa förra kastet?” Vilket påstående stämmer bäst?

A. Din chans har minskat, eftersom att att händelsen $H=\left\{\text{Få en sexa}\right\}$H={Få en sexa} är en beroende händelse.

B. Din chans har ökat, eftersom att att händelsen $H=\left\{\text{Få en sexa}\right\}$H={Få en sexa} är en beroende händelse.

C. Din chans är oförändrad, eftersom att att händelsen $H=\left\{\text{Få en sexa}\right\}$H={Få en sexa} är en oberoende händelse.

Lösning

Alternativ C stämmer bäst. Kommande kast med en tärning påverkas inte av tidigare kast och händelsen $H=\left\{\text{Få en sexa}\right\}$H={Få en sexa} är därför en oberoende händelse.

Beroende händelser

En beroende händelse är en händelse där utfallet påverkas av en andra händelser. Vanlig exempel på detta är att dra ett antal kort efter varandra i en kortlek eller ta godisbitar ur en påse. Utfallet på nästa händelse, ex ta en godis ur påsen, kommer att påverkas av vilka godisar du redan tagit från påsen och därmed påverka sannolikheten att du får just den bit du hoppats på.

Exempel 3

Ta först en godis ur din godis påse som bara innehåller två hallonbåtar och tio lakritsbåtar. Du får en lakrisbåt! Sen tar du en till och undrar: ”Har min chans att få en lakritsbåt till minskat eller ökat nu eftersom att jag fick en lakritsbåt förra gången?” Vilket påstående stämmer bäst?

A. Din chans har minskat, eftersom att att händelsen $H=\left\{\text{Få en lakritsbåt}\right\}$H={Få en lakritsbåt} är en beroende händelse.

B. Din chans har ökat, eftersom att att händelsen $H=\left\{\text{Få en lakritsbåt}\right\}$H={Få en lakritsbåt} är en beroende händelse.

C. Din chans är oförändrad, eftersom att att händelsen $H=\left\{\text{Få en lakritsbåt}\right\}$H={Få en lakritsbåt} är en oberoende händelse.

Lösning

Alternativ A stämmer bäst. Vilken godis du redan har tagit ur påsen kommer att påverka vilka godisar som finns kvar i påsen. Och då du tidigare fick en lakritsbåt, finns det en mindre andel lakritsbåtar kvar i påsen, vilken minskar sannolikheten att du får en sådan. Därför händelsen $H=\left\{\text{Få en lakritsbåt}\right\}$H={Få en lakritsbåt} är en beroende händelse.

När du har händelser som omfattar många olika utfall behöver du ofta hjälp att få struktur på de olika utfallen och sannolikheterna. Då kan ett träddiagram vara väldigt användbart.

Träddiagram

Träddiagram används för att beräkna sannolikheter i flera steg. En eller flera olika kombinationer av utfallen kan motsvara den gynnsamma händelse.

Träddiagram

I ett träddiagram redovisas alla olika utfall för att förenkla beräkning av sannolikheter i flera steg. Det kommer till störst nytta då det finns olika grenar, vilket motsvarar olika möjliga vägar, att nå fram till det önskade resultatet.

Sannolikheten för en gren

Genom att leta reda på den gren som motsvarar de gynnsamma utfallen för en händelse, kan vi beräkna sannolikheten för just den kombinationen av utfall. Den gör vi med hjälp av multiplikationsprincipen.

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen säger att sannolikheten längs en gren ges av produkten av sannolikheterna för vart utfall längs grenen.

Exempel 3

Kasta två tärningar. Hur stor är sannolikheten att inte få någon fyra?

Lösning

Vi ritar ett träddiagram för att åskådliggöra de olika utfallen. Antingen får man en fyra eller så får man inte en fyra.

$P\left(\text{Inte en fyra}\right)=$$\frac{5}{6}$56    och   $P\left(\text{En fyra}\right)=$ $\frac{1}{6}$16  

Träddiagram

Det finns bara en kombination av utfall som är gynnsamma för händelsen inte någon fyra.  Nämligen A={Ej en fyra, Ej en fyra}. Alltså att båda tärningarna visar något annat än en fyra. Vi har markerat grenen med rött.

