Sannolikhet

Sannolikhet är ett mått på hur troligt det är att en viss händelse inträffar. Definitionen av sannolikheten för en händelse $A$A är $P\left(A\right)=$P(A)= Antalet gynnsamma utfall / Antalet möjliga utfall.

Begreppet gynnsamma utfall innebär detsamma som ”alla önskade resultat”, vilket är det vi vill beräkna sannolikheten för. 

Begreppet möjliga utfall innebär detsamma som ”alla möjliga resultat”, vilket är alla olika resultat som kan komma att inträffa vid slumpförsöket som vi ska beräkna sannolikheten för.

Sannolikheten $P\left(A\right)$P(A) är alltid ett värde i intervallet från och med noll till och med ett, med andra ord  $0\le P\left(A\right)\le1$0≤P(A)≤1. 

Som du kommer se i exemplen nedan kan man alltid,  när man beräknar en sannolikhet, välja mellan att svara i bråkform, decimalform eller i procent. 

Den klassiska definitionen för sannolikhetslära uttrycks enligt rutan nedan.

Sannolikhet betecknas med $P$ och kan jämföras med engelskans probability eller franskans probabilité. $A$ är den händelse vi vill beräkna sannolikheten för.

Detta sätt att beräkna sannolikheten gäller bara vid så kallad likformig sannolikhetsfördelning. Det vill säga att varje möjligt utfall har samma sannolikhet att inträffa. 

Vid bräkningar av sannolikhet kan man ibland vara hjälp av att göra en sammanställning av alla olika utfall, det så kallade utfallsrummet. Ett vanligt exempel i skolan är beräkningar av sannolikheten när man kastar ett antal tärningar. 

När du löser uppgifter med sannolikhetsberäkningar efter att två tärningar kastas, så blir du hjälpt av att rita ut utfallsrummet. Det kan se ut till exempel så här.

Den första siffran i parentesen motsvarar utfallet på den ena tärningen. Vi kallar den tärning 1. Den andra siffran motsvara utfallet på den andra tärningen, tärning 2.

Om du ha två identiska tärningar kommer du inte kunna se skillnad på till exempel utfall $\left(2,\text{ }3\right)$(2, 3) och $\left(3,\text{ }2\right)$(3, 2). Men om du har en blå och en röd träning är det tydligare att det faktiskt är två olika utfall. Sammanlagt finns det alltid $36$36 olika utfall när du kastar två träningar.

För att förtydliga definitionen av sannolikheter här ovan så tittar vi på ett exempel.

I vår introduktion om sannolikhet ställe vi oss frågan hur vi skulle agera för att öka sannolikheten för att vår vän tar en polkagris. Nu ska vi se hur vi kan resonera för att öka chansen för ett visst utfall.

Men som vi redan nämnt så är sannolikheten bara ett mått på hur troligt det är att en viss händelse inträffar. Inte en garanti för vad som faktiskt  inträffar.

Då din vän bara tar en enda godisbit, så kan det hända att vännen tar en lakrits! Däremot menar sannolikhetsläran att om ni var en miljon personer som hade denna kombination av godispåsar så skulle sannolikt ca 750 000 av dessa personer ha kvar all lakritsen för sig självt.

Så det är i alla fall större chans om du bjuder på påse B.

För att lättare kunna arbeta med sannolikheter är det bra att förstå följande begrepp. Försök att lära dig dem utantill.

Ett försök som kan upprepas flera gånger på samma vis och där resultatet av försöket inte går att förutse eller påverka, kallas för ett slumpförsök.  

Ett typiskt slupförsök är när man kastar en tärning eller slumpvis drar ett kort ur en kortlek.

I en kortlek finns vad man kallar fyra ”färger”. Dessa är hjärter, spader, klöver och ruter. Och varje färg har tretton kort. Så vi skulle lika gärna kunna kunna tänka att de är en fjärdedels chans att få ett hjärter, då det motsvarar en av fyra möjliga färger.

Varje gång vi utför ett slumpförsök får vi ett resultat. Detta resultat kallas för att utfall. Alla möjliga utfall, alltså alla olika resultat som kan inträffa vid försöket, vid ett slumpförsök bildar tillsammans det som kallas för ett utfallsrum.

Läser du vidare matematik efter gymnasiet kommer du troligtvis stöta på skrivsättet där utfallsrummet betecknas med $Ω$Ω och händelsen med $H$H. Vi skulle då kunna skriva att $H=\left\{\text{Dra en godis ur påsen}\right\}$H={Dra en godis ur påsen} har utfallsrummet  $Ω=\left\{\text{Lakrits, Polkagris}\right\}$Ω={Lakrits, Polkagris} 

Ett utfall eller en samling av olika utfall efter ett slumpförsök motsvarar det man kallar för en händelse. Sannolikheten för en händelse $A$A är ett tal i intervallet från och med noll till och med ett. Vi ska skriva detta med matematiska symboler på följande vis.

Sannolikheten för en händelse kan aldrig vara mindre än noll eller större än ett, utan måste alltså vara ett värde där emellan. Om händelsen omöjligt kan inträffa är sannolikheten $0$0 och om den garanterat inträffar lika med $1$1. 

Man kan dela upp olika händelser i oberoende och beroende. Och precis som det låter så är varje utfall till en oberoende händelser inte beroende av tidigare utfall. Vanliga exempel på detta är att kasta en tärning eller snurra på ett lyckohjul. Dessa händelser är oberoende. Sannolikheten att få stjärnvisten på ett lyckohjul direkt efter att någon annan precis vunnit är varken större eller mindre, utan precis lika liten. Eller stor.

En beroende händelse är en händelse där utfallens sannolikhet påverkas av en annan händelser. Vanlig exempel på detta är att dra ett antal kort efter varandra i en kortlek eller ta godisbitar ur en påse. Utfallet på nästa händelse, ex ta en godis ur påsen, kommer att påverkas av vilka godisar du redan tagit från påsen och därmed påverka sannolikheten att du får just den bit du hoppats på.

I nästa lektion tittar vi på hur man kan beräkna sannolikheten för sannolikheter i flera steg. Alltså att du tillexempel kastar flera sexor i rad med en tärning eller bara får tikar om du får fem hundvalpar. Man behöver då ha lite extra koll på om händelsen är beroende eller inte.

Det finns tillfällen där vi på förhand inte kan veta hur stor sannolikheten är för ett utfall. I de fallen måste vi använda oss av experiment för att räkna ut vilken sannolikhet olika utfall har.

Ett exempel på detta är om vi vill ange sannolikheten att en fotbollsspelare sätter en straff eller att antalet skruvar i en förpackning blir rätt vid produktion. För att bestämma utfallens sannolikhet tittar man på ett stort antal tidigare resultat och beräknar sannolikheter utifrån dessa. 

Men kom ihåg att dessa tidigare resultat eller experiment endast kommer att uppskatta sannolikheten. Men som vanligt gäller att ju fler experiment eller utfall, desto säkrare blir värdet på utfallets sannolikhet.

• Vad är sannolikheten att vi får en krona när vi kastar mynt?
• I en skål ligger fyra blå, en röd, fem vita och fem gröna bollar.
  a) Vad är sannolikheten att dra en grön boll ur skålen med förbundna ögon?
  b) Den första bollen drogs, var grön, och läggs inte tillbaka. Vad är sannolikheten att vi nu får en vit boll vid nästa dragning.
  c) Vilken av de båda slumpförsöken är en beroende händelse?
• Vad är sannolikheten att få summan fem när en blå och en röd tärning kastas?