Vi får sannolikheten för varje gren med multiplikationsprincipen. Och här är bara grenen längt till vänster gynnsam.

 $P\left(\text{Ingen fyra på två kast}\right)=$P(Ingen fyra på två kast)=$\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$56 ·56 =2536   

  vilket motsvarar ca $69\%$69% chans.

Varje ny förgrening motsvarar resultatet av ett försök och summan av var förgrenings sannolikheter ska vara $1$1  om hela utfallsrummet är med i träddiagrammet. 

Träddiagram Förgreningen är lika med 1

Med andra ord motsvarar det grönmarkerade grenarna summan av sannolikheterna $P\left(A\right)+P\left(B\right)=1$P(A)+P(B)=1 och motsvarar resultatet av det första utfallet. På liknande vis är det rödmarkerade grenarna $P\left(C\right)+P\left(D\right)=1$P(C)+P(D)=1 och blåmarkerade grenarna $P\left(E\right)+P\left(F\right)$P(E)+P(F) också lika med $1$1.  Detta kan vara till hjälp när man konstruerar ett träddiagram för att kontrollera att man fått med alla utfall.

Flera gynnsamma grenar

Om flera grenar är gynnsamma får vi den totala sannolikheten genom att addera sannolikheten för alla gynnsamma grenar med varandra.

Sannolikheten i ett träddiagram

Sannolikheten för en händelse fås i ett träddiagram genom att summera de gynnsamma grenarnas sannolikheter.

Vi tittar på ett exempel där flera grenar motsvarar det önskade resultatet, det vill säga är gynnsamma.

Exempel 4

Kasta två tärningar. Hur stor är sannolikheten att få åtminstone en fyra?

Lösning

Vi ritar ett träddiagram för att åskådliggöra de olika utfallen. Att få åtminstone en fyra motsvarar händelsen att få en eller två fyror.

Träddiagram

Det finns tre kombinationer av utfall som är gynnsamma för händelsen åtminstone en fyra. 

A={Ej en fyra, En fyra}

B={En fyra, Ej en fyra}

C={En fyra, En fyra}

Vi får sannolikheten för varje gren med multiplikationsprincipen. Sedan adderar vi de gynnsamma grenarna för att få den totala sannolikheter för att få åtminstone en fyra.

 $P\left(\text{åtminstone en fyra}\right)=$P(åtminstone en fyra)= $\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{11}{36}$56 ·16 +16 ·56 +16 ·16 =1136   

  vilket motsvarar ca $30\%$30% chans.

I exemplet ovan ser vi att endast en gren inte är gynnsam. Nämligen den gren som motsvarar att man inte får någon fyra alls. 

Vid beräkning av sannolikhet är det ibland enklare att beräkna sannolikheten för den utfall som inte är gynnsamt. 

Eftersom att sannolikheten för alla utfall för en händelse är lika med $1$1, får vi att summan av den gynnsamma händelsen och alla de som inte är gynnsamma är lika med $1$1. Detta kan vi utnyttja ibland. Vi kommer kolla mer på det i lektioner om komplementhändelser.

Exempel i videon

  • Pelle skall kasta en tärning tre gånger i följd. Vad är sannolikheten att han först får en femma, sedan en fyra och sist en sexa?
  • Vad är sannolikheten att dra två damer på raken ur en kortlek med 52 kort?
  • Två kort dras slumpmässigt ur en kortlek.
    a) Vad är sannolikheten att få exakt en dam?
    b) Vad är sannolikheten att vi får minst en dam?
  • Ylva snurrar tre gånger på ett lyckohjul. Ett av åtta fält ger vinst. Vilken är sannolikheten att hon får minst en vinst?

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (10)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Anta att du kastat en tärning tre gånger och fått en sexa varje gång.
    Hur påverkar det dina chanser att få en sexa när du kastar tärningen en fjärde gång?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Tärning

    Vilken sannolikhet är det att du får ett par om du kastar två tärningar?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Du har fått i uppgift att ta upp kulor ur en påse som innehåller endast blå och röda kulor. Efter varje dragning lägger du tillbaka kulan som dragits. Utfallen visas i träddiagrammet.

    Träddiagram

    Ange sannolikheten som fattas i träddiagrammet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Du tar en godis ur din godis påse som bara innehåller fyra chokladbitar och sex polkagrisar. Du får en polkagris!

    Du tar en till och undrar: ”Har min chans att få en polkagris till minskat eller ökat nu eftersom att jag fick en polkagris förra gången?”

    Vilket påstående stämmer bäst?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Du är på tivoli och bestämmer dig för att spela två gånger på chokladhjulet. Hjulet är numrerat från $1$1 till $32$32 och vinster delas ut på nr $1,\text{ }8,\text{ }16\text{ och }24$1, 8, 16 och 24 .

    Hur stor är chansen att du vinner båda gångerna du spelar?
    Ange svaret i procent med två decimaler.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    I en påse ligger det  $7$7  röda äpplen och  $2$2  gröna äpplen . Hanna tar upp och äter upp ett rött äpple. 

    Hur stor är sannolikheten att hon tar upp ett rött äpple till när hon blir sugen på frukt igen ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Einar går över två övergångsställen på väg till skolan. Sannolikheten att det är grön gubbe är $0,75$0,75  på båda ställena. Vi låter A vara händelsen ”grön gubbe” och B vara händelsen ”röd gubbe”. Beräkna den blå grenen och förklara vilken händelses sannolikhet du beräknat.

    Träddiagram

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL11
    M
    R
    K

    Nisse och hans lillasyster spelar Yatzy med fem tärningar. Nisse har kastat sitt första kast och har fått $4$4stycken ettor. Nu vill han självklart ha en femte etta så att han får Yatzy.

    a) Hur stor chans har han att få Yatzy på sitt nästa slag?

    b) Hans lillasyster som är mycket tävlingsinriktad suckar precis innan han ska slå sitt nästa kast med tärningen: – Fyra tärningar med samma siffra,  hur stor är sannolikheten? Svara henne.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna den totala sannolikheten för de fyra grenarna markerade med pilar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Vad är sannolikheten att du drar två ess i rad om du drar två kort slumpvis ur en kortlek?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 11. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R1
    K

    Du har dragit fyra kort i en kortlek och fått två par.

    Vad är sannolikheten att du får en kåk om du drar ytterligare ett kort?

    Kåk kallas den hand då du har fem kort vara av två kort är av en valör och tre av en annan. Två par kallas det när två kort är av en, samma, valör och två av en annan valör.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Vilken är sannolikheten att inte få någon spader när $4$4 stycken kort dras ur en kortlek med $52$52  kort? 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/3)
    ECA
    B
    P1
    PL11
    M
    R1
    K

    Du är på semester i en kuststad i Spanien. Samma vecka är även $43$43 andra svenskar där, men även  $135$135 britter,  $15$15 kineser,  $32$32 amerikaner och ytterligare $150$150 turister från andra länder.

    Vad är sannolikheten att om du hälsar på tre slumpvis valda turister är  minst en av dem också är från Sverige?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 14. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/3)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R1
    K
    I den här uppgiften finns flera svar som kan vara rätt. Du rättar uppgiften själv med hjälp av bedömningsanvisningarna.

    Amid och Ida är anlitade för att göra en undersökning till en tidning. De skickar ut ett formulär med tre ja och nej frågor till ett stort antal slumpvis valda medborgare över  $18$18 år.

    Frågorna är: 

    1. I det senaste valet, röstade du på ett borgerligt parti? Ja / Nej
    2. I kommande val kan det hända att du röstar på ett parti som inte är borgerligt? Ja / Nej
    3. Är du över  $60$60 år? Ja / Nej

    När man svarar nej på en fråga betyder det att man inte  svarar på de följande frågan/frågorna  utan man får meddelandet – tack för din medverkan.

    När de fått in sina svar och ska börja sin analys säger Ida: – Ja vi kan i alla fall se direkt att minst $5\%$5% av de som svarade på enkäten var över  $60$60 år!

    a) Rita upp ett träddiagram som beskriver resultaten på frågorna och ge ett exempel på hur den procentuella fördelningen av de svarande kan ha sett ut för att ge resultatet att minst  $5\%$5%  är över  $60$60  år.

    b) Utgå från ditt eget exempel och visa vilken övre gräns som finns för hur stor andel av de totala antalet svarande som kan vara över  $60$60 år.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